2-تقریب استرلینگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهارم اسفند ۱۴۰۲ | 1:50

مشتق [ ویرایش ]

به طور کلی، ساده ترین نسخه فرمول استرلینگ را می توان با تقریب مجموع به سرعت به دست آورد.

$\ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j$

با یک انتگرال :

$\sum _{j=1}^{n}\ln j\prox \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n +1.$

فرمول کامل به همراه تخمین دقیق خطای آن را می توان به صورت زیر بدست آورد. به جای تقریب $n!$ ، لگاریتم طبیعی آن را در نظر می گیریم ، زیرا این تابع به آرامی در حال تغییر است :

$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

سمت راست این معادله منهای

${\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n$

تقریب با قاعده ذوزنقه ای انتگرال است

$\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\prox \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n \ln n-n+1،$

و خطا در این تقریب با فرمول اویلر-ماکلارین داده می شود :

${\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\راست )+R_{m,n},\end{تراز شده}}$

جایی که $B_{k}$ یک عدد برنولی است و Rm ، n عبارت باقیمانده در فرمول اویلر-ماکلارین است . برای یافتن آن محدودیت هایی در نظر بگیرید

$\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\ مجموع _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{ m، n}.$

این حد را به عنوان مشخص کنید $y$ . زیرا Rm ، n باقیمانده در فرمول اویلر-ماکلارین راضی می کند

$R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\راست)،$

در جایی که از نماد big-O استفاده می شود، با ترکیب معادلات بالا، فرمول تقریبی به شکل لگاریتمی آن به دست می آید:

$\ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k =2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1 {n^{m}}}\راست).$

گرفتن نمایی از هر دو طرف و انتخاب هر عدد صحیح مثبتمتر $m$ ، یک فرمول شامل یک کمیت ناشناخته به دست می آید $e^{y}$ . برای m = 1 ، فرمول این است

$n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

کمیته $e^{y}$ را می توان با در نظر گرفتن حد در هر دو طرف پیدا کرد $n$ تمایل به بی نهایت دارد و از محصول والیس استفاده می کند که نشان می دهد $e^{y}={\sqrt {2\pi }}$ . بنابراین، فرمول استرلینگ به دست می آید:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1 }{n}}\right)\right).$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی