3-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ | 3:52

قانون تبدیل برداری [ ویرایش ]

چرخش های فعال یک بردار سه بعدی p در فضای اقلیدسی حول محور n بر روی یک زاویه η را می توان به راحتی بر حسب حاصل ضرب نقطه ای و متقاطع به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$

که در آن

$p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n}$

جزء طولی p در امتداد n است که توسط حاصل ضرب نقطه ای داده می شود .

$\mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

جزء عرضی p نسبت به n است و

$\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$

حاصل ضرب متقابل p با n است .

فرمول بالا نشان می دهد که مولفه طولی p بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که قسمت عرضی p در صفحه عمود بر n می چرخد . این صفحه توسط قسمت عرضی خود p و جهتی عمود بر هر دو p و n کشیده شده است . چرخش مستقیماً در معادله به عنوان یک چرخش دوبعدی بر روی یک زاویه η قابل شناسایی است .

چرخش های غیرفعال را می توان با همان فرمول، اما با علامت معکوس η یا n توصیف کرد .

فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمودارها در SO(3)

ماتریس چرخش ↔ زوایای اویلر [ ویرایش ]

زوایای اویلر ( φ , θ , ψ ) را می توان از ماتریس چرخش استخراج کرد.آ $\mathbf {A}$ با بررسی ماتریس چرخش به صورت تحلیلی.

ماتریس چرخش ← زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی ) [ ویرایش ]

با استفاده از قرارداد x ، زوایای اویلر بیرونی 3-1-3 φ , θ و ψ (در اطراف محور z ، محور x و دوبارهز $ز$ -axis) را می توان به صورت زیر بدست آورد:

${\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right) )\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{تراز شده}}$

توجه داشته باشید که atan2( a , b ) معادل آرکتان است که در آن ربعی که نقطه ( b , a ) در آن قرار دارد را نیز در نظر می گیرد . atan2 را ببینید .

هنگام اجرای تبدیل، باید چندین موقعیت را در نظر گرفت: [5]

به طور کلی دو راه حل در بازه [-π, π] 3 وجود دارد . فرمول فوق فقط زمانی کار می کند که θ در بازه [0, π] باشد .
برای حالت خاص A 33 = 0 , φ و ψ از A 11 و A 12 مشتق خواهند شد .
در خارج از بازه [-π, π] 3 راه حل های بی نهایت زیاد اما قابل شمارش وجود دارد .
اینکه آیا همه راه‌حل‌های ریاضی برای یک کاربرد معین اعمال می‌شوند یا نه بستگی به موقعیت دارد.

زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) → ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چرخش های زنجیره ای داونپورت § چرخش های زنجیره ای تایت-برایان

ماتریس چرخش A از زوایای ذاتی اویلر 3-2-1 با ضرب سه ماتریس ایجاد شده توسط چرخش حول محورها ایجاد می شود.

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A } _{Y}\mathbf {A} _{X}$

محورهای چرخش به قرارداد خاصی که استفاده می شود بستگی دارد. برای کنوانسیون x ، چرخش‌ها حول محورهای x -، y - و z با زاویه‌های ϕ ، θ و ψ هستند ، ماتریس‌های مجزا به شرح زیر هستند:

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0& \cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi & \cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

این بازده

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \ phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\ \end{bmatrix}}$

توجه: این برای یک سیستم دست راست ، که قراردادی است که تقریباً در تمام رشته های مهندسی و فیزیک استفاده می شود، معتبر است .

تفسیر این ماتریس‌های چرخش راست دست این است که تبدیل‌های مختصات ( غیرفعال ) را در مقابل تبدیل‌های نقطه‌ای ( فعال ) بیان می‌کنند. از آنجایی که A یک چرخش از قاب محلی 1 به فریم سراسری 0 را بیان می کند (یعنی A محورهای فریم 1 wrt فریم 0 را رمزگذاری می کند )، ماتریس های چرخش ابتدایی مانند بالا تشکیل می شوند. از آنجایی که چرخش معکوس فقط چرخش جابجا شده است، اگر بخواهیم چرخش جهانی به محلی را از فریم 0 به فریم 1 کنیم ، می‌نویسیم. $\mathbf {A} ^{\top }=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\top }=\ mathbf {A} _{X}^{\top }\mathbf {A} _{Y}^{\top }\mathbf {A} _{Z}^{\ top }$ .

ماتریس چرخش ↔ محور/زاویه اویلر [ ویرایش ]

اگر زاویه اویلر θ مضرب π نباشد ، محور اویلر ê و زاویه θ را می توان از عناصر ماتریس چرخش A به صورت زیر محاسبه کرد:

${\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\ frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }} \\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{تراز شده}}$

به طور متناوب، می توان از روش زیر استفاده کرد:

تجزیه ویژه ماتریس چرخش مقادیر ویژه 1 و cos θ ± i sin θ را به دست می دهد . محور اویلر بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1 است و θ را می توان از مقادیر ویژه باقیمانده محاسبه کرد.

محور اویلر را می‌توان با استفاده از تجزیه مقدار منفرد نیز یافت زیرا بردار نرمال‌شده‌ای است که فضای تهی ماتریس I - A را در بر می‌گیرد .

برای تبدیل روش دیگر، ماتریس چرخش مربوط به محور اویلر ê و زاویه θ را می توان با توجه به فرمول چرخش رودریگز (با اصلاح مناسب) به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e } }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta$

با I 3 ماتریس هویت 3 × 3 و

$\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&- e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}$

ماتریس ضربب متقابل است .

این گسترش می یابد:

${\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \ تتا )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_ {31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3} e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{تراز شده}}$

همچنین ببینید: ماتریس چرخش § ماتریس چرخش از محور و زاویه

ماتریس چرخش ↔ کواترنیون [ ویرایش ]

هنگام محاسبه یک کواترنیون از ماتریس چرخش، یک علامت ابهام وجود دارد، زیرا q و - q نشان دهنده چرخش یکسانی هستند.

یکی از روش های محاسبه کواترنیون

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}$

از ماتریس چرخش A به شرح زیر است:

${\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_ {i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{ r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{ 12}\راست)\end{تراز شده}}$

سه روش دیگر از لحاظ ریاضی معادل برای محاسبه q وجود دارد . عدم دقت عددی را می توان با اجتناب از موقعیت هایی که در آن مخرج نزدیک به صفر است کاهش داد. یکی از سه روش دیگر به صورت زیر است: [6] [7]

${\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}\\q_ {j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{ i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{ 23}\راست)\end{تراز شده}}$

ماتریس چرخش مربوط به کواترنیون q را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} } }\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathrm {T} }+2q_{r} \mathbf {\mathcal {Q}}$

جایی که

${\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end {bmatrix}}$

که می دهد

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k }q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k }q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right )\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right )&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

یا معادل آن

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{ k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{ k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r }\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r }\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی