3-براکت دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم آذر ۱۴۰۳ | 9:37

تصویر در مثال ارائه شده

[ ویرایش ]

با بازگشت به مثال بالا، همیلتونی ساده لوح و دو محدودیت اولیه هستند

$H=V(x,y)$

$\phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\qquad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c} }x.$

بنابراین، همیلتونی توسعه یافته را می توان نوشت

$H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left( p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).$

مرحله بعدی اعمال شرایط سازگاری { Φ j , H * } PB ≈ 0 است که در این حالت تبدیل می شود

$\{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB }=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0$

$\{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB }=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\تقریباً 0.$

اینها محدودیت های ثانویه نیستند ، بلکه شرایطی هستند که u 1 و u 2 را رفع می کنند . بنابراین، هیچ محدودیت ثانویه وجود ندارد و ضرایب دلخواه به طور کامل تعیین می شود، که نشان می دهد درجات غیر فیزیکی آزادی وجود ندارد.

اگر کسی با مقادیر u 1 و u 2 وصل شود ، آنگاه می توان دید که معادلات حرکت هستند

${\dot {x}}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{ x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}$

${\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {p}}_{x}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {p}}_{y}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},$

که خودسازگار هستند و با معادلات حرکت لاگرانژی منطبق هستند.

یک محاسبه ساده تایید می کند که ϕ 1 و ϕ 2 محدودیت های کلاس دوم هستند زیرا

$\{\phi _{1}،\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2}،\phi _{1}\}_{PB}={\ فراک {qB}{c}}،$

از این رو ماتریس به نظر می رسد

$M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right)$

که به راحتی برعکس می شود

$M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab}،$

جایی که ε ab نماد Levi-Civita است . بنابراین، براکت های دیراک تعریف می شوند

$\{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _ {a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.$

اگر همیشه به جای براکت پواسون از براکت دیراک استفاده شود، در مورد ترتیب اعمال محدودیت ها و ارزیابی عبارات مشکلی وجود ندارد، زیرا براکت دیراک هر چیزی که صفر ضعیف است، به شدت برابر با صفر است. این بدان معنی است که در عوض می‌توان از همیلتونی ساده‌لوح با براکت‌های دیراک استفاده کرد تا معادلات حرکتی صحیح را بدست آورد، که به راحتی می‌توان آن‌ها را در بالا تأیید کرد.

برای کمی کردن سیستم، براکت های دیراک بین همه متغیرهای فضای فاز مورد نیاز است. براکت های دیراک غیر محو شونده برای این سیستم هستند

$\{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}$

$\{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}$

در حالی که اصطلاحات متقابل ناپدید می شوند، و

$\{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.$

بنابراین، اجرای صحیح کوانتیزاسیون متعارف، روابط کموتاسیون را دیکته می کند.

$[{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}$

$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\ frac {\hbar }{2}}$

با ناپدید شدن اصطلاحات متقاطع، و

$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.$

این مثال دارای یک کموتاتور ناپدیدکننده بین است ∧xو ∧y، به این معنی که این ساختار یک هندسه غیر جابجایی را مشخص می کند . (از آنجایی که دو مختصات جابجا نمی شوند، یک اصل عدم قطعیت برای موقعیت های x و y وجود خواهد داشت .)

تصویر بیشتر برای ابرکره

[ ویرایش ]

به طور مشابه، برای حرکت آزاد در ابرکره S n ، مختصات n + 1 محدود شده است، x i x i = 1 . از لاگرانژی جنبشی ساده، مشهود است که ممان آنها بر آنها عمود است، x i p i = 0 . بنابراین کار کردن براکت های دیراک مربوطه نیز ساده است، [ 8 ]

$\{x_{i},x_{j}\}_{DB}=0,$

$\{x_{i},p_{j}\}_{DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},$

$\{p_{i},p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.$

متغیرهای فضای فاز ( 2 n + 1) محدود ( xi , p i ) از براکت‌های دیراک بسیار ساده‌تر نسبت به 2 n متغیر غیرمحدود تبعیت می‌کنند، که یکی از xs و یکی از ps را از طریق دو قید ab حذف کرده بود. initio، که از براکت های پواسون ساده تبعیت می کند. براکت های دیراک سادگی و ظرافت را به قیمت متغیرهای فضای فاز بیش از حد (محدود) اضافه می کنند.

به عنوان مثال، برای حرکت آزاد روی یک دایره، n = 1 ، برای x 1 ≡ z و حذف x 2 از قید دایره، مقدار نامحدود را به دست می دهد.

$L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}~,$

با معادلات حرکت

${\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,$

یک نوسان؛ در حالی که سیستم محدود معادل با H = p 2 / 2 = E بازده

${\dot {x}}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i}~,$

${\dot {p}}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=-x^{i}~p^{2}~,$

از این رو، بلافاصله، عملاً با بازرسی، نوسان برای هر دو متغیر،

${\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E~.$

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

کوانتیزاسیون متعارف
مکانیک هامیلتونی
براکت پواسون
براکت مویال
محدودیت کلاس اول
محدودیت های دسته دوم
لاگرانژی
ساختار ساده
بیش از حد کامل بودن

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی