از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد
نظریه میدان لاگرانژی یک فرمالیسم در نظریه میدان کلاسیک است . این آنالوگ نظری میدانی مکانیک لاگرانژی است . مکانیک لاگرانژی برای تجزیه و تحلیل حرکت سیستمی از ذرات گسسته هر کدام با تعداد محدودی درجه آزادی استفاده می شود . نظریه میدان لاگرانژی برای پیوسته ها و میدان هایی که دارای بی نهایت درجه آزادی هستند کاربرد دارد.
یکی از انگیزههای توسعه فرمالیسم لاگرانژی در زمینهها، و بهطور کلیتر، برای نظریه میدان کلاسیک ، ارائه یک پایه ریاضی روشن برای نظریه میدان کوانتومی است ، که به طرز بدنامی با دشواریهای رسمی که آن را به عنوان یک نظریه ریاضی غیرقابل قبول میکند، مواجه است. لاگرانژیهای ارائهشده در اینجا با معادلهای کوانتومی خود یکسان هستند، اما در تلقی میدانها بهعنوان میدانهای کلاسیک، به جای کوانتیزه شدن، میتوان تعاریفی ارائه کرد و راهحلهایی با ویژگیهای سازگار با رویکرد رسمی مرسوم در ریاضیات معادلات دیفرانسیل جزئی به دست آورد . این امکان فرمولبندی راهحلها را در فضاهایی با ویژگیهای خوب مشخص میکند، مانند فضاهای Sobolev . این امکان ارائه قضایای مختلفی را فراهم می کند، از اثبات وجود گرفته تا همگرایی یکنواخت سری های رسمی تا تنظیمات کلی نظریه بالقوه . علاوه بر این، بینش و وضوح با تعمیم به منیفولدهای ریمانی و بستههای فیبر به دست میآید که به ساختار هندسی اجازه میدهد به وضوح از معادلات حرکتی مربوطه تشخیص داده شود و جدا شود. یک نمای واضح تر از ساختار هندسی به نوبه خود امکان استفاده از قضایای بسیار انتزاعی از هندسه را برای به دست آوردن بینش فراهم کرده است، از قضیه Chern-Gauss-Bonnet و قضیه Riemann-Roch گرفته تا قضیه شاخص آتیه-سینگر و نظریه Chern-Simons .
نمای کلی
[ ویرایش ]
در تئوری میدان، متغیر مستقل با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) ، یا به طور کلیتر با نقطه s در منیفولد ریمانی جایگزین میشود . متغیرهای وابسته با مقدار یک میدان در آن نقطه از فضازمان جایگزین می شوند
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{ {\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b611482dbb4372e4099dbd2a0d1d85398e33625)
جایی که براکت ها نشان می دهند
α = 1، 2، 3، ...، n نمایه می شود . حروف خوشنویسی،
در فرمولبندیهای ریاضی، بیان لاگرانژ بهعنوان تابعی بر روی یک بسته فیبر معمول است ، که در آن معادلات اویلر-لاگرانژ را میتوان بهعنوان مشخصکننده ژئودزیکهای روی دسته فیبر تفسیر کرد. کتاب درسی آبراهام و مارسدن [ 1 ] اولین توصیف جامع مکانیک کلاسیک را از نظر ایدههای هندسی مدرن، یعنی بر حسب منیفولدهای مماس ، منیفولدهای سمپلتیک و هندسه تماس ارائه کرد . کتاب درسی بلیکر [ 2 ] ارائهای جامع از نظریههای میدانی در فیزیک بر حسب بستههای فیبر ثابت سنج ارائه کرد. چنین فرمولاسیون ها مدت ها قبل شناخته شده یا مشکوک بودند. Jost [ 3 ] با ارائه هندسی ادامه میدهد، و رابطه بین فرمهای همیلتونی و لاگرانژی را روشن میکند، منیفولدهای اسپین را از اصول اولیه توصیف میکند ، و غیره . فضاهای برداری توسط جبرهای تانسوری انگیزه این تحقیق درک موفقیت آمیز گروه های کوانتومی به عنوان جبرهای دروغ وابسته است . درجات بی نهایت آزادی را ببینید، به عنوان مثال، جبر Virasoro .)
تعاریف
[ ویرایش ]
در نظریه میدان لاگرانژی، لاگرانژی به عنوان تابعی از مختصات تعمیم یافته با چگالی لاگرانژی، تابعی از میدان های موجود در سیستم و مشتقات آنها، و احتمالاً فضا و زمان خود مختصات جایگزین می شود. در تئوری میدان، متغیر مستقل t با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) یا به طور کلی تر با یک نقطه s در یک منیفولد جایگزین می شود.
اغلب، یک "چگالی لاگرانژی" به سادگی "لاگرانژ" نامیده می شود.
فیلدهای اسکالر
[ ویرایش ]
برای یک میدان اسکالر
برای بسیاری از زمینه های اسکالر
در فرمولبندیهای ریاضی، میدانهای اسکالر مختصات روی یک بسته فیبر و مشتقات میدان بخشهایی از بسته جت هستند
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.