فهرست انتگرال های توابع نمایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهارم آذر ۱۴۰۳ | 15:14

در زیر لیستی از انتگرال های توابع نمایی آمده است . برای لیست کامل توابع انتگرال، لطفاً لیست انتگرال ها را ببینید .

انتگرال نامعین

انتگرال های نامعین توابع ضد مشتق هستند . یک ثابت ( ثابت یکپارچگی ) ممکن است به سمت راست هر یک از این فرمول‌ها اضافه شود، اما به منظور اختصار در اینجا حذف شده است.

انتگرال چند جمله ای ها

[ ویرایش ]

$\int xe^{cx}\,dx=e^{cx}\left({\frac {cx-1}{c^{2}}}\right)\qquad {\text{ for }} c\neq 0;$
$\int x^{2}e^{cx}\,dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c ^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)$
${\begin{aligned}\int x^{n}e^{cx}\,dx&={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac { n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\,dx\\&=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}\\&=e^{cx}\sum _{i=0}^{n}(-1)^ {i}{\frac {n!}{(ni)!c^{i+1}}}x^{ni}\\&=e^{cx}\sum _{i=0}^{n} (-1)^{ni}{\frac {n!}{i!c^{n-i+1}}}x^{i}\end{تراز شده}}$
$\int {\frac {e^{cx}}{x}}\,dx=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^ {n}}{n\cdot n!}}$
$\int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\,dx={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{ cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\text{( برای }}n\neq 1{\text{)}}$

انتگرال هایی که فقط شامل توابع نمایی هستند

[ ویرایش ]

$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}$
$\int e^{cx}\,dx={\frac {1}{c}}e^{cx}$
$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}\qquad {\text{ for }}a>0,\ a\neq 1$

انتگرال های مربوط به تابع خطا

[ ویرایش ]

در فرمول های زیر erf تابع خطا و Ei انتگرال نمایی است .

$\int e^{cx}\ln x\,dx={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} (cx)\ درست)$
$\int xe^{cx^{2}}\,dx={\frac {1}{2c}}e^{cx^{2}}$
$\int e^{-cx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}\operatorname {erf} ({\sqrt {c}}x)$
$\int xe^{-cx^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}$
$\int {\frac {e^{-x^{2}}}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {e^{-x^{2}}}{x }}-{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} (x)$
$\int {{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\ mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

انتگرال های دیگر

[ ویرایش ]

$\int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}{\ frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\,dx\quad {\text{معتبر برای هر }}n>0،$
$c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)!}{j! 2^{2j+1}}}\ .$

(توجه داشته باشید که مقدار عبارت مستقل از مقدار n است ، به همین دلیل است که در انتگرال ظاهر نمی شود.)

${\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\گاما (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\text{(برای }}x>0 {\text{)}}}$

$a_{mn}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\\\{\dfrac {1}{n!}}&{\text{if }}m =1،\\\\{\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}ja_{m,nj}a_{m-1,j-1}&{\text{در غیر این صورت}}\end{موارد}}$

و Γ( x , y ) تابع گامای ناقص بالایی است .

$\int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }} \ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)$ چه زمانی $b\neq 0$ ،
$\lambda \neq 0$ ، و
$ae^{\lambda x}+b>0.$
$\int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {1}{a^{2}\lambda }} \left[ae^{\lambda x}+bb\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]$ زمانی $a\neq 0$ ، $\lambda \neq 0$ ، و $ae^{\lambda x}+b>0.$
$\int {\frac {ae^{cx}-1}{be^{cx}-1}}\,dx={\frac {(ab)\log(1-be^{cx})} {bc}}+x.$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right){\text{dx}}}=e^{x}f \چپ(x\راست)+C$

$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\ راست)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1 }{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
$\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}} \راست)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$

$\int {e^{ax}\left(\left(a\right)^{n}f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac { d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{ax}\sum _{k=1}^{n}{\left(a\right)^{nk}\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left (x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$

انتگرال های معین

[ ویرایش ]

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\,dx&=\int _{0}^ {1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\,dx\\&=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\,dx\\&={\frac {ab}{\ln a-\ln b}}\qquad {\text {for }}a>0,\ b>0,\ a\neq b\end{aligned}}$

آخرین عبارت میانگین لگاریتمی است .

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\,dx={\frac {1}{a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\ چهارگانه (a>0)$ ( انتگرال گاوسی )
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-{\frac {b}{x^{2}}}}\,dx={ \sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}\quad (a,b>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{\tfrac {b^{2}}{4a}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{ {\tfrac {b^{2}}{4a}}-c}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}} }e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)$ (به انتگرال تابع گاوسی مراجعه کنید )
$\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(xb)^{2}}\,dx=b{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\ چهار (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-ax^{2}+bx}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}b}{2a^{ 3/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ pi \over a^{3}}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi } }(2a+b^{2})}{4a^{5/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (الف)> 0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi } }(6a+b^{2})b}{8a^{7/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (الف)> 0)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma \left({\ frac {n+1}{2}}\right)}{2\left(a^{\frac {n+1}{2}}\right)}}&(n>-1,\ a>0)\\{\dfrac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}}&( n=2k،\ k{\text{عدد صحیح}}،\ a>0)\\{\dfrac {k!}{2(a^{k+1})}}&(n=2k+1،\ k{\ متن{ عدد صحیح}}،\ a>0)\end{موارد}}$

(اپراتور!! $!!$ فاکتوریل دوگانه است )

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma (n+1)}{a^ {n+1}}}&(n>-1,\ \operatorname {Re} (a)>0)\\\\{\dfrac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,\ \operatorname {Re} (a)>0)\end{موارد}}$
$\int _{0}^{1}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1- e^{-a}\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}\right]$
$\int _{0}^{b}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1- e^{-ab}\sum _{i=0}^{n}{\frac {(ab)^{i}}{i!}}\right]$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {1}{b} }}\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac { n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad ( a>0)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad ( a>0)$
$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2 }}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2} +b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\arctan {\frac {b}{a}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a }}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\sin px\,dx=\arctan {\frac {b }{p}}-\arctan {\frac {a}{p}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\cos px\,dx={\frac {1}{ 2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\,dx=\operatorname {arccot} a -{\frac {a}{2}}\ln {\Big (}{\frac {1}{a^{2}}}+1{\Big )}$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx=e^{f} \sum _{n,m,p=0}^{\infty }{\frac {b^{4n}}{(4n)!}}{\frac {c^{2m}}{(2m)!}}{\frac {d^{4p}}{(4p)!}}{\frac {\Gamma (3n+m+p+{\frac {1}{ 4}})}{a^{3n+m+p+{\frac {1}{4}}}}}$ (در چندین مدل از نظریه ابر ریسمان توسعه یافته در ابعاد بالاتر ظاهر می شود)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ ( I 0 تابع بسل اصلاح شده از نوع اول است )
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^ {2}+y^{2}}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}/z-1}}\,dx=\operatorname {Li} _{s }(z)\گاما (ها)،$

$\operatorname {Li} _{s}(z)$ چند لگاریتم است .

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\ بستر {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}$
$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx=-\gamma ,$

که $\gamma$ ثابت اویلر- ماسکرونی است که برابر با مقدار تعدادی انتگرال معین است.

در نهایت، یک نتیجه شناخته شده

$\int _{0}^{2\pi }e^{i(mn)\phi }d\phi =2\pi \delta _{m,n}\qquad {\text{for }}m ,n\in \mathbb {Z}$ که، $\delta _{m,n}$ دلتای کرونکر است .

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

فهرست انتگرال های توابع نمایی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین