ریاضیات

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه سوم مرداد ۱۳۹۸ | 1:5

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ساختار جبری → نظریه گروه نظریه گروه

مفاهیم پایه[نمایش]
گروه های محدود [نمایش]
گروه های گسسته البسه [نمایش]
گروه توپولوژیک و دروغ [نمایش]
گروه های جبری [نمایش]
v t e

اعداد حقیقی تشکیل یک گروه توپولوژیک تحت علاوه بر

در ریاضیات ، یک گروه توپولوژیکی یک گروه G و یک توپولوژی در G است، به این ترتیب هر دو عملگر باینری گروه و عناصر گروه تابع نقشه برداری به معکوس آنها به صورت توابع پیوسته با توجه به توپولوژی است. یک گروه توپولوژیک یک شیء ریاضی با هر دو ساختار جبری و یک ساختار توپولوژیک است. بنابراین، به دلیل ساختار گروه، ممکن است عملیات جبری را انجام دهد، و ممکن است به دلیل توپولوژی در مورد توابع پیوسته صحبت کند.

گروه های توپولوژیک، همراه با اقدامات گروه مستمر ، برای بررسی تقارن مداوم استفاده می شوند که کاربرد زیادی دارند، به عنوان مثال در فیزیک .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

یک گروه توپولوژیک ، G ، یک فضای توپولوژیک است که همچنین گروهی است که عملیات گروهی محصول:

{\ displaystyle G \ times G \ to G: (x، y) \ mapsto xy} $G \ times G \ to G: (x، y) \ mapsto xy$

و در نظر گرفتن inverses:

{\ displaystyle G \ to G: x \ mapsto x ^ {- 1}} $G \ به G: x \ mapsto x ^ {-1}$

پیوسته ( یعنی اگر برای هر مجموعه باز باشد{\ displaystyle U \ subset G} ${\ displaystyle U \ subset G}$ ما آن را داشته ایم {\ displaystyle f ^ {- 1} (U)} $f ^ {- 1} (U)$ در دامنه باز است {\ displaystyle {\ text {dom}} (f)} ${\ displaystyle {\ text {dom}} (f)}$ از {\ displaystyle f} $f$ ، سپس تابع پیوسته است). اینجا{\ displaystyle G \ times G} $G \ times G$ به عنوان یک فضای توپولوژیک با توپولوژی محصول نگاه می شود . بنابراین اگر محصول برای همه باز باشد، محصول مداوم است{\ displaystyle U \ subset G} ${\ displaystyle U \ subset G}$ به طوری که {\ displaystyle xy \ in U} ${\ displaystyle xy \ in U}$ وجود دارد باز است {\ displaystyle V \ times W \ زیر مجموعه G \ times G} ${\ displaystyle V \ times W \ زیر مجموعه G \ times G}$ با {\ displaystyle (x، y) \ در V \ times W} ${\ displaystyle (x، y) \ در V \ times W}$ و {\ displaystyle V \ cdot W: = \ {pq: p \ در V، q \ in W \} \ subset U} ${\ displaystyle V \ cdot W: = \ {pq: p \ در V، q \ in W \} \ subset U}$ و در صورتی که برای همه باز باشد، معکوس می شود {\ displaystyle U \ subset G} ${\ displaystyle U \ subset G}$ با {\ displaystyle x ^ {- 1} \ in U} ${\ displaystyle x ^ {- 1} \ in U}$ ، یک باز وجود دارد {\ displaystyle V \ subset G} ${\ displaystyle V \ subset G}$ با {\ displaystyle x \ in V} $x \ in V$ ، به طوری که {\ displaystyle V ^ {- 1}: = \ {p ^ {-1}: p \ in V \} \ subset U} ${\ displaystyle V ^ {- 1}: = \ {p ^ {-1}: p \ in V \} \ subset U}$ .

اگر چه بخشی از این تعریف نیست، بسیاری از نویسندگان [1] لازم است که توپولوژی در G باشد هاسدورف ؛ معادل آن فرض می شود که یک تکین حاوی عنصر هویت 1 یک زیر مجموعه ای از G است . دلایل و برخی شرایط معادل آن در زیر بحث شده است. در هر صورت، هر گروه توپولوژیک را می توان توسط Hausdorff ساخته شده با در نظر گرفتن یک فاکتور مناسب کانونی.

در زبان تئوری دسته بندی ، گروه های توپولوژیک می تواند به طور مختصر به عنوان اشیاء گروه در رده فضاهای توپولوژی تعریف شده ، به همان شیوه ای که گروه های عادی در گروه مجموعه ای از اشیاء گروه هستند . توجه داشته باشید که axioms از نظر نقشه (محصول باینری، معکوس انفرادی و هویت نولاری) داده شده اند، از این رو تعاریف طبقه بندی هستند.

هومومورفیسم [ ویرایش ]

همریخت گروه های توپولوژیکی به معنای مداوم گروه همریخت G {\ displaystyle \ to} $\به$ H . ریخت گروه های توپولوژیکی است ریختی گروه که آن هم یک همسانریختی از فضاهای توپولوژیک زمینه ای است. این قوی تر از آن است که نیاز به یک اصطکاک گروه مستمر دارد - معکوس نیز باید مداوم باشد. نمونه هایی از گروه های توپولوژیکی وجود دارد که به صورت گروه های عادی اصطکاک دارند اما نه به عنوان گروه های توپولوژیک. در واقع، هر گروه توپولوژیک غير گسسته نيز در صورتيکه با توپولوژي گسسته در نظر گرفته شود، گروه توپولوژيکي است. گروه های زیرزمینی مشابه هستند، اما گروه های توپولوژیکی یک ایزومورفیسم نیستند.

گروه های توپولوژیک، همراه با هموگلوبین آنها، یک دسته را تشکیل می دهند .

مثالها [ ویرایش ]

هر گروه را می توان با استفاده از توپولوژي گسسته ، به صورت گروهي توپولوژي به صورت سه گانه ايجاد کرد . چنین گروه هایی گروه های گسسته نامیده می شوند . به این معنا، نظریه گروههای توپولوژیکی، از گروههای عادی تشکیل شده است.

اعداد حقیقی ، R با توپولوژی معمول یک گروه توپولوژیک تحت علاوه بر تشکیل می دهد. n- space Euclidean R n همچنین یک گروه توپولوژیک تحت اضافه شدن است و به طور کلی هرفضای بردار توپولوژیک یک گروه توپولوژیک (abelian) را تشکیل می دهد. برخی از نمونه های دیگر از آبلی گروه توپولوژیک هستند گروه دایره S 1 ، یا چنبره ( S 1 ) N برای هر عدد طبیعی n را .

گروه های موسیقی کلاسیک از نمونه های مهم گروه های توپولوژیکی غیر آبلی است. به عنوان مثال، گروه کلی خط GL ( n ، R ) از تمام ماتریس های n -by- n معکوس با ورودی های واقعی می تواند به عنوان یک گروه توپولوژیک با توپولوژی تعریف شده توسط مشاهده GL ( n ، R ) به عنوان زیر فضای اقلیدس R N × N . یکی دیگر از گروه های کلاسیک، گروه متعاملی O ( n ) است، گروهی از همه نقشه های خطی از R n به خود که حفظ طول تمام بردارها. گروه متعامد به عنوان فضای توپولوژیک جمع می شود. بخش عمده ای از هندسه اقلیدسی می تواند به عنوان مطالعه ساختار گروه متعامد، و یا گروه از نزدیک مرتبط مشاهده O ( N ) ⋉ R N از isometries از R N .

گروه های ذکر شده تا کنون تمام گروه های دروغین هستند ، به این معنی که آنها منیفوات صاف هستند به طوری که عملیات گروه صاف و نه تنها مستمر است. گروه های دروغ گروه های توپولوژیک هستند که به خوبی شناخته شده اند بسیاری از سوالات در مورد گروه های دروغ می تواند به سوالات صرفا جبری در مورد جبر های دروغ تبدیل شده و سپس حل شود.

نمونه ای از یک گروه توپولوژیک است که یک گروه که دروغ نیست گروه افزودنی است Q از اعداد گویا ، با توپولوژی به ارث رسیده از R . این یک فضای قابل شمارش است و توپولوژی گسسته ندارد. یک مثال مهم برای نظریه اعداد این گروه است Z ص از اعداد صحیح P-adic به ، برای یک عدد اول ص ، به این معنی حد معکوس از گروه های محدود Z / ص N به عنوان نفر می رود تا بی نهایت. گروه Z پبه خوبی رفتار می شود که در آن فشرده است (در حقیقت، به مجموعه کاندور ربطی ندارد )، اما از گروه های واقعی (واقعی) متفاوت است در آن کاملا قطع شده است . به طور کلی، یک نظریه از گروه های دروغین p-adic ، از جمله گروه های جمع و جور مانند GL ( n ، Z p ) و همچنین گروه های جمع و جور محلی مانند GL ( n ، Q p ) وجود دارد، جایی که Q p به صورت محلی جمع می شود از اعداد p-adic .

گروه Z p یک گروه طرفدار محدود است ؛ آن را به یک زیر گروه از محصول isomorphic است{\ displaystyle \ prod _ {n \ geq 1} \ mathbb {Z} / p ^ {n}} ${\ displaystyle \ prod _ {n \ geq 1} \ mathbb {Z} / p ^ {n}}$ به طوری که توپولوژی آن توسط توپولوژی محصول، که در آن گروه های محدود ایجاد شده است {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n}} ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n}}$ توپولوژي گسسته داده مي شود. یکی دیگر از کلاس های بزرگ از گروه های طرفدار محدود در نظریه اعداد مهم هستند گروه مطلق Galois .

برخی از گروه های توپولوژیکی را می توان به عنوان گروه های بی نهایت دروغ نگاه کرد . این عبارت به صورت غیر رسمی به کار می رود، و شامل چندین نمونه از خانواده های مختلف است. به عنوان مثال، یک فضای بردار توپولوژیک ، مانند یک فضای Banach یا فضای هیلبرت ، یک گروه توپولوژیکی Abelian در زیر است. برخی دیگر گروه های بی نهایت بعدی که با موفقیت های مختلفی مورد مطالعه قرار گرفته اند، عبارتند از گروه های حلقه ای ، گروه های Kac-Moody ، گروه های اختلال شناختی ، گروه های هومورفیسم و گروه های سنجنده .

در هر جبر Banach با هویت تکراری، مجموعه ای از عناصر قابل برگشت یک گروه توپولوژیک تحت ضرب تشکیل می شود. به عنوان مثال، گروهی از اپراتورهای محدود معکوس در یک فضای هیلبرت به این طریق بوجود می آیند.

خواص [ ویرایش ]

عملیات معکوس بر روی یک گروه توپولوژیک G یک ریزه کاری از G به خود است. به همین ترتیب، اگر هر عنصر از است G ، پس از آن به سمت چپ یا راست ضرب شده توسط بازده همسانریختی G → G .

هر گروه توپولوژیک را می توان به دو صورت به عنوان یک فضای یکنواخت نگاه کرد . یکنواختی چپ تبدیل تمام ضرب چپ به نقشه یکنواخت ممتد، و یکنواختی راست تبدیل تمام ضرب حق را به نقشه های یکنواخت پیوسته است. [2] اگر G است abelian نیست، پس این دو نیاز نباشند. ساختارهای یکنواخت می توانند در مورد مفاهیم مانند تکمیل ، پیوستگی یکنواخت و همسان سازی یکساندر گروه های توپولوژیک صحبت کنند.

به عنوان یک فضای یکنواخت، هر گروه توپولوژیک کاملا منظم است . بدین ترتیب اگر عنصر هویت در یک گروه توپولوژیک G بسته شود ، سپس G T 2 ( Hausdorff )، حتی T 3½ ( Tychonoff ) است. اگر G است هاسدورف نیست، پس می توان یک گروه هاسدورف با عبور به گروه خارج قسمت به دست آوردن G / K ، که در آن K است بسته شدن از هویت. [3] این معادلمقادیر Kolmogorov از G است .

Birkhoff-Kakutani به قضیه (بعد از ریاضیدانان به نام گرت Birkhoff و Shizuo و Kakutani به ) آمده است که سه شرط زیر در یک گروه توپولوژیک G معادل: [4]

عنصر هویت 1 در G بسته شده است و پایگاه محاسبه شده برای محله های 1 برای G وجود دارد .
G است ناتهی یک مجموعه میگر (به عنوان یک فضای توپولوژیک).
یک متریک غیرقابل جبری چپ در G وجود دارد که توپولوژی داده شده در G را ایجاد می کند . (یک متریک در G اگر برای هر نقطه a در G نامتقارن باقی بماند ، نقشه x ↦ ax یکایزومتری از G به خود است)

هر زیرگروه یک گروه توپولوژیک به صورت گروه توپولوژیکی به صورت توپولوژی زیربنایی است . اگر H یک زیرگروه از G باشد ، مجموعه ای از G / H مخفف چپ با توپولوژی تقریبی فضای همگن برای G نامیده می شود . نقشه تقسیم q : G → G / H همیشه باز است . برای مثال، برای یک عدد صحیح مثبت n ، کره S n یک فضای همگن برای گروه چرخش SO ( n +1) در R n +1 ، با S n = SO ( n +1) / SO ( n ). فضای همگن G / H Hausdorff است اگر و فقط اگر H در G بسته شود . [5] به طور خاص به این دلیل، طبیعی است که در هنگام مطالعه گروههای توپولوژیکی تمرکز بر زیرگروه های بسته شود.

هر زیرگروه باز H نیز در G بسته است ، از آنجا که مکمل H مجموعه باز است که توسط اتحاد مجموعه بازهای gH برای g در G \ H. داده می شود.

اگر H یک زیرگروه نرمال از G باشد ، گروه G / H به صورت گروه توپولوژیک با توجه به توپولوژی تقریبی تبدیل می شود. Hausdorff فقط و فقط اگر H در G بسته باشد. به عنوان مثال، گروه خارج قسمت R / Z ریخت به گروه دایره است S 1 .

اگر H یک زیرگروه از G باشد، بسته شدن H نیز یک زیرگروه است. به همین ترتیب، اگر H یک زیرمجموعه طبیعی G باشد ، بسته شدن H در G طبیعی است .

در هر گروه توپولوژیکی، مولفه هویت (به عنوان مثال، مولفه متصل که حاوی عنصر هویت است) یک زیرگروه بسته نرمال است. اگر C جزء هویت و a است هر نقطه از G ، سپس coset چپ aCجزء G شامل a است . بنابراین مجموعه ای از کلیه های چپ چپ (یا Cets سمت راست) C در G برابر با جمع آوری تمام اجزای G است . از این رو است که گروه تقسیم G / C کاملا قطع شده است. [6]

قضایا isomorphism از تئوری گروه عادی همیشه در تنظیم توپولوژیکی درست نیست. این به این علت است که یک homomorphism ابژه ای نیازی به یک ایزومورفیسم گروه های توپولوژیک نیست. قضیه معتبر است اگر یک محدودیت خاص در نقشه های مربوطه قرار گیرد. به عنوان مثال، اولین قضیه ایزومورفیس بیان می کند که اگر f : G → H homomorphism باشد، هموموفیسم از G / ker ( f ) به im ( f ) isomorphism است اگر و فقط اگر نقشه f بر روی تصویر آن باز باشد. [7]

مشکل پنجم هیلبرت [ ویرایش ]

چندین نتیجه قوی در ارتباط بین گروه های توپولوژیکی و گروه های دروغ وجود دارد. اول، هر homomorphism پیوسته از گروه های دروغ است{\ displaystyle G \ to H} $G \ به H$ صاف است به این ترتیب یک گروه توپولوژیک اگر یک وجود داشته باشد، یک ساختار منحصر به فرد از گروه دروغین دارد. همچنین قضیه Cartan می گوید که هر زیرگروه بسته یک گروه دروغ یک زیرگروه دروغ است، به ویژه یک زیرمنیفولد صاف .

مسئله پنجم هیلبرت پرسید که آیا یک گروه توپولوژیک G که یک چندجمله توپولوژیک است باید یک گروه دروغ باشد. به عبارت دیگر، آیا G دارای ساختار یک طبقه بندی صاف است و عملیات گروه را صحیح انجام می دهد؟ همانطور که توسط اندرو گلیسون ، دین مونتگومری و لئو زیپین نشان داده شده است، پاسخ به این مشکل بله است. [8] در حقیقت، G یکساختار تحلیلی واقعی دارد. با استفاده از ساختار صاف، می توان جبر دروغ G را تعریف کرد، جسم جبری خطی که یکگروه متصل G را تاپوشش فضاهای . در نتیجه، حل مسئله پنجم هیلبرت، طبقه بندی گروه های توپولوژیکی را که چندبعدی توپولوژیکی به یک مشکل جبری است، کاهش می دهد، هرچند یک مشکل پیچیده به طور کلی است.

قضیه نیز برای طبقه های گسترده تر از گروه های توپولوژیکی تاثیر می گذارد. اول، هر گروه جمع و جور (که به معنای Hausdorff است) یک حد معکوس از گروه های کم عمق است. (یک مورد مهم حد معکوس از گروه های محدود است، به نام گروه profinite . به عنوان مثال، گروه Z ص از ص اعداد صحیح adic ارزیابی و گروه Galois مطلق از گروه های profinite است.) علاوه بر این، هر متصل گروه موضعا فشرده است یک حد معکوس از گروه های دروغین متصل. [9] در افراطی دیگر، یک گروه کاملا جمع و جور از نظر جمع و جور، همواره دارای یک زیرگروه فشرده باز است که لزوما یک گروه غیرعادی است. [10](به عنوان مثال گروه GL ( n ، Q p ) جمعيت جمعي GL ( n ، Q p ) شامل زيرگروه باز جمعي GL ( n ، Z p ) است که معادله معکوس گروه هاي محدود GL ( n ، Z / p r ) است به عنوان r به بی نهایت.)

نمایندگی از گروه های جمع و جور و محلی جمع و جور [ ویرایش ]

عمل یک گروه توپولوژیک G در یک فضای توپولوژیک X است اقدام گروه از G در X به طوری که تابع مربوطه G × X → X پیوسته است. به همین ترتیب، نمایندگی از یک گروه توپولوژیک Gدر حقیقی یا مختلط توپولوژیکی فضای برداری V یک عمل مداوم است G در V طوری که برای هر گرم در G ، نقشه V ↦ GV از V به خود خطی است.

اعمال گروهی و تئوری نمایندگی به طور خاص برای گروه های جمع و جور به خوبی درک می شود، تعمیم آنچه اتفاق می افتد برای گروه های محدود است . به عنوان مثال، هر نمایش مجرد (واقعی یا پیچیده) یک گروه جمع و جور، یک مقدار مستقیم از بازنمودهای غیر قابل انعطاف است . نمای یکپارچه بی نهایت یک گروه جمع و جور می تواند به صورت یک مجموع مستقیم بازنمودهای هیدروتب فضایی تجزیه شود که همه آنها یک بعدی هستند. این بخشی از قضیه پیتر ویل است . [11] به عنوان مثال، نظریه مجموعه های فوریه ، تجزیه ی نمایشی واحد از گروه دایره S 1 را توصیف می کنددر فضای پیچیده هیلبرت L 2 ( S 1 ). تظاهرات غیرقابل تحویل S 1 همه ی یک بعدی هستند، از فرم z ↦ z n برای عدد صحیح n (که S 1 به عنوان زیرگروه گروه multiplicative C * مشاهده می شود). هر یک از این بازنمایی ها با تعداد 1 در L 2 ( S 1 ) رخ می دهد .

بازنمودهای غیرقابل تحویل از همه گروههای غیرمجاز متصل شده به طبقه بندی طبقه بندی شده اند. به طور خاص، شخصیت هر نمایندگی غیر قابل انعطاف توسط فرمول شخصیت ویل داده می شود .

به طور کلی، گروه های جمع و جور محلی دارای نظریه غنی از تجزیه و تحلیل هارمونیک هستند ، چرا که آنها یک مفهوم طبیعی از اندازه گیری و انتگرال ، اعطا شده توسط اقدام هار اعطا می کنند .هر نمایندگی یکپارچه یک گروه جمع و جور محلی می تواند به عنوان یک انتگرال مستقیم از تظاهرات های یکپارچه غیر قابل انعطاف توصیف شود . (تجزیه اساسا منحصر به فرد است اگر G است از نوع I ، که شامل نمونه های مهم ترین جمله گروه های abelian و گروه های دروغ semisimple . [12] ) یک مثال اساسی این است که تبدیل فوریه ، که تجزیه اقدام گروه های افزودنی Rدر فضای هیلبرت L 2 ( R ) به عنوان یک جدایی ناپذیر مستقیم از نمایندگی واحد غیر قابل تقلیل R . نمایندگی واحد غیر قابل تقلیل R همه 1 بعدی، از فرم X ↦ الکترونیکی 2π IAX برای ∈ R .

تظاهرات یکپارچه غیر قابل انعطاف یک گروه جمع و جور محلی ممکن است بی نهایت بعدی باشد. یک هدف عمده تئوری نمایندگی، مربوط به طبقه بندی لانگگلاندز از بازنمود پذیری ، یافتن دوگانگی واحد (فضای همه بازنمودهای یکپارچه غیر قابل انطباق) برای گروه های نیمه عادی دروغ است. دوگانگی واحد در بسیاری از موارد مانند SL (2، R ) ، اما نه همه شناخته شده است.

برای یک گروه abelian جمع و جور محلی G ، هر نمایندگی واحد غیر قابل انعطاف دارای ابعاد 1 است. در این مورد، دوگانگی واحد{\ displaystyle {\ hat {G}}} ${\ displaystyle {\ hat {G}}}$ یک گروه، در واقع یک گروه Abelian محلی جمع و جور است. دوگانگی Pontryagin بیان می کند که برای یک گروه Abelian محلی G ، دو برابر از{\ displaystyle {\ hat {G}}} ${\ displaystyle {\ hat {G}}}$ گروه اصلی G است . به عنوان مثال، گروه دو از اعداد صحیح Z گروه دایره است S 1 ، در حالی که گروه R از اعداد حقیقی ریخت به دو خود است.

هر گروه جمعيت محلی جمعيت G دارای ذخاير خوب نمايندگی واحد مجرد است؛ به عنوان مثال، بازنمایی های کافی برای تشخیص نقاط G ( قضیه Gelfand-Raikov ). در مقابل، نظریه نمایندگی برای گروه های توپولوژیک که فاقد محلی نیستند تا کنون تنها در شرایط خاص توسعه یافته است و ممکن است انتظار نداشته باشد یک نظریه عمومی باشد. به عنوان مثال، بسیاری از گروه هایBanach-Lie abelian وجود دارد که هر نمایشی در فضای هیلبرت بی اهمیت است. [13]

تئوری Homotopy گروههای توپولوژیک [ ویرایش ]

گروه های توپولوژیکی در میان تمام فضاهای توپولوژیکی، حتی از لحاظ نوع هماتوپاتی، خاص هستند . یک نکته اساسی این است که یک گروه توپولوژیک G یک فضای توپولوژیک مسیر متصل شود، تعیین فضای طبقه بندی BG (که طبقه بندی اصلی G -bundles بیش از فضاهای توپولوژیک، تحت فرضیه خفیف). گروه G ریخت در است دسته هموتوپی به فضای حلقه از BG . که محدودیت های مختلفی را در مورد نوع هماتوپاتی G نشان می دهد . [14] برخی از این محدودیت ها در زمینه گسترده ای از فضاهای H وجود دارد .

به عنوان مثال، گروه اساسی یک گروه توپولوژیک G Abelian است. (به طور کلی، کالا وایتهد در گروه های homotopy از G صفر است.) همچنین، برای هر زمینه K از های cohomologyحلقه H * ( G ، K ) دارای ساختار یک جبر Hopf . با توجه به نظریه های ساختاری در مورد جبر های هوف توسط هاینز هوف و آرماند بورل ، این محدودیت های شدید را در حلقه های احتمال هماهنگ سازی گروه های توپولوژیک ایجاد می کند. به طور خاص، اگر G یک گروه توپولوژیک وابسته به مسیر است که حلقه منطقی منطقی H است* ( G ، Q ) در هر درجه ی بعدی یک بعدی است و سپس این حلقه باید یک جبر انتقالی درجه بندی شده بر روی Q باشد ، یعنی محصول تانسور یک حلقه چندجملهای در ژنراتورهای درجه ی حتی با یک جبری بیرونی در ژنراتورهای درجه ای عجیب و غریب [15]

به طور خاص، برای یک گروه دروغ متصل G ، حلقه همخونی منطقی G یک جبر بیرونی در ژنراتورهای درجه فرد است. علاوه بر این، یک گروه دروغ متصل G دارای زیرمجموعه حداکثر زیر گروه K است ، که منحصربفرد است تا همپوشانی، و ورودی K به G یک همبستگی homotopy است . بنابراین توصیف انواع homotopy گروه های دروغ را به صورت گروه های فشرده جمع می کند. به عنوان مثال، زیرمجموعه حداکثر جمع و جور SL (2، R ) گروه دایره SO (2) است و فضای همگن SL (2، R ) / SO (2) را می توان با سطح هیپربولیک شناسایی کرد . از آنجا که هواپیما هذلولی استقابل تعویض، ورودی گروه دایره به SL (2، R ) یک همبستگی همگانی است.

در نهایت، گروه های فلش فشرده متصل شده توسط ویلهلم کشتن ، الی کارتان و هرمان وایل طبقه بندی شده اند . به عنوان یک نتیجه، یک توصیف اساسا کامل از انواع ممکن است homotopy گروه های دروغ وجود دارد. به عنوان مثال، یک گروه فشرده متصل به دروازه ای از ابعاد بیشتر از 3، یک torus است، گروه SU (2) ( diffeomorphic به 3-sphere S 3 )، یا گروه تقسیم SU (2) / {± 1} ≅ SO (3) (متفاوت به RP 3 ).

کلیات [ ویرایش ]

تعمیم های مختلف گروه های توپولوژیکی را می توان با تضعیف شرایط تداوم: [16]

یک گروه semitopological یک گروه G با توپولوژی است به طوری که برای هر c در G دو توابع G → G تعریف شده توسط{\ displaystyle x \ mapsto xc} $x \ mapsto xc$ و {\ displaystyle x \ mapsto cx} $x \ mapsto cx$ مداوم هستند
یک گروه quasitopological یک گروه semitopological که در آن عناصر تابع نقشه برداری به inverses خود نیز مداوم است.
گروه paratopological یک گروه با یک توپولوژی به طوری که عملیات این گروه پیوسته است.

همچنین نگاه کنید به [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ آرمسترانگ (1997)، ص. 73؛ برادون (1997)، ص. 51
^ بوربکی (1998)، بخش III.3.
^ بوربکی (1998)، بخش III.2.7.
^ مونتگومری و زیپین (1955)، بخش 1.22.
^ بوربکی (1998)، بخش III.2.5.
^ بوربکی (1998)، بخش I.11.5.
^ بوربکی (1998)، بخش III.2.8.
^

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

هومومورفیسم [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

مشکل پنجم هیلبرت [ ویرایش ]

نمایندگی از گروه های جمع و جور و محلی جمع و جور [ ویرایش ]

تئوری Homotopy گروههای توپولوژیک [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین