5-گراسمانین

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ | 20:49

دوگانگی [ ویرایش ]

هرک $k$ -فضای فرعی بعدی $W\subset V$ یک را تعیین می کند $(nk)$ فضای ضریب بعدی $V/W$ از $V$ . این ترتیب دقیق کوتاه طبیعی را نشان می دهد :

$0\right arrow W\right arrow V\right arrow V/W\right arrow 0.$

با در نظر گرفتن دوگانه به هر یک از این سه فضا و تبدیل های خطی دوگانه ، شامل یک $(V/W)^{*}$ که در $V^{*}$ با ضریب∗ $W^{*}$

. $0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.$

استفاده از یکریختی طبیعی یک فضای برداری با بعد محدود با دوگانه مضاعف آن نشان می دهد که گرفتن مجدد دوتایی، دنباله دقیق کوتاه اولیه را بازیابی می کند. در نتیجه یک مکاتبه یک به یک بین وجود دارد $k$ -زیر فضاهای بعدی $V$ و $(nk)$ -زیر فضاهای بعدی $V^{*}$ . از نظر گراسمان، این یک هم شکلی متعارف می دهد

$\mathbf {Gr} _{k}(V)\فلش راست چپ \mathbf {Gr} {(nk},V^{*})$

که به هر زیرفضا مرتبط است $W\subset V$ نابود کننده آن $W^{0}\subset V^{*}$ . انتخاب یکریختی از $V$ با $V^{*}$ بنابراین یک یکریختی (غیر متعارف) بین را تعیین می کند $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ و $\mathbf {Gr} _{nk}(V)$ . یکریختی از $V$ با $V^{*}$ معادل انتخاب یک ضرب درونی است، بنابراین با توجه به ضرب درونی انتخابی، این هم ریختی گراسمان ها هرک $k$ فضای فرعی بعدی به آن $(nk)$ }-متمم متعامد بعدی .

سلول های شوبرت [ ویرایش ]

مطالعه دقیق گراسمانینs از تجزیه به زیرپایه های وابسته به نام سلول های شوبرت استفاده می کند که برای اولین بار در هندسه شمارشی به کار رفت . سلول های شوبرت برای $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ بر حسب یک پرچم کامل مشخص از فضاهای فرعی تعریف می شوند $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ از بعددمنمتر(من)=من $\mathrm {dim} (V_{i})=i$ . برای هر پارتیشن

= $\lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})$

از وزن

||=∑من=1کمن $|\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}$

متشکل از اعداد صحیح غیر منفی با کاهش ضعیف

$\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,$

که نمودار یانگ آن در یک مستطیل قرار می گیرد $(nk)^{k}$ ، سلول شوبرت $X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ از آن عناصر تشکیل شده است $W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ که تقاطع آنها با فضاهای فرعی است $\{V_{i}\}$ دارای ابعاد زیر می باشد

$X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j- \lambda _{j}})=j\}.$

این فضاهای نزدیک هستند و بسته شدن آنها (در توپولوژی زاریسکی ) به عنوان گونه های شوبرت شناخته می شود .

به عنوان نمونه ای از تکنیک، مشکل تعیین مشخصه اویلر را در نظر بگیرید ک، $\chi _{k,n}$ از گراسمانین $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ از زیرفضاهای k بعدی R n . الف را رفع کنید1 $1$ -فضای فرعی بعدیآر $\mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}$ و پارتیشن را در نظر بگیرید $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ به زیرفضاهای k- بعدی R n که حاوی R و آنهایی که نیستند. سابق است $\mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})$ و دومی یک رتبه است $k$ بسته نرم افزاری بردار $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})$ . این فرمول های بازگشتی به دست می دهد:

$\chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{ 0,n}=\chi _{n,n}=1.$

حل این روابط بازگشتی فرمول زیر را به دست می دهد: $\chi _{k,n}=0$ اگر $n$ یکنواخت است وک $k$ عجیب است و

$\chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2 }}\right\rfloor \end{pmatrix}}$

در غیر این صورت.

حلقه کومولوژی مختلط گراسمانین [ ویرایش ]

هر نقطه در منیفولد مختلط گراسمن $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})$ را تعریف می کندک $k$ - فضا در $n$ -فضا. فیبر کردن این صفحات بر روی صفحه گراسمانی به بسته بردار می رسد $E$ که بسته توتولوژیک یک فضای تصویری را تعمیم می دهد . به طور مشابه $(nk)$ - مکمل های متعامد بعدی این صفحات یک بسته بردار متعامد ایجاد می کنند. $F$ . هم‌شناسی انتگرال گراسمانی‌ها به‌عنوان یک حلقه توسط کلاس‌های Chern ایجاد می‌شود. $E$ . به طور خاص، تمام هم‌شناسی انتگرال در یک درجه یکسان مانند فضای تصویری است.

این ژنراتورها تابع مجموعه ای از روابط هستند که حلقه را مشخص می کند. بیان روابط تعیین کننده برای مجموعه بزرگتری از ژنراتورها که از کلاس های Chern تشکیل شده است آسان است. $E$ واف $F$ . سپس روابط صرفاً بیان می کنند که مجموع مستقیم بسته ها $E$ و $F$ پیش پا افتاده است کارکردی بودن کل کلاس‌های Chern به شخص اجازه می‌دهد این رابطه را به‌عنوان بنویسد

$c(E)c(F)=1.$

حلقه همومولوژی کوانتومی توسط ادوارد ویتن محاسبه شد . [7] ژنراتورها با مولدهای حلقه همومولوژی کلاسیک یکسان هستند، اما رابطه بالا به

$c_{k}(E)c_{nk}(F)=(-1)^{nk}$

منعکس کننده وجود در نظریه میدان کوانتومی متناظر یک لحظه با2 $2n$ حالت های صفر فرمیونی که درجه همومولوژی مربوط به یک حالت توسط را نقض می کند2 $2n$ واحدها

اندازه گیری مرتبط [ ویرایش ]

چه زمانی $V$ هست یک $n$ فضای اقلیدسی بعدی، ممکن است یک اندازه یکنواخت را بر روی آن تعریف کنیم $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ به روش زیر. اجازه دهید $\theta _{n}$ واحد اندازه گیری هار در گروه متعامد باشد $O(n)$ و رفع کنید $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ . سپس برای یک مجموعه $A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ ، تعريف كردن

$\gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.$

این اقدام تحت عمل گروه ثابت است $O(n)$ ; به این معنا که،

$\gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)$

برای همه $g\in O(n)$ . از آنجا که $\theta _{n}(O(n))=1$ ، ما داریم $\gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1$ . علاوه بر این $\gamma _{k,n}$ یک اندازه گیری رادون با توجه به توپولوژی فضای متریک است و یکنواخت است به این معنا که هر توپ با شعاع یکسان (با توجه به این متریک) از همان اندازه است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی