ریاضیات

معادله شرودینگر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله شرودینگر

همیلتونی تکامل زمانی حالت های کوانتومی را ایجاد می کند. اگروضعیت سیستم در زمان است، سپس

این معادله معادله شرودینگر است . شکلی مشابه معادله همیلتون-جاکوبی دارد که یکی از دلایل آن استهمیلتونی نیز نامیده می شود. با توجه به وضعیت در زمان اولیه (، می توانیم آن را حل کنیم تا در هر زمان بعدی حالت را بدست آوریم. به ویژه، اگرپس مستقل از زمان است

عملگر نمایی در سمت راست معادله شرودینگر معمولاً با سری توان مربوطه تعریف می شود.. ممکن است متوجه شوید که گرفتن چند جمله ای یا سری توانی از عملگرهای نامحدود که در همه جا تعریف نشده اند ممکن است منطقی ریاضی نباشد. به طور جدی، برای گرفتن توابع عملگرهای نامحدود، یک حساب تابعی مورد نیاز است. در مورد تابع نمایی، حساب تابعی پیوسته ، یا فقط حساب تابعی هولومورف کافی است. با این حال، مجدداً متذکر می شویم که برای محاسبات رایج، فرمول فیزیکدانان کاملاً کافی است.

با خاصیت هممورفیسم حساب تابعی، عملگر

یک اپراتور واحد است . این عملگر تکامل زمانی یا انتشار دهنده یک سیستم کوانتومی بسته است. اگر همیلتون مستقل از زمان باشد،تشکیل یک گروه واحد یک پارای (بیش از یک نیمه گروه )؛ این امر باعث ایجاد اصل فیزیکی تعادل جزئی می شود .

فرمالیسم دیراک [ ویرایش ]

با این حال، در فرمالیسم کلی تر دیراک ، همیلتونی معمولاً به عنوان یک عملگر در فضای هیلبرت به روش زیر اجرا می شود :

کت های ویژه ( بردارهای ویژه ) از، نشان داده شده است، یک مبنای متعارف برای فضای هیلبرت فراهم می کند. طیف سطوح انرژی مجاز سیستم با مجموعه مقادیر ویژه داده می شود، حل معادله:

از آنجا کهیک اپراتور هرمیتی است ، انرژی همیشه یک عدد حقیقی است .

از نقطه نظر ریاضی دقیق، باید مراقب فرضیات فوق بود. عملگرهای فضاهای بی‌بعد هیلبرت نیازی به داشتن مقادیر ویژه ندارند (مجموعه مقادیر ویژه لزوماً با طیف یک عملگر منطبق نیست ). با این حال، تمام محاسبات معمول مکانیک کوانتومی را می توان با استفاده از فرمول فیزیکی انجام داد. [ توضیح لازم است ]

عبارات همیلتونی [ ویرایش ]

در زیر عباراتی برای هامیلتونی در تعدادی از موقعیت ها آمده است. [2] روش‌های معمولی برای طبقه‌بندی عبارات، تعداد ذرات، تعداد ابعاد، و ماهیت تابع انرژی پتانسیل است - وابستگی به مکان و زمان مهم است. توده ها با نشان داده می شوند، و اتهامات توسط.