6-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 18:45

مشکل نیروی مرکزی دو بدنه [ ویرایش ]

مقاله‌های اصلی: مسئله دو بدنه و نیروی مرکزی

دو جسم به جرم m 1 و m 2 با بردارهای موقعیت r 1 و r 2 به دلیل پتانسیل مرکزی جذاب V در مدار یکدیگر هستند . ما ممکن است لاگرانژ را بر حسب مختصات موقعیت همانطور که هستند بنویسیم، اما یک روش ثابت برای تبدیل مسئله دو بدنه به مسئله یک بدنه به شرح زیر است. مختصات ژاکوبی را معرفی کنید . جدایی اجسام r = r 2 - r 1 و محل مرکز جرم R = ( m 1 r1 + m 2 r 2 ) / ( m 1 + m 2 ) . پس لاگرانژ [35] [36] [nb 4] است

$L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace { {\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}$

که در آن M = m 1 + m 2 جرم کل است، μ = m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) جرم کاهش یافته است ، و V پتانسیل نیروی شعاعی است که فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد. | r | = | r 2 − r 1 | . لاگرانژ به یک ترم مرکز جرم L cm و یک حرکت نسبی تقسیم می شوداصطلاح L rel .

معادله اویلر-لاگرانژ برای R به سادگی است

$M{\ddot {\mathbf {R} }}=0\,,$

که بیان می کند مرکز جرم در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت می کند.

از آنجایی که حرکت نسبی فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد، ایده آل است که از مختصات قطبی ( r , θ ) استفاده کنیم و r = | r | ،

$L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }} ^{2})-V(r)\,,$

بنابراین θ یک مختصات چرخه ای با تکانه حفظ شده (زاویه ای) مربوطه است

$p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\ تتا }}=\ell \,.$

مختصات شعاعی r و سرعت زاویه ای d θ /d t می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که ℓ ثابت باشد. معادله لاگرانژ برای r است

$\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}\,.$

این معادله مشابه معادله شعاعی است که با استفاده از قوانین نیوتن در یک قاب مرجع هم چرخان به دست آمده است، یعنی قابی که با جرم کاهش یافته می چرخد تا ثابت به نظر برسد. حذف سرعت زاویه ای d θ / d t از این معادله شعاعی، [37]

$\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r ^{3}}}\,.$

که معادله حرکت برای یک مسئله یک بعدی است که در آن ذره ای با جرم μ تحت نیروی مرکزی به سمت داخل - d V / d r و نیروی دوم بیرونی قرار می گیرد که در این زمینه نیروی گریز از مرکز نامیده می شود.

$F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.$

البته، اگر فرد به طور کامل در فرمول یک بعدی باقی بماند، ℓ فقط به عنوان برخی از پارامترهای تحمیلی نیروی بیرونی وارد می شود، و تفسیر آن به عنوان تکانه زاویه ای بستگی به مسئله دو بعدی کلی تری دارد که مسئله یک بعدی از آن منشأ گرفته است. .

اگر کسی با استفاده از مکانیک نیوتنی در یک قاب هم چرخش به این معادله برسد، این تعبیر به عنوان نیروی گریز از مرکز در آن قاب به دلیل چرخش خود قاب مشهود است. اگر کسی مستقیماً با استفاده از مختصات تعمیم یافته ( r , θ ) و به سادگی از فرمول لاگرانژی بدون فکر کردن به فریم ها به این معادله برسیم، تفسیر این است که نیروی گریز از مرکز حاصل استفاده از مختصات قطبی است . همانطور که هیلدبراند می گوید: [38]

"از آنجایی که چنین مقادیری نیروهای فیزیکی واقعی نیستند، اغلب آنها را نیروهای اینرسی می نامند . وجود یا عدم وجود آنها بستگی به مشکل خاصی ندارد، بلکه به سیستم مختصات انتخاب شده بستگی دارد ." به طور خاص، اگر مختصات دکارتی انتخاب شود، نیروی گریز از مرکز ناپدید می شود، و فرمول فقط شامل خود نیروی مرکزی است که نیروی مرکزگرا را برای یک حرکت منحنی فراهم می کند.

این دیدگاه، که نیروهای ساختگی از انتخاب مختصات منشأ می گیرند، اغلب توسط کاربران روش لاگرانژی بیان می شود. این دیدگاه به طور طبیعی در رویکرد لاگرانژی به وجود می آید، زیرا چارچوب مرجع (احتمالاً ناخودآگاه) با انتخاب مختصات انتخاب می شود. برای مثال، برای مقایسه لاگرانژیان در چارچوب مرجع اینرسی و غیراینرسی، [39] را ببینید. همچنین به بحث در مورد فرمول‌های لاگرانژی «کل» و «به‌روزشده» نگاه کنید . در دیدگاه نیوتنی، نیروی اینرسی از شتاب چارچوب مشاهده سرچشمه می گیرد (این واقعیت که یک چارچوب مرجع اینرسی نیست.) نه در انتخاب سیستم مختصات. برای روشن نگه داشتن مسائل، بی خطرترین کار است که به نیروهای اینرسی لاگرانژی به عنوان نیروهای اینرسی تعمیم یافته اشاره کنیم تا آنها را از نیروهای اینرسی بردار نیوتنی متمایز کنیم. یعنی باید از پیروی هیلدبراند پرهیز کرد که می‌گوید (ص 155) "ما همیشه با نیروهای تعمیم‌یافته ، شتاب‌های سرعت و لحظه‌ای سروکار داریم. برای اختصار، صفت "تعمیم‌شده" اغلب حذف می‌شود.

مشخص است که لاگرانژی یک سیستم منحصر به فرد نیست. در فرمالیسم لاگرانژی، نیروهای ساختگی نیوتنی را می‌توان با وجود لاگرانژی‌های جایگزین شناسایی کرد که در آن‌ها نیروهای ساختگی ناپدید می‌شوند، که گاهی با بهره‌برداری از تقارن سیستم پیدا می‌شوند. [41]

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

ذره آزمایشی ذره ای است که جرم و بار آن به قدری کوچک فرض می شود که تأثیر آن بر سیستم خارجی ناچیز است. اغلب یک ذره نقطه ای ساده شده فرضی است که هیچ خاصیت دیگری جز جرم و بار ندارد. ذرات واقعی مانند الکترون ها و کوارک های بالا پیچیده تر هستند و اصطلاحات اضافی در لاگرانژی خود دارند.

لاگرانژی برای یک ذره باردار با بار الکتریکی q ، که با میدان الکترومغناطیسی برهمکنش دارد ، نمونه اولیه یک پتانسیل وابسته به سرعت است. پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ = ϕ ( r , t ) و پتانسیل بردار مغناطیسی A = A ( r , t ) از میدان الکتریکی E = E ( r , t ) و میدان مغناطیسی B = تعریف می شوند .B ( r , t ) به شرح زیر است:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} = {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \,.$

لاگرانژی یک ذره آزمایشی باردار عظیم در میدان الکترومغناطیسی

$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi \,,$

حداقل کوپلینگ نامیده می شود . این مثال خوبی برای زمانی است که قاعده کلی که لاگرانژ انرژی جنبشی منهای انرژی پتانسیل است نادرست است. ترکیب با معادله اویلر-لاگرانژ ، قانون نیروی لورنتس را تولید می کند

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r}}}\times \mathbf {B}$

تبدیل تحت گیج :

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f\,,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}}\,,$

در جایی که f ( r ,t) هر تابع اسکالر فضا و زمان است، لاگرانژی فوق الذکر به صورت زیر تبدیل می شود:

$L\right arrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right) f=L+q{\frac {df}{dt}}\,,$

که همچنان همان قانون نیروی لورنتس را تولید می کند.

توجه داشته باشید که تکانه متعارف (مزوج به موقعیت r ) تکانه جنبشی به اضافه سهمی از میدان A است (معروف به تکانه پتانسیل):

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} \،.$

این رابطه همچنین در تجویز جفت حداقل در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی استفاده می شود . از این عبارت، می‌توان دریافت که تکانه متعارف p ثابت سنج نیست، و بنابراین یک کمیت فیزیکی قابل اندازه‌گیری نیست. با این حال، اگر r چرخه‌ای باشد (یعنی لاگرانژ مستقل از موقعیت r باشد )، که اگر میدان‌های φ و A یکنواخت باشند، این تکانه متعارف p که در اینجا داده می‌شود، تکانه حفظ شده است، در حالی که تکانه جنبشی فیزیکی قابل اندازه‌گیری mv نیست .

الحاقات شامل نیروهای غیر محافظه کار [ ویرایش ]

اتلاف (یعنی سیستم‌های غیر محافظه‌کار) را می‌توان با یک لاگرانژی مؤثر که با دوبرابر شدن معینی درجات آزادی فرموله شده است، درمان کرد. [42] [43] [44] [45]

در یک فرمول کلی تر، نیروها می توانند هم محافظه کارانه و هم چسبناک باشند . اگر بتوان یک تبدیل مناسب از F i پیدا کرد ، ریلی استفاده از تابع اتلاف ، D ، به شکل زیر را پیشنهاد می‌کند: [46]

$D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}} _{j}{\dot {q}}_{k}\,$

که در آن C jk ثابت هایی هستند که به ضرایب میرایی در سیستم فیزیکی مربوط می شوند، البته نه لزوماً با آنها. اگر D به این صورت تعریف شود، [46]

$Q_j = - \frac {\partial V}{\partial q_j} - \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\ راست)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$

سایر زمینه ها و فرمول ها [ ویرایش ]

ایده‌های مکانیک لاگرانژی کاربردهای متعددی در سایر حوزه‌های فیزیک دارند و می‌توانند نتایج تعمیم‌یافته‌ای را از حساب تغییرات اتخاذ کنند.

فرمول بندی های جایگزین مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

یک فرمول نزدیک به مکانیک کلاسیک، مکانیک همیلتونی است . همیلتونی توسط

$H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i} }}-L\,$

و می توان با انجام تبدیل لژاندر روی لاگرانژ به دست آورد، که متغیرهای جدیدی را به صورت متعارف به متغیرهای اصلی معرفی می کند. برای مثال، با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته، متغیرهایی که بطور متعارف مزدوج می‌شوند ، لحظه‌های تعمیم‌یافته هستند. این تعداد متغیرها را دو برابر می کند، اما معادلات دیفرانسیل را مرتبه اول می کند. همیلتونی کمیتی به ویژه در مکانیک کوانتومی است که در همه جا حاضر است (به همیلتون (مکانیک کوانتومی) مراجعه کنید ).

مکانیک روتی یک فرمول ترکیبی از مکانیک لاگرانژی و همیلتونی است که اغلب در عمل استفاده نمی‌شود، اما یک فرمول کارآمد برای مختصات چرخه‌ای است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی