1-کوانتیزاسیون متعارف

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم آذر ۱۴۰۳ | 8:22

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

نظریه میدان کوانتومی

نمودار فاینمن

تاریخچه

نشان می دهد

پس زمینه

نشان می دهد

تقارن ها

نشان می دهد

ابزار

نشان می دهد

معادلات

نشان می دهد

مدل استاندارد

نشان می دهد

نظریه های ناقص

نشان می دهد

دانشمندان

v
تی
ه

در فیزیک ، کوانتیزاسیون متعارف روشی برای کمی کردن یک نظریه کلاسیک است ، در حالی که تلاش می‌شود ساختار رسمی، مانند تقارن‌ها ، نظریه کلاسیک را تا حد ممکن حفظ کند.

از نظر تاریخی، این کاملاً مسیر ورنر هایزنبرگ برای به دست آوردن مکانیک کوانتومی نبود ، اما پل دیراک آن را در پایان نامه دکترای خود در سال 1926، "روش قیاس کلاسیک" برای کوانتیزه کردن، [ 1 ] معرفی کرد و در متن کلاسیک خود اصول کوانتومی به تفصیل آن را توضیح داد. مکانیک . [ 2 ] کلمه متعارف از رویکرد همیلتونی به مکانیک کلاسیک ناشی می‌شود، که در آن دینامیک یک سیستم از طریق براکت‌های پواسون متعارف تولید می‌شود ، ساختاری که فقط تا حدی در کوانتیزاسیون متعارف حفظ می‌شود.

این روش بیشتر توسط پل دیراک در زمینه نظریه میدان کوانتومی در ساخت الکترودینامیک کوانتومی استفاده شد . در زمینه تئوری میدان، بر خلاف کوانتیزه کردن اول نیمه کلاسیک ذرات منفرد ، به آن کوانتیزه دوم میدان ها نیز می گویند.

تاریخچه

[ ویرایش ]

زمانی که فیزیک کوانتومی برای اولین بار توسعه یافت، فقط با کوانتیزه کردن حرکت ذرات سروکار داشت و میدان الکترومغناطیسی را کلاسیک گذاشت و از این رو مکانیک کوانتومی نام گرفت . [ 3 ]

بعدها میدان الکترومغناطیسی نیز کوانتیزه شد، و حتی خود ذرات از طریق میدان‌های کوانتیزه نمایش داده شدند، که منجر به توسعه الکترودینامیک کوانتومی (QED) و نظریه میدان کوانتومی به طور کلی شد. [ 4 ] بنابراین، طبق قرارداد، شکل اصلی مکانیک کوانتومی ذرات کوانتیزه اول نامیده می شود ، در حالی که نظریه میدان کوانتومی به زبان کوانتیزه دوم فرموله شده است .

کوانتیزاسیون اول

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: کوانتیزاسیون اول

سیستم های تک ذره ای

[ ویرایش ]

شرح زیر بر اساس رساله دیراک در مکانیک کوانتومی است. [ 2 ] در مکانیک کلاسیک یک ذره، متغیرهای دینامیکی وجود دارد که مختصات (x ) و لحظه ( p ) نامیده می‌شوند. اینها وضعیت یک سیستم کلاسیک را مشخص می کنند. ساختار متعارف (همچنین به عنوان ساختار سمپلتیک شناخته می شود ) مکانیک کلاسیک شامل براکت های پواسون است که این متغیرها را در بر می گیرد، مانند

{ x, p } = 1 . همه تبدیل‌های متغیرهایی که این براکت‌ها را حفظ می‌کنند به عنوان تبدیل‌های متعارف در مکانیک کلاسیک مجاز هستند. حرکت خود چنین دگرگونی متعارفی است.

در مقابل، در مکانیک کوانتومی ، تمام ویژگی‌های مهم یک ذره در یک حالت $|\psi \rangle$ قرار دارند ، حالت کوانتومی نامیده می شود . مشاهده پذیرها توسط عملگرهایی نمایش داده می شوند که در فضای هیلبرت دارای چنین حالت های کوانتومی عمل می کنند .

مقدار ویژه یک عملگر که روی یکی از حالت‌های ویژه آن عمل می‌کند، مقدار اندازه‌گیری روی ذره‌ای را نشان می‌دهد که بدین ترتیب نشان داده می‌شود. به عنوان مثال، انرژی توسط عملگر همیلتونی خوانده می شود ${\hat {H}}$ اقدام بر روی یک حالت‌ $|\psi _{n}\rangle$ ، تسلیم شد

هر حالتی را می توان به صورت ترکیبی خطی از ${\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ که در آن E n انرژی مشخصه مربوط به این است $|\psi _{n}\rangle$ حالت ویژه . حالت های ویژه انرژی نشان داد. برای مثال،، $|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ که در آن a n ضرایب ثابت هستند.

همانطور که در مکانیک کلاسیک، تمام عملگرهای دینامیکی را می توان با توابع موقعیت و تکانه نشان داد. ${\hat {X}}$ و ${\hat {P}}$ به ترتیب. ارتباط بین این نمایش و نمایش تابع موج معمول تر توسط حالت ویژه عملگر موقعیت داده می شود. ${\hat {X}}$ نشان دهنده یک ذره در موقعیت $x$ ، که با یک عنصر مشخص می شود $|x\rangle$ در فضای هیلبرت، و که ارضا می کند ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$ . سپس، $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ .

به همین ترتیب، حالت های ویژه $|p\rangle$ عملگر حرکت ${\hat {P}}$ نمایش حرکت را مشخص کنید : $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$ .

رابطه مرکزی بین این عملگرها یک آنالوگ کوانتومی از براکت پواسون بالا در مکانیک کلاسیک است، رابطه کموتاسیون متعارف . $[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}} =i\hbar .$

این رابطه اصل عدم قطعیت را به شکل Δx Δ p ≥ ħ /2 کد می کند (و به طور رسمی به آن منتهی می شود) . بنابراین، این ساختار جبری را می توان به عنوان آنالوگ کوانتومی ساختار متعارف مکانیک کلاسیک در نظر گرفت.

سیستم های چند ذره ای

[ ویرایش ]

هنگامی که به سیستم های N-ذره ای روی می آوریم، یعنی سیستم هایی که حاوی N ذره یکسان هستند (ذراتی که با اعداد کوانتومی یکسانی مانند جرم ، بار و اسپین مشخص می شوند )، لازم است تابع حالت تک ذره را گسترش دهیم. $\psi (\mathbf {r} )$ به تابع حالت N-ذره $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})$ . یک تفاوت اساسی بین مکانیک کلاسیک و کوانتومی مربوط به مفهوم غیرقابل تشخیص ذرات یکسان است. بنابراین در فیزیک کوانتومی تنها دو گونه ذره امکان پذیر است، به اصطلاح بوزون ها و فرمیون ها که قوانین زیر را برای هر نوع ذره رعایت می کنند:

$\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N})،$
$\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N})،$

جایی که ما دو مختصات را عوض کرده ایم $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ از عملکرد حالت تابع موج معمولی با استفاده از دترمینان اسلاتر و تئوری ذرات یکسان بدست می آید . با استفاده از این مبنا، می توان مسائل مختلف چند ذره ای را حل کرد.

مسائل و محدودیت ها

[ ویرایش ]

براکت های کلاسیک و کوانتومی

[ ویرایش ]

کتاب دیراک [ 2 ] قانون محبوب او برای جایگزین کردن براکت‌های پواسون توسط کموتاتورها را شرح می‌دهد :

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

ممکن است کسی این پیشنهاد را اینگونه تفسیر کند که ما باید به دنبال یک "نقشه کوانتیزاسیون" باشیم. $Q$ نگاشت یک تابع $f$ در فضای فاز کلاسیک به یک عملگر $Q_{f}$ در فضای کوانتومی هیلبرت به گونه ای که $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ اکنون مشخص شده است که چنین نقشه کوانتیزاسیون معقولی که همانی فوق را دقیقاً برای همه توابع برآورده کند وجود ندارد $f$ و $g$ . [ نیازمند منبع ]

قضیه گرونولد

[ ویرایش ]

یکی از نسخه های عینی ادعای غیرممکن فوق، قضیه گرونولد است (پس از فیزیکدان نظری هلندی هیبراند جی. گرونولد )، که ما آن را برای سیستمی با یک درجه آزادی برای سادگی توصیف می کنیم. اجازه دهید "قوانین پایه" زیر را برای نقشه بپذیریم $Q$ . اول، $Q$ باید تابع ثابت 1 را به عملگر همانی ارسال کند. دوم، $Q$ باید بگیرد $x$ و $p$ به عملگرهای موقعیت و حرکت معمولی $X$ و $P$ . سوم، $Q$ باید یک چند جمله ای در بگیرد $x$ و $p$ به یک "چند جمله ای" $X$ و $P$ ، یعنی یک ترکیب خطی محدود از ضرب $X$ و $P$ ، که ممکن است به هر ترتیب دلخواه گرفته شود. در ساده‌ترین شکل، قضیه گرونولد می‌گوید که هیچ نقشه‌ای وجود ندارد که قوانین پایه بالا و همچنین شرایط براکت را برآورده کند. $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ برای همه چند جمله ای ها $f$ و $g$ .

در واقع، تا زمانی که به چندجمله‌ای درجه چهار برسیم، عدم وجود چنین نقشه‌ای رخ می‌دهد. توجه داشته باشید که براکت پواسون از دو چند جمله‌ای درجه چهار دارای درجه شش است، بنابراین نیاز به نقشه روی چند جمله‌ای درجه چهار برای رعایت شرایط براکت دقیقاً منطقی نیست. با این حال ، می‌توانیم بخواهیم شرط براکت زمانی برقرار باشد $f$ و $g$ دارای مدرک سه قضیه گرونولد [ 5 ] را می توان به صورت زیر بیان کرد:

قضیه - هیچ نقشه کوانتیزاسیون وجود ندارد $Q$ (با پیروی از قوانین پایه فوق) در چندجمله ای های درجه کمتر یا مساوی چهار که برآورده می شود $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ هر زمان $f$ و $g$ دارای درجه کمتر یا مساوی سه باشند. (توجه داشته باشید که در این مورد، $\{f,g\}$ دارای درجه کمتر یا مساوی چهار است.)

اثبات را می توان به شرح زیر بیان کرد. [ 6 ] [ 7 ] فرض کنید ما ابتدا سعی می کنیم یک نقشه کوانتیزاسیون بر روی چندجمله ای های درجه کمتر یا مساوی سه پیدا کنیم که شرایط براکت را هر زمان که برآورده می کند. $f$ دارای درجه کمتر یا مساوی دو $g$ دارای درجه کمتر یا مساوی دو است. سپس دقیقاً یکی از این نقشه ها وجود دارد و آن کوانتیزاسیون ویل است . نتیجه غیرممکن اکنون با نوشتن یک چند جمله ای درجه چهار به عنوان براکت پواسون از چند جمله ای های درجه سه به دو روش متفاوت به دست می آید . به طور خاص، ما داریم

$x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}} \{x^{2}p,xp^{2}\}$ ا

ز سوی دیگر، قبلاً دیده‌ایم که اگر قرار است یک نقشه کوانتیزاسیون روی چندجمله‌ای درجه سه وجود داشته باشد، باید کوانتیزه‌سازی ویل باشد. یعنی، ما قبلاً تنها کمیت سازی ممکن از همه چند جمله ای های مکعبی بالا را تعیین کرده ایم.

استدلال با محاسبه با نیروی بی رحمانه تمام می شود

19 ${\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]$ منطبق نیست با

13. ${\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].$

نابراین، ما دو شرط ناسازگار برای مقدار داریم $Q(x^{2}p^{2})$ .

بدیهیات برای کوانتیزاسیون

[ ویرایش ]

اگر Q نمایانگر نقشه کوانتیزاسیونی باشد که بر روی توابع در فضای فاز کلاسیک عمل می‌کند، آنگاه ویژگی‌های زیر معمولاً مطلوب در نظر گرفته می‌شوند: [ 8 ]

$Q_{x}\psi =x\psi$ $Q_{p}\psi =-i\hbar \جزئی _{x}\psi ~~$ (عملگرهای موقعیت اولیه/تکانه)
$f\longmapsto Q_{f}~~$ یک نقشه خطی است
$[Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~$ (براکت پواسون)
$Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ (قانون فون نویمان).

با این حال، نه تنها این چهار ویژگی با یکدیگر ناسازگار هستند، هر سه مورد از آنها نیز ناسازگار هستند! [ 9 ] همانطور که مشخص شد، تنها جفت‌هایی از این ویژگی‌ها که منجر به راه‌حل‌های خودسازگار و غیر پیش پا افتاده می‌شوند، 2 و 3، و احتمالاً 1 و 3 یا 1 و 4 هستند. پذیرش ویژگی‌های 1 و 2، همراه با یک شرط ضعیف‌تر که 3 فقط به صورت مجانبی در حد ħ →0 صادق باشد (به براکت مویال مراجعه کنید )، منجر به کوانتیزاسیون تغییر شکل می شود . و برخی از اطلاعات اضافی باید ارائه شود، همانطور که در نظریه های استاندارد مورد استفاده در بیشتر فیزیک استفاده می شود. پذیرفتن ویژگی های 1 و 2 و 3 اما محدود کردن فضای مشاهده پذیرهای قابل اندازه گیری برای حذف عباراتی مانند موارد مکعبی در مثال بالا به معنای کمی سازی هندسی است .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی