1-نماد برا-کت

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه دوم آذر ۱۴۰۲ | 14:18

نماد برا-کت

نشانه گذاری برای حالت های کوانتومی / از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

قضیه نمایندگی ریس

معادله شرودینگر

تابع موج

هوش مصنوعی ویکی وند عزیز، بیایید با پاسخ دادن به این سؤالات کلیدی آن را کوتاه نگه داریم:

آیا می توانید حقایق و آمارهای برتر در مورد نماد برا-کت را فهرست کنید؟

این مقاله را برای یک کودک 10 ساله خلاصه کنید

نمایش همه سؤالات

نماد برا-کت که به آن نماد دیراک نیز می گویند ، نمادی است برای جبر خطی و عملگرهای خطی در فضاهای برداری مختلط همراه با فضای دوگانه آنها در حالت بعد محدود و بینهایت. این به طور خاص برای سهولت انواع محاسباتی که اغلب در مکانیک کوانتومی مطرح می شوند طراحی شده است . استفاده از آن در مکانیک کوانتومی بسیار گسترده است.

بخشی از مجموعه مقالات در مورد

مکانیک کوانتومی

${\\displaystyle i\\hbar {\\frac {\\partial }{\\partial t}}|\\psi (t)\\rangle ={\\hat {H}}|\\psi (t) \\رنگ }$

معادله شرودینگر

معرفی
واژه نامه
تاریخ

▴

زمینه

▾

مبانی

▾

آزمایش

▾

فرمولاسیون

▾

معادلات

▾

تفاسیر

▾

موضوعات پیشرفته

▾

دانشمندان

v
تی
ه

نشانه گذاری برا-کت توسط پل دیراک در سال 1939 در انتشارات خود با نام "نشان گذاری جدید برای مکانیک کوانتومی" ایجاد شد . علامت گذاری به عنوان روشی ساده تر برای نوشتن عبارات مکانیکی کوانتومی معرفی شد. این نام از کلمه انگلیسی "براکت" گرفته شده است.

مکانیک کوانتومی

در مکانیک کوانتومی ، نماد برا-کت همه جا برای نشان دادن حالات کوانتومی استفاده می شود . نماد از براکت های زاویه استفاده می کند ، $\langle$ و $\رنگ$ و یک نوار عمودی $|$ ، برای ساخت "برا" و "کت".

کت به شکل است $|v\rangle$ . از نظر ریاضی نشان دهنده یک بردار است ، ${\boldsymbol {v}}$ ، در فضای برداری انتزاعی (مختلط). $V$ و از نظر فیزیکی حالتی از یک سیستم کوانتومی را نشان می دهد.

برا به شکلی است $\langle f|$ . از نظر ریاضی بیانگر یک شکل خطی است $f:V\to \mathbb {C}$ ، یعنی یک نقشه خطی که هر بردار را در آن نگاشت می کند $V$ به یک عدد در صفحه مختلط $\mathbb{C}$ . اجازه دادن به تابع خطی $\langle f|$ بر روی یک بردار عمل کنید $| v\rangle$ به صورت نوشته شده است $\langle f|v\rangle \in \mathbb {C}$ .

فرض کنید که در $V$ یک ضرب درونی $(\cdot,\cdot)$ وجود دارد با آرگومان اول ضد خطی ، که باعث می شود $V$ فضای داخلی ضرب سپس با این ضرب درونی هر بردار ${\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle$ را می توان با یک فرم خطی مربوطه، با قرار دادن بردار در شکاف اول ضد خطی حاصلضرب داخلی شناسایی کرد: $({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |$ . مطابقت بین این نمادها پس از آن است $({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle$ . فرم خطی $\langle \phi |$ یک بردار $|\phi\rangle$ است، و مجموعه همه بردارها یک فضای فرعی از فضای برداری دوگانه را تشکیل می دهند $V^{\vee }$ ، به فضای برداری اولیه $V$ . هدف از این فرم خطی $\langle \phi |$ اکنون می توان از نظر ایجاد پیش بینی در مورد وضعیت درک کرد ${\boldsymbol {\phi }},$ برای پیدا کردن اینکه دو حالت چقدر به صورت خطی وابسته هستند و غیره.

برای فضای برداری $\mathbb {C} ^{n}$ کت ها را می توان با بردارهای ستونی و برا ها را با بردارهای ردیفی شناسایی کرد. ترکیب برا ها، کت ها و عملگرهای خطی با استفاده از ضرب ماتریس تفسیر می شوند . اگر $\mathbb {C} ^{n}$ ضرب داخلی هرمیتی استاندارد $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w$ را دارد، در این شناسایی، شناسایی کت ها و برا ها و بالعکس که توسط ضرب داخلی ارائه می شود، مزدوج هرمبتی (مشخص می شود ) است.

معمول است که شکل برداری یا خطی را از علامت برا-کت حذف کنید و فقط از یک برچسب در داخل تایپوگرافی برای برا یا کت استفاده کنید. برای مثال عملگر اسپین ${\hat {\sigma }}_{z}$ در فضای دو بعدی $\ دلتا$ از اسپینرها، دارای مقادیر ویژه است ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ با اسپینرهای ویژه ${\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta$ . در نماد برا-کت، این معمولاً به عنوان نشان داده می شود ${\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle$ ، و ${\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle$ . همانطور که در بالا، کت و برا با برچسب یکسان به عنوان کت و برا مطابق با یکدیگر با استفاده از ضرب داخلی تفسیر می شوند. به طور خاص، هنگامی که با بردارهای ردیف و ستون نیز شناسایی می شوند، کت ها و برا ها با همان برچسب با بردارهای ستون و ردیف مزدوج هرمیتی شناسایی می شوند .

نماد برا-کت به طور موثر در سال 1939 توسط پل دیراک ایجاد شد . بنا براین به عنوان نماد دیراک نیز شناخته می‌شود، علیرغم وجود داشتن پیش‌نما در استفاده هرمان گراسمن از $[\phi {\mid }\psi ]$ برای ضرب داخلی نزدیک به 100 سال قبل.

فضاهای برداری

بردارها در مقابل کت ها

در ریاضیات، اصطلاح "بردار" برای عنصری از هر فضای برداری استفاده می شود. با این حال، در فیزیک، اصطلاح «بردار» تقریباً منحصراً به کمیت هایی مانند جابجایی یا سرعت اشاره دارد که دارای مؤلفه هایی هستند که مستقیماً به سه بعد فضا یا از نظر نسبیتی به چهار بعد فضازمان مربوط می شوند . چنین بردارهایی معمولاً با فلش های روی نشان داده می شوند ${\vec {r}}$ ، پررنگ ( $\mathbf {p}$ ) یا شاخص ها ( $v^{\mu }$ ).

در مکانیک کوانتومی، حالت کوانتومی معمولاً به‌عنوان عنصری از فضای مختلط هیلبرت نشان داده می‌شود، برای مثال، فضای برداری بی‌بعدی همه توابع موج ممکن (توابع انتگرال‌پذیر مربعی که هر نقطه از فضای سه‌بعدی را به یک عدد مختلط نگاشت می‌کنند) یا برخی دیگر. فضای هیلبرت بیشتر به صورت جبری ساخته شده است. برای تشخیص این نوع بردار از مواردی که در بالا توضیح داده شد، در فیزیک نشان دادن یک عنصر رایج و مفید است. $\phi$ یک فضای برداری مختلط انتزاعی به عنوان یک کت $|\phi\rangle$ ، به جای بردار به آن به عنوان "کت" اشاره کنیم و آن را "کت-" تلفظ کنیم. $\phi$ " یا "کت-A" برای A .

نمادها، حروف، اعداد یا حتی کلمات - هر چیزی که به عنوان یک برچسب مناسب عمل می کند - می توانند به عنوان برچسب داخل یک کت استفاده شوند. $|\ \rangle$ مشخص می کند که برچسب یک بردار در فضای برداری را نشان می دهد. به عبارت دیگر، نماد " A " از نظر نوع متغیری که نشان داده می شود، معنای ریاضی قابل تشخیصی دارد، در حالی که فقط " A " به خودی خود ندارد. به عنوان مثال، 1 + 2 لزوما برابر با 3نیست . _ با این وجود، برای راحتی، معمولاً برخی از طرح‌های منطقی در پشت برچسب‌های درون کت‌ها وجود دارد، مانند رویه رایج برچسب‌گذاری ویژه‌های انرژی در مکانیک کوانتومی از طریق فهرست کردن اعداد کوانتومی آنها . در ساده ترین حالت، برچسب داخل کت مقدار ویژه یک عملگر فیزیکی است، مانند ${\ کلاه {x}}$ ، ${\ کلاه {p}}$ ، ${\hat {L}}_{z}$ ، و غیره.

نشانه گذاری

از آنجایی که کت ها فقط بردارهایی در فضای برداری هرمیتی هستند، می توان آنها را با استفاده از قوانین معمول جبر خطی دستکاری کرد. مثلا:

${\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &= \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{تراز شده}}$

توجه داشته باشید که چگونه خط آخر بالا شامل بی نهایت کت های مختلف است، یکی برای هر عدد حقیقیx .

از آنجایی که کت عنصری از فضای برداری است، برا $\langle A|$ یک عنصر از فضای دوگانه آن است ، یعنی برا یک تابع خطی است که یک نقشه خطی از فضای برداری به اعداد مختلط است. بنا براین، مفید است که کت ها و برا ها را به عنوان عناصر فضاهای برداری مختلف در نظر بگیریم (اما به زیر مراجعه کنید) که هر دو مفاهیم مفید متفاوتی هستند.

یک برا $\langle \phi |$ و یک کت $|\psi\rangle$ (یعنی یک تابع و یک بردار)، می تواند به یک عملگر ترکیب شود $|\psi \rangle \langle \phi |$ رتبه یک با ضرب بیرونی

شناسایی ضرب داخلی و برا-کت در فضای هیلبرت

مقاله اصلی: ضرب داخلی

نماد برا-کت مخصوصاً در فضاهای هیلبرت که یک ضرب درونی دارند که اجازه می دهد صرف هرمیتی و شناسایی یک بردار با تابع خطی پیوسته، یعنی کت با یک برا، و بالعکس (به قضیه نمایش رییز مراجعه کنید ) مفید است. ضرب داخلی در فضای هیلبرت $(\ ,\ )$ (با اولین آرگومان ضد خطی که توسط فیزیکدانان ترجیح داده می شود) کاملاً معادل یک شناسایی (ضد خطی) بین فضای کت ها و برا ها در نماد براکت است: برای یک کت بردار= $\phi =|\phi \rangle$ یک عملکردی (یعنی برا) را تعریف کنید= $f_{\phi }=\langle \phi |$ توسط

$(\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\ psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle$

برا و کت به عنوان بردار ردیف و ستون

در حالت ساده ای که فضای برداری را در نظر می گیریم $\mathbb {C} ^{n}$ کت را می توان با بردار ستونی و برا را به عنوان بردار ردیفی شناسایی کرد . اگر علاوه بر این، از ضرب استاندارد داخلی هرمیت استفاده کنیم $\mathbb {C} ^{n}$ ، برا مربوط به کت، به ویژه برا m و یک کت m با همان برچسب جابه‌جایی مزدوج هستند . علاوه بر این، قراردادها به گونه ای تنظیم شده اند که نوشتن برا، کت و عملگرهای خطی در کنار یکدیگر به سادگی ضرب ماتریس را نشان می دهد . به ویژه ضرب بیرونی $|\psi \rangle \langle \phi |$ بردار ستون و ردیف کت و برا را می توان با ضرب ماتریس شناسایی کرد (بردار ستون ضربدر بردار ردیف برابر با ماتریس است).

برای یک فضای برداری با ابعاد محدود، با استفاده از یک مبنای متعارف ثابت، حاصل ضرب داخلی را می توان به صورت ضرب ماتریسی بردار ردیف با بردار ستون نوشت :

$\langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_ {N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_ {1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}$

بر این اساس برا و کت ها را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

${\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\ end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{تراز شده }}$

و سپس فهمیده می شود که برا در کنار کت به معنی ضرب ماتریس است .

جابه‌جایی مزدوج (هم‌چنین به آن مزدوج هرمیتی نیز گفته می‌شود ) یک برا کت مربوطه است و بالعکس:

$\langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|$

زیرا اگر با برا شروع شود

${\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,$

سپس یک صرف مختلط را انجام می دهد و سپس یک ماتریس جابجایی را انجام می دهد ، یکی به کت ختم می شود

${\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}$

نوشتن عناصر یک فضای برداری با ابعاد محدود (یا mutatis mutandis ، قابل شمارش نامتناهی) به عنوان بردار ستونی از اعداد مستلزم انتخاب یک پایه است . انتخاب یک مبنا همیشه مفید نیست زیرا محاسبات مکانیک کوانتومی شامل جابه‌جایی مکرر بین پایه‌های مختلف است (مثلاً مبنای موقعیت، مبنای تکانه، مبنای ویژه انرژی)، و می‌توان چیزی مانند " m" را بدون تعهد به هیچ مبنای خاصی نوشت. در موقعیت‌هایی که شامل دو بردار پایه مهم مختلف است، بردارهای پایه را می‌توان به طور صریح در نماد در نظر گرفت و در اینجا به سادگی به عنوان " − " و " + " اشاره می‌شود.

حالت های غیر عادی و فضاهای غیر هیلبرت

حتی اگر فضای برداری یک فضای هیلبرت نباشد، می توان از نماد برا-کت استفاده کرد .

در مکانیک کوانتومی، نوشتن کت هایی که هنجارهای بی نهایت دارند ، یعنی توابع موج غیرقابل عادی سازی، معمول است . به عنوان مثال می توان به حالت هایی اشاره کرد که توابع موج آنها توابع دلتای دیراک یا امواج صفحه بی نهایت هستند . اینها از نظر فنی به خود فضای هیلبرت تعلق ندارند . با این حال، تعریف "فضای هیلبرت" را می توان برای تطبیق با این حالات گسترش داد (به ساخت و ساز گلفاند-نیمارک-سگال یا فضاهای ساختگی هیلبرت مراجعه کنید ). نماد برا-کت به روشی مشابه در این زمینه گسترده تر به کار خود ادامه می دهد.

فضاهای باناخ تعمیم متفاوتی از فضاهای هیلبرت هستند. در فضای باناخ B ، بردارها را می‌توان با کت‌ها و تابع‌های خطی پیوسته با برا‌ها مشخص کرد. در هر فضای برداری بدون توپولوژی ، ما همچنین می‌توانیم بردارها را با کت‌ها و تابع‌های خطی را با سینه‌بند علامت‌گذاری کنیم. در این زمینه‌های کلی‌تر، براکت معنای حاصلضرب درونی را ندارد، زیرا قضیه نمایش ّ کاربرد ندارد.

کاربرد در مکانیک کوانتومی

ساختار ریاضی مکانیک کوانتومی تا حد زیادی بر اساس جبر خطی است :

توابع موج و سایر حالات کوانتومی را می توان به صورت بردار در فضای مختلط هیلبرت نشان داد . (ساختار دقیق این فضای هیلبرت به موقعیت بستگی دارد.) برای مثال، در نماد برا-کت، یک الکترون ممکن است در "حالت" ψ . (از نظر فنی، حالات کوانتومی پرتوهایی از بردارها در فضای هیلبرت هستند، زیرا c ψ با همان حالت برای هر عدد مختلط غیرصفر c مطابقت دارد .)
برهم نهی های کوانتومی را می توان به صورت مجموع برداری از حالت های تشکیل دهنده توصیف کرد. به عنوان مثال، یک الکترون در حالت1/√2 1 + در برهم نهی کوانتومی حالات 1 و 2 . _
اندازه‌گیری‌ها با عملگرهای خطی (به نام قابل مشاهده ) در فضای هیلبرت حالت‌های کوانتومی مرتبط هستند .
دینامیک نیز توسط عملگرهای خطی در فضای هیلبرت توصیف می شود. به عنوان مثال، در تصویر شرودینگر ، یک عملگر خطی تکامل زمانی U با این ویژگی وجود دارد که اگر یک الکترون در حالت ψ در حال حاضر، در زمان بعدی در حالت U خواهد بود ψ ، U یکسان برای هر ψ .
نرمال سازی تابع موج ، مقیاس بندی یک تابع موج است به طوری که هنجار آن 1 باشد.

از آنجایی که تقریباً هر محاسباتی در مکانیک کوانتومی شامل بردارها و عملگرهای خطی می‌شود، می‌تواند شامل علامت‌گذاری برا-کت باشد، و اغلب شامل آن می‌شود. چند نمونه در ادامه می آید:

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

1-نماد برا-کت

نماد برا-کت

نشانه گذاری برای حالت های کوانتومی / از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کوانتومی

فضاهای برداری

بردارها در مقابل کت ها

نشانه گذاری

شناسایی ضرب داخلی و برا-کت در فضای هیلبرت

حالت های غیر عادی و فضاهای غیر هیلبرت

کاربرد در مکانیک کوانتومی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین