عملگر فشرده

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پانزدهم آذر ۱۴۰۳ | 17:11

عملگر فشرده

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل تابعی ، شاخه ای از ریاضیات ، عملگر فشرده یک عملگر خطی است : $T:X\to Y$ ، که، $X,Y$ فضاهای برداری هنجاری هستند ، با خاصیت که $T$ نقشه های محدود زیر مجموعه از $X$ به زیر مجموعه های نسبتا فشرده از $Y$ (زیر مجموعه هایی با بسته شدن فشرده در $Y$ ). چنین عملگر لزوما یک عملگر محدود است ، و بنابراین پیوسته است . [ 1 ] برخی از نویسندگان به آن نیاز دارند، $X,Y$ باناخ هستند ، اما این تعریف را می توان به فضاهای کلی تر تعمیم داد.

هر عملگر محدود $T$ که دارای رتبه محدود است یک عملگر فشرده است . در واقع، کلاس عملگرهای فشرده یک تعمیم طبیعی از کلاس عملگرهای با رتبه محدود در یک محیط بی‌بعدی است . چه زمانی $Y$ یک فضای هیلبرت است ، درست است که هر عملگر فشرده محدودی از عملگرهای رتبه محدود است ، [ 1 ] به طوری که کلاس عملگرهای فشرده را می توان به صورت متناوب به عنوان بسته شدن مجموعه ای از عملگرهای رتبه محدود در توپولوژی هنجار تعریف کرد. . این که آیا این به طور کلی برای فضاهای باناخ صادق بود ( ویژگی تقریب ) برای چندین سال یک سوال حل نشده بود. در سال 1973 پر انفلو مثالی متضاد ارائه کرد که بر اساس آثار الکساندر گروتندیک و است فان باناخ بود . [ 2 ]

منشأ تئوری عملگرهای فشرده در نظریه معادلات انتگرال است ، جایی که عملگرهای انتگرال نمونه های عینی از این عملگرها را ارائه می دهند. یک معادله انتگرال معمولی فردهولم یک عملگر فشرده K را در فضاهای تابع ایجاد می کند . خاصیت فشردگی با تداوم همسان نشان داده می شود . روش تقریب توسط عملگرهای رتبه محدود در حل عددی چنین معادلا اساسی است . ایده انتزاعی عملگر فردهولم از این ارتباط گرفته شده است .

فرمولاسیون های معادل

[ ویرایش ]

یک نقشه خطی: $T:X\to Y$ اگر همسایگی وجود داشته باشد، بین دو فضای برداری توپولوژیکی فشرده گفته می شود $U$ از مبدا در $X$ به گونه ای که $T(U)$ یک زیر مجموعه نسبتا فشرده از $Y$ . [ 3 ]

اجازه دهید، $X,Y$ فضاهای هنجاری باشد و: $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سپس عبارات زیر معادل هستند و برخی از آنها به عنوان تعریف اصلی توسط نویسندگان مختلف است فاده می شود [ 4 ]

$T$ یک عملگر فشرده است .
تصویر واحد توپ از $X$ زیر $T$ نسبتا فشرده است $Y$ ;
تصویر هر زیر مجموعه محدود شده از $X$ زیر $T$ نسبتا فشرده است $Y$ ;
محله ای وجود دارد U $U$ از مبدا در $X$ و یک زیر مجموعه فشرده $V\subsetq Y$ به گونه ای که $T(U)\subsetq V$ ;
برای هر دنباله محدود $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ در $X$ ، دنباله $(Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ حاوی یک دنباله فرعی همگرا است .

اگر علاوه بر این $Y$ باناخ است ، این عبارات نیز معادل هستند:

تصویر هر زیر مجموعه محدود شده از $X$ زیر $T$ کاملا محدود شده است $Y$ .

اگر یک عملگر خطی فشرده باشد، پس پیوسته است .

خواص

[ ویرایش ]

در ادامه مطلب، $X,Y,Z,W$ فضاهای باناخ هستند، $B(X,Y)$ فضای عملگرهای محدود است $X\to Y$ تحت هنجار عملگر ، و $K(X,Y)$ نشان دهنده فضای عملگرهای فشرده است $X\to Y$ . $\operatorname {Id} _{X}$ عملگر همانی را نشان می دهد $X$ ، $B(X)=B(X,X)$ ، وک= $K(X)=K(X,X)$ .

$K(X,Y)$ یک زیرفضای بسته از $B(X,Y)$ (در توپولوژی هنجار). به طور معادل، [ 5 ]
- دنباله ای از عملگرهای فشرده داده شده است $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ نقشه برداری $X\to Y$ (که، $X,Y$ باناخ هستند) و با توجه به آن(n)ن $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ همگرا می شود $T$ با توجه به هنجار عملگر ، $T$ سپس فشرده می شود.
برعکس، اگر، $X,Y$ فضاهای هیلبرت هستند، سپس هر عملگر فشرده از $X\to Y$ حد عملگرهای رتبه محدود است . قابل توجه است که این " ویژگی تقریب " برای فضاهای عمومی باناخ و نادرست است . [ 4 ]
، $B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subsetq K(W,Z),$ که در آن ترکیب مجموعه ها بر حسب عنصر گرفته می شود. به طور خاص، $K(X)$ یک ایده آل دو طرفه را تشکیل می دهد $B(X)$ .
هر عملگر فشرده کاملاً منحصر به فرد است ، اما نه برعکس. [ 6 ]
یک عملگر خطی محدود بین فضاهای باناخ فشرده است اگر و فقط اگر الحاق آن فشرده باشد ( قضیه شودر ). [ 7 ]
- اگر: $T:X\to Y$ محدود و فشرده است ، سپس: [ 5 ] [ 7 ]
  - بسته شدن محدوده $T$ قابل تفکیک است .
  - اگر محدوده از $T$ در بسته شده است ، سپس محدوده $T$ بعد محدود است
اگر $X$ یک فضای باناخ است و یک عملگر فشرده محدود معکوس وجود دارد: $T:X\to X$ سپس $X$ لزوماً محدود است . [ 7 ]

حالا فرض کنید که $X$ یک فضای باناخ است و: $T\colon X\to X$ یک عملگر خطی فشرده است و $T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}$ الحاق یا جابجایی T است .

برای هر $T\in K(X)$ ،- ${\operatorname {Id} _{X}}-T$ یک عملگر فردهولم از شاخص 0 است . به ویژه، $\operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)$ بسته است . این در توسعه خواص طیفی عملگرهای فشرده ضروری است . می توان به شباهت بین این ویژگی و این واقعیت پی برد که اگر $M$ و $N$ زیرفضاهای هستند $X$ که $M$ بسته است و $N$ پس محدود است $M+N$ نیز بسته است .
اگر $S\colon X\to X$ هر دو عملگر خطی محدود است اس∘ $S\circ T$ و $T\circ S$ عملگرهای فشرده هستند. [ 5 ]
اگر $\lambda \neq 0$ سپس محدود-λ $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ بسته است و هسته از- $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ بعد محدود است [ 5 ]
اگر $\lambda \neq 0$ سپس موارد زیر متناهی و مساوی هستند:کم نور⁡کر⁡ $\dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^ {*}}\راست){\بزرگ )}$ [ 5 ]
طیف σ $\sigma (T)$ از $T$ فشرده، قابل شمارش است و حداکثر یک نقطه حدی دارد که لزوماً مبدأ است . [ 5 ]
اگر $X$ نامحدود است پس $0\in \sigma (T)$ . [ 5 ]
اگر $\lambda \neq 0$ و $\lambda \in \sigma (T)$ سپسλ $\lambda$ یک مقدار ویژه از هر دو است $T$ و∗ $T^{*}$ . [ 5 ]
برای هرr>0 $r>0$ مجموعه $E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}$ محدود است و برای هر غیر صفر است $\lambda \in \sigma (T)$ محدوده از $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ زیر مجموعه مناسب است . [ 5 ]

ریشه در نظریه معادلات انتگرال

[ ویرایش ]

یکی از ویژگی های مهم عملگرهای فشرده ، جایگزین فردهولم است که بیان می کند وجود حل معادلات خطی شکل

$(\lambda K+I)u=f$

(که در آن K یک عملگر فشرده است ، f یک تابع داده شده است ، و u تابع مجهولی است که باید حل شود) بسیار شبیه به ابعاد محدود رفتار می کند. سپس تئوری طیفی عملگرهای فشرده دنبال می‌شود و دلیل آن فرگیس ریس (1918) است . این نشان می‌دهد که یک عملگر فشرده K در فضای بی‌بعدی باناخ طیفی دارد که یا زیرمجموعه‌ای محدود از C است که شامل 0 می‌شود، یا این طیف یک زیرمجموعه نامتناهی قابل شمارش از C است که 0 را به عنوان تنها نقطه حد خود دارد . علاوه بر این، در هر صورت، عناصر غیرصفر طیف، مقادیر ویژه K با کثرت های محدود هستند (به طوری که K - λI برای همه مختلط λ ≠ 0 یک هسته با ابعاد محدود دارد ).

یک مثال مهم از یک عملگر فشرده، تعبیه فشرده فضاهای سوبولف است که همراه با نابرابری گاردینگ و قضیه لاکس-میلگرام ، می‌تواند برای تبدیل مسئله مقدار مرزی بیضوی به معادله انتگرال فردهلم است فاده شود . [ 8 ] وجود محلول و خواص طیفی از نظریه عملگرهای فشرده نجه می گیرد. به طور خاص، یک مسئله ارزش مرزی بیضوی در یک دامنه محدود دارای بی نهایت مقادیر ویژه ایزوله است . یک پیامد این است که یک جسم جامد فقط در فرکانس های جدا شده، که توسط مقادیر ویژه داده می شود، می تواند ارتعاش کند، و فرکانس های ارتعاش خودسرانه بالا همیشه وجود دارد.

عملگرهای فشرده از فضای باناخ به خود یک ایده آل دو طرفه در جبر همه عملگرهای محدود در فضا تشکیل می دهند. در واقع، عملگرهای فشرده در فضای بی‌بعدی هیلبرت قابل تفکیک، یک ایده‌آل حداکثری را تشکیل می‌دهند، بنابراین جبر ضریب ، که به جبر کالکین معروف است ، ساده است . به طور کلی، عملگرهای فشرده یک عملگر ایده آل را تشکیل می دهند .

عملگر فشرده در فضاهای هیلبرت

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر فشرده در فضای هیلبرت

برای فضاهای هیلبرت، تعریف معادل دیگری از عملگرهای فشرده به شرح زیر ارائه شده است .

یک عملگر $T$ در فضای بی‌بعد هیلبرت $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ،

: $T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ ،

فشرده گفته می شود اگر بتوان آن را به شکل نوشت

$T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}$ ،

که $\{f_{1},f_{2},\ldots \}$ و $\{g_{1},g_{2},\ldots \}$ مجموعه های متعارف هستند (لزوما کامل نیستند)، و $\lambda _{1}،\lambda _{2}،\ldots$ دنباله ای از اعداد مثبت با حد صفر است که مقادیر تکی عملگر نامیده می شود و سری سمت راست در هنجار عملگر همگرا می شود. مقادیر مفرد فقط در صفر می توانند جمع شوند . اگر دنباله در صفر ثابت شود، یعنی $\lambda _{N+k}=0$ برای برخین $N\in \mathbb {N}$ و هر $k=1,2,\dots$ ، سپس عملگر دارای رتبه محدود است ، یعنی یک محدوده بعد محدود، و می تواند به صورت نوشته شود.

$T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}$ .

یک زیر کلاس مهم از عملگرهای فشرده، عملگرهای کلاس ردیابی یا هسته ای هستند ، به عنوان مثال، به طوری که $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$ . در حالی که همه عملگرهای کلاس ردیابی عملگرهای فشرده هستند، برعکس لزوما درست نیست. به عنوان مثال ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ به سمت صفر برایn∞ $n\to \infty$ در حالی که ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$ .

عملگرهای کاملاً پیوسته

[ ویرایش ]

اجازه دهید و فضاهای باناخ باشند. یک عملگر خطی محدود T : کاملاً پیوسته نامیده می شود اگر برای هر دنباله ضعیف همگرا (n) $(x_{n})$ از ، دنباله $(Tx_{n})$ هنجار همگرا در است ( کانوی 1985 ، §VI.3). عملگرهای فشرده در فضای باناخ همیشه کاملاً پیوسته هستند. اگر یک فضای بازتابی باناخ باشد ، هر عملگر کاملاً پیوسته T : فشرده است .

تا حدودی گیج‌کننده، گاهی اوقات در ادبیات قدیمی‌تر از عملگرهای فشرده به عنوان «کاملاً پیوسته» یاد می‌شود، ح اگر با تعریف آن عبارت در اصطلاح مدرن، الزاماً کاملاً پیوسته نیستند.

نمونه ها

[ ویرایش ]

هر عملگر رتبه محدود فشرده است .
برایℓص $\ell ^{p}$ و دنباله ای (t n ) که به صفر همگرا می شود، عملگر ضرب ( T ) n = t n n فشرده است .
برای برخی از g ∈ C ثابت ([0, 1]؛ R )، عملگر خطی T را از C ([0, 1]؛ R ) تا C ([0, 1]; R ) باد. $(Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.$ اینکه عملگر T واقعاً فشرده است از قضیه اسکولی نجه می گیرد .
به طور کلی، اگر Ω هر دامنه ای در R n باشد و هسته انتگرال k : Ω × Ω R یک هسته هیلبرت-اشمیت باشد ، عملگر T در L 2 (Ω؛ R ) باد $(Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$ یک عملگر فشرده است .
بر اساس لم Riesz ، عملگر همانی یک عملگر فشرده است اگر و فقط اگر فضا با ابعاد محدود باشد. [ 9 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

تعبیه فشرده
عملگر فشرده در فضای هیلبرت
جایگزین فردهولم - یکی از قضایای فردهولم در ریاضیات
معادله انتگرال فردهولم
عملگر فردهولم - بخشی از نظریه های فردهولم در معادلات انتگرال
عملگر کاملاً مفرد
نظریه طیفی عملگرهای فشرده

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_operator

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

عملگر فشرده

فرمولاسیون های معادل

خواص

ریشه در نظریه معادلات انتگرال

عملگر فشرده در فضاهای هیلبرت

عملگرهای کاملاً پیوسته

نمونه ها

همچنین ببینید

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین