2-کاردیوئید

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ | 1:35

معادلات [ ویرایش ]

تولید یک کاردیوئید و سیستم مختصات مورد استفاده

اجازه دهیدآ $a$ شعاع مشترک دو دایره مولد با نقاط میانی باشد، $(-a,0),(a,0)$ ، $\varphi$ زاویه چرخش و مبدا نقطه شروع (تصویر را ببینید). یکی می گیرد

نمایش پارامتریک :

${\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi)&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{تراز شده}}$ و از اینجا نمایندگی در
مختصات قطبی :

$r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi).$
معرفی تعویض ها $\cos \varphi =x/r$ و ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ پس از حذف جذر، نمایش ضمنی در مختصات دکارتی به دست می آید :

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y ^{2}=0.$

اثبات نمایش پارامتریک [ ویرایش ]

یک اثبات را می توان با استفاده از اعداد مختلط و توصیف مشترک آنها به عنوان صفحه مختلط ایجاد کرد . حرکت چرخشی دایره سیاه روی دایره آبی را می توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط یک چرخش حول نقطه0 $0$ (منشا) با یک زاویه $\varphi$ را می توان با ضرب یک نقطه انجام داد $z$ (عدد مختلط) توسط $e^{i\varphi }$ . از این رو

چرخش $\Phi _{+}$ اطراف نقطه $a$ است: $:z\mapsto a+(za)e^{i\varphi }$

چرخش $\Phi _{-}$ اطراف نقطه $-a$ است: $z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }$ .

یک نقطه $p(\varphi )$ کاردیوئید با چرخش مبدا حول نقطه تولید می شود $a$ و متعاقباً به اطراف می چرخد $-a$ با همین زاویه $\varphi$ :

$p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=- a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1 \درست).$

از اینجا یکی نمایش پارامتریک بالا را دریافت می کند:

${\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi)&=&a\;(-\sin(2\varphi)+2\sin \varphi)&=&2a(1-\cos \varphi)\cdot \ sin \varphi &.&\end{آرایه}}$

، $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,$ $\cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2}،$ و $\sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi$ استفاده شده.)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی