منیفولد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سیزدهم بهمن ۱۴۰۲ | 21:47

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع ، خواندن مرتبط یا پیوندهای خارجی است ، اما منابع آن نامشخص است زیرا فاقد نقل قول های درون خطی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( اکتبر 2012 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

مدت زمان: 13 ثانیه.0:13

نقشه های هولومورفیک

در هندسه دیفرانسیل و هندسه مختلط ، منیفولد مختلط منیفولدی است با اطلسی از نمودارها به دیسک واحد باز [1] در $\mathbb {C} ^{n}$ ، به طوری که نقشه های انتقال هولومورف هستند .

اصطلاح منیفولد مختلط به‌طور متفاوتی به معنای یک منیفولد مختلط به معنای بالا (که می‌توان آن را به عنوان یک منیفولد مختلط یکپارچه‌پذیر مشخص کرد ) و یک منیفولد تقریباً مختلط استفاده می‌شود .

مفاهیم ساختار مختلط [ ویرایش ]

از آنجایی که توابع هولومورف بسیار صلب تر از توابع صاف هستند ، تئوری های منیفولدهای صاف و مختلط طعم های بسیار متفاوتی دارند: منیفولدهای مختلط فشرده به انواع جبری بسیار نزدیکتر از منیفولدهای قابل تمایز هستند.

به عنوان مثال، قضیه جاسازی ویتنی به ما می گوید که هر منیفولد n بعدی صاف را می توان به عنوان یک زیرمنیفولد صاف R 2 n جاسازی کرد ، در حالی که برای یک منیفولد مختلط «نادر» است که تعبیه هولومورفیک در C n داشته باشد . به عنوان مثال هر منیفولد مختلط متصل فشرده M را در نظر بگیرید : هر تابع هولومورف روی آن با اصل مدول حداکثر ثابت است . حال اگر تعبیه هولومورفیک M در C n داشته باشیم ، آنگاه توابع مختصات C n به توابع هولومورفیک ناثابت روی M محدود می شوند که با فشردگی متناقض هستند، به جز در موردی که M فقط یک نقطه باشد. منیفولدهای مختلط ای که می توانند در C n جاسازی شوند ، منیفولدهای Stein نامیده می شوند و یک کلاس بسیار ویژه از منیفولدها را تشکیل می دهند که به عنوان مثال، انواع جبری افین مختلط صاف را تشکیل می دهند.

طبقه بندی منیفولدهای مختلط بسیار ظریف تر از منیفولدهای قابل تمایز است. برای مثال، در حالی که در ابعادی غیر از چهار، یک منیفولد توپولوژیکی معین حداکثر دارای ساختارهای صاف بسیار محدودی است ، یک منیفولد توپولوژیکی که از یک ساختار مختلط پشتیبانی می‌کند، می‌تواند و اغلب از بسیاری از ساختارهای مختلط پشتیبانی می‌کند. سطوح ریمان ، منیفولدهای دو بعدی مجهز به ساختار مختلط که از نظر توپولوژیکی بر اساس جنس طبقه بندی می شوند ، نمونه مهمی از این پدیده هستند. مجموعه ای از ساختارهای مختلط روی یک سطح قابل جهت دهی معین، معادل دولومورفیک مدولو، خود یک تنوع جبری مختلط به نام فضای مدولی را تشکیل می دهد که ساختار آن منطقه ای برای تحقیقات فعال باقی می ماند.

از آنجایی که نقشه‌های انتقال بین نمودارها دو شکل هستند، منیفولدهای مختلط، به‌ویژه، صاف و متعارف جهت‌گیری دارند (نه فقط قابل جهت‌گیری : یک نقشه باهولومورفیک به (زیر مجموعه‌ای از) C n جهت‌گیری می‌دهد، زیرا نقشه‌های بیهولومرفیک جهت‌گیری را حفظ می‌کنند).

نمونه هایی از منیفولدهای مختلط [ ویرایش ]

سطوح ریمان
منیفولدهای Calabi–Yau .
محصول دکارتی دو منیفولد مختلط.
تصویر معکوس هر مقدار غیر بحرانی یک نقشه هولومورفیک.

انواع مختلط جبری صاف [ ویرایش ]

انواع جبری مختلط یکنواخت منیفولدهای مختلط ای هستند، از جمله:

فضاهای برداری مختلط
فضاهای تصویری مختلط , [2] P n ( C ).
گراسمانین مختلط .
گروه های Lie مختلط مانند GL( n ، C ) یا Sp( n ، C ).

به سادگی متصل [ ویرایش ]

منیفولدهای مختلط 1 بعدی که به سادگی متصل شده اند به یکی از این دو شکل هم شکل هستند:

Δ، دیسک واحد در C
ج ، صفحه مختلط
È ، کره ریمان

توجه داشته باشید که بین اینها شامل Δ ⊆ C ⊆ Ĉ وجود دارد ، اما هیچ نقشه هولومورف غیر ثابتی در جهت دیگر، توسط قضیه لیوویل وجود ندارد .

دیسک در مقابل فضا در مقابل پلی دیسک [ ویرایش ]

فضاهای زیر به عنوان منیفولدهای مختلط متفاوت هستند و ویژگی هندسی سفت‌تر منیفولدهای مختلط (در مقایسه با منیفولدهای صاف) را نشان می‌دهند:

فضای مختلط $\mathbb {C} ^{n}$ .
دیسک واحد یا توپ باز

$\left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.$

پلی دیسک

. $\left\{z=(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j= 1,\dots,n\right\}.$

ساختارهای تقریباً مختلط [ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد تقریبا مختلط

یک ساختار تقریباً مختلط در یک منیفولد 2n حقیقی، یک ساختار GL( n ، C ) است (به معنای ساختارهای G ) - یعنی دسته مماس مجهز به ساختار مختلط خطی است .

به طور مشخص، این یک اندومورفیسم از دسته مماس است که مربع آن - I است . این اندومورفیسم مشابه ضرب در عدد خیالی i است و J نشان داده می شود (برای جلوگیری از اشتباه گرفتن با ماتریس هویت I ). یک منیفولد تقریباً مختلط لزوماً یک بعدی است.

یک ساختار تقریباً مختلط ضعیف‌تر از یک ساختار مختلط است: هر منیفولد مختلط ساختار تقریباً مختلط‌ای دارد، اما هر ساختار تقریباً مختلط‌ای از یک ساختار مختلط به دست نمی‌آید. توجه داشته باشید که هر منیفولد حقیقی زوج‌بعدی ساختار تقریباً مختلط‌ای دارد که به صورت محلی از نمودار مختصات محلی تعریف شده است. سوال این است که آیا این ساختار تقریباً مختلط را می توان در سطح جهانی تعریف کرد؟ ساختار تقریباً مختلط ای که از یک ساختار مختلط ناشی می شود، یکپارچه نامیده می شود ، و زمانی که فردی بخواهد ساختار مختلط ای را در مقابل ساختار تقریباً مختلط مشخص کند، می گوید یک ساختار مختلط یکپارچه . برای ساختارهای مختلط یکپارچه، به اصطلاح تانسور Nijenhuis ناپدید می شود. این تانسور بر روی جفت فیلدهای برداری، X ، Y توسط تعریف شده است

$N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .$

به عنوان مثال، کره 6 بعدی S 6 یک ساختار تقریباً مختلط طبیعی دارد که ناشی از این حقیقیت است که مکمل متعامد i در کره واحد اکتیون ها است ، اما این ساختار مختلط ای نیست. (مسئله ای که آیا ساختار مختلط ای دارد یا نه ، بعد از هاینز هاپف به عنوان مسئله هاپف شناخته می شود . [3] ) با استفاده از یک ساختار تقریباً مختلط می توانیم نقشه های هولومورفیک را درک کنیم و در مورد وجود مختصات هولومورفیک در منیفولد بپرسیم. وجود مختصات هولومورفیک معادل این است که بگوییم منیفولد مختلط است (این چیزی است که تعریف نمودار می گوید).

با تانسور کردن بسته مماس با اعداد مختلط ، بسته مماس مختلط شده را دریافت می کنیم ، که ضرب در اعداد مختلط منطقی است (حتی اگر با یک منیفولد حقیقی شروع کنیم). مقادیر ویژه یک ساختار تقریباً مختلط ± i است و فضاهای ویژه زیر مجموعه هایی را تشکیل می دهند که با T 0,1 M و T 1,0 M نشان داده می شوند . قضیه نیولندر-نیرنبرگ نشان می‌دهد که یک ساختار تقریباً مختلط در واقع یک ساختار مختلط است، دقیقاً زمانی که این زیرمجموعه‌ها غیرگیرانه باشند ، یعنی در زیر براکت Lie از میدان‌های برداری بسته باشند، و چنین ساختار تقریباً مختلط‌ای را یکپارچه‌پذیر می‌نامند .

منیفولدهای Kahler و Calabi-Yau [ ویرایش ]

می توان یک آنالوگ از یک متریک ریمانی برای منیفولدهای مختلط تعریف کرد که متریک هرمیتی نامیده می شود . مانند یک متریک ریمانی، یک متریک هرمیتی شامل یک حاصلضرب درونی قطعی مثبت و هموار متغیر بر روی بسته مماس است که با توجه به ساختار مختلط در فضای مماس در هر نقطه، هرمیتی است. همانطور که در مورد ریمانی، چنین معیارهایی همیشه در هر منیفولد مختلط به وفور وجود دارد. اگر قسمت متقارن چول چنین متریکی سمپلتیک باشد ، یعنی بسته و غیر منحط باشد، آن متریک کاهلر نامیده می شود . ساخت سازه های کاهلر بسیار سخت تر و بسیار سفت تر هستند.

نمونه هایی از منیفولدهای کاهلر شامل انواع پرتابی صاف و به طور کلی هر زیرمنیفولد مختلط یک منیفولد کاهلر است. منیفولدهای Hopf نمونه‌هایی از منیفولدهای مختلط هستند که کاهلر نیستند. برای ساختن یک، یک فضای برداری مختلط منهای مبدا بگیرید و عمل گروه اعداد صحیح را روی این فضا با ضرب در exp( n ) در نظر بگیرید. ضریب یک منیفولد مختلط است که اولین عدد بتی آن یک است، بنابراین طبق نظریه هاج ، نمی تواند کاهلر باشد.

منیفولد Calabi -Yau را می توان به عنوان یک منیفولد Ricci-flat Kahler فشرده یا معادل آن تعریف کرد که اولین کلاس Chern آن ناپدید می شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

بعد مختلط
تنوع تحلیلی مختلط
منیفولد کواترنیونی
منیفولد حقیقی - مختلط

پاورقی ها [ ویرایش ]

^ باید از دیسک واحد باز استفاده کرد $\mathbb {C} ^{n}$ به عنوان فضای مدل به جای $\mathbb {C} ^{n}$ زیرا اینها بر خلاف منیفولدهای حقیقی هم شکل نیستند.
^ این بدان معنی است که تمام فضاهای مختلط تصویری، برخلاف حالت حقیقی، جهت‌پذیر هستند
^ آگریکولا، ایلکا ؛ بازونی، جیووانی؛ گورتشس، الیور; کنستانتیس، پاناگیوتیس؛ رولنسک، سونکه (2018). "درباره تاریخچه مشکل Hopf". هندسه دیفرانسیل و کاربردهای آن . 57 : 1-9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

منابع [ ویرایش ]

کودایرا، کونیهیکو (17 نوامبر 2004). منیفولدهای مختلط و تغییر شکل سازه های مختلط . کلاسیک در ریاضیات. اسپرینگر. شابک 3-540-22614-1.

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_manifold

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی