1--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه هجدهم دی ۱۴۰۲ | 1:45

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، همیلتونی یک سیستم، عملگر مربوط به کل انرژی آن سیستم، شامل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است . طیف آن ، طیف انرژی سیستم یا مجموعه ای از مقادیر ویژه انرژی آن ، مجموعه ای از نتایج ممکن است که از اندازه گیری انرژی کل سیستم به دست می آید. به دلیل ارتباط نزدیک آن با طیف انرژی و تکامل زمانی یک سیستم، در اکثر فرمول‌بندی‌های نظریه کوانتومی از اهمیت اساسی برخوردار است .

نام همیلتونی از ویلیام روآن همیلتون گرفته شده است که فرمول مجدد انقلابی مکانیک نیوتنی را ایجاد کرد که به مکانیک همیلتونی معروف است ، که از نظر تاریخی برای توسعه فیزیک کوانتومی مهم بود. مشابه نماد برداری ، معمولا با نشان داده می شود ${\ کلاه {H}}$ ، جایی که کلاه نشان می دهد که اپراتور است. می توان آن را به صورت هم $اچ$ یا ${\بررسی {H}}$ .نوشت

مقدمه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر (فیزیک) § عملگرها در مکانیک کوانتومی

همیلتونی یک سیستم نشان دهنده کل انرژی سیستم است. یعنی مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل تمام ذرات مرتبط با سیستم. همیلتونی اشکال مختلفی دارد و در برخی موارد می توان با در نظر گرفتن ویژگی های مشخص سیستم مورد تجزیه و تحلیل، مانند ذرات منفرد یا چند در سیستم، برهمکنش بین ذرات، نوع انرژی پتانسیل، پتانسیل متغیر زمان یا مستقل از زمان، آن را ساده کرد. یکی

شرودینگر همیلتونیان [ ویرایش ]

یک ذره [ ویرایش ]

بر اساس قیاس با مکانیک کلاسیک ، همیلتونین معمولاً به عنوان مجموع عملگرهای مربوط به انرژی جنبشی و پتانسیل یک سیستم در شکل بیان می شود.

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},$

جایی که ${\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t)$ اپراتور انرژی بالقوه است و ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p }}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$ عملگر انرژی جنبشی است که در آن $متر$ جرم ذره است ، نقطه نشان دهنده حاصلضرب نقطه بردارها است، و ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,$ عملگر حرکت است که در آن $\nabla$ عملگر del است . ضرب نقطه ای از $\nabla$ با خودش لاپلاسی $\nabla ^{2}$ است . در سه بعد با استفاده از مختصات دکارتی عملگر لاپلاس است

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y }^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}$

اگرچه این تعریف فنی همیلتونی در مکانیک کلاسیک نیست ، اما شکلی است که معمولاً به خود می گیرد. از ترکیب اینها شکل استفاده شده در معادله شرودینگر بدست می آید :

${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat { p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{ 2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{تراز شده}}$

که به شخص اجازه می دهد تا همیلتون را در سیستم هایی که توسط یک تابع موج توصیف شده است اعمال کند $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ . این رویکردی است که معمولاً در درمان‌های مقدماتی مکانیک کوانتومی با استفاده از فرمالیسم مکانیک موج شرودینگر اتخاذ می‌شود.

همچنین می‌توان متغیرهای خاصی را جایگزین موارد خاص کرد، مانند برخی از متغیرهای مربوط به میدان‌های الکترومغناطیسی.

مقدار انتظار [ ویرایش ]

می توان نشان داد که مقدار انتظاری هامیلتونی که مقدار انتظار انرژی را می دهد همیشه بزرگتر یا مساوی با حداقل پتانسیل سیستم خواهد بود.

محاسبه مقدار انتظاری انرژی جنبشی را در نظر بگیرید:

${\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left( {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({ \left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\ چپ({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={ \frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2} \,dx\geq 0\end{تراز شده}}$

بنابراین مقدار انتظاری انرژی جنبشی همیشه غیر منفی است. این نتیجه را می توان برای محاسبه مقدار انتظاری کل انرژی که برای یک تابع موج نرمال شده به صورت زیر داده می شود استفاده کرد:

$E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}( ایکس)$

که اثبات را کامل می کند. به طور مشابه، شرط را می توان با استفاده از قضیه واگرایی به هر ابعاد بالاتر تعمیم داد .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

1--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین