2-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 12:12

از مکانیک نیوتنی تا لاگرانژی [ ویرایش ]

قوانین نیوتن [ ویرایش ]

برای سادگی، قوانین نیوتن را می توان برای یک ذره بدون از دست دادن کلیت زیاد توضیح داد (برای سیستمی از ذرات N ، همه این معادلات برای هر ذره در سیستم اعمال می شود). معادله حرکت برای یک ذره با جرم m قانون دوم نیوتن در سال 1687 در نماد برداری مدرن است .

اف=مترآ،

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,$

که در آن a شتاب و F نیروی حاصل بر آن است. در سه بعد فضایی، این یک سیستم از سه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده برای حل است، زیرا سه جزء در این معادله برداری وجود دارد. راه حل بردار موقعیت r ذره در زمان t است ، مشروط به شرایط اولیه r و v زمانی که t = 0 باشد.

استفاده از قوانین نیوتن در مختصات دکارتی آسان است، اما مختصات دکارتی همیشه راحت نیستند، و برای سایر سیستم های مختصات، معادلات حرکت می تواند پیچیده شود. در مجموعه ای از مختصات منحنی ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )، قانون در نماد شاخص تانسور "شکل لاگرانژی" است [10] [11]

$F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^ {a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}} {\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\ جزئی {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi } }^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,$

که در آن F a امین مولفه متضاد نیروی حاصل بر ذره است ، Γ a bc نمادهای کریستوفل نوع دوم هستند .

$T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}$

انرژی جنبشی ذره است و g bc مولفه های کوواریانس تانسور متریک سیستم مختصات منحنی است . همه شاخص های a ، b ، c ، هر کدام مقادیر 1، 2، 3 را می گیرند. مختصات منحنی با مختصات تعمیم یافته یکسان نیستند.

شاید اجرای قانون نیوتن به این شکل پیچیده به نظر برسد، اما مزایایی دارد. مولفه های شتاب از نظر نمادهای کریستوفل را می توان با ارزیابی مشتقات انرژی جنبشی به جای آن اجتناب کرد. اگر نیروی حاصل بر ذره وارد نشود، F = 0 ، شتاب نمی گیرد، بلکه با سرعت ثابت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نظر ریاضی، راه حل های معادله دیفرانسیل، ژئودزیک هستندمنحنی‌های طولی بین دو نقطه در فضا (اینها ممکن است در نهایت حداقل باشند، بنابراین کوتاه‌ترین مسیرها هستند، اما این ضروری نیست). در فضای واقعی سه بعدی تخت، ژئودزیک ها به سادگی خطوط مستقیم هستند. بنابراین برای یک ذره آزاد، قانون دوم نیوتن با معادله ژئودزیک منطبق است و بیان می‌کند که ذرات آزاد از ژئودزیک‌ها پیروی می‌کنند، مسیرهایی که می‌تواند در امتداد آن حرکت کند. اگر ذره تحت تأثیر نیروهای F ≠ 0 باشد ، ذره به دلیل نیروهای وارد بر آن شتاب می گیرد و از ژئودزیکی که در صورت آزاد بودن به دنبال خواهد داشت، منحرف می شود. با گسترش مناسب مقادیر داده شده در اینجا در فضای سه بعدی مسطح به فضازمان منحنی 4 بعدی، شکل بالا از قانون نیوتن به نسبیت عام انیشتین نیز منتقل می شود.، در این صورت ذرات آزاد از ژئودزیک ها در فضازمان منحنی پیروی می کنند که دیگر «خطوط مستقیم» به معنای معمولی نیستند. [12]

با این حال، ما هنوز باید کل نیروی حاصله F را که بر ذره وارد می‌شود بدانیم، که به نوبه خود به نیروی غیر محدود N به اضافه نیروی محدودیت حاصل C نیاز دارد .

$\mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.$

نیروهای محدودیت می توانند پیچیده باشند، زیرا به طور کلی به زمان بستگی دارند. همچنین در صورت وجود قیود، مختصات منحنی مستقل نیستند بلکه با یک یا چند معادله قید مرتبط هستند.

نیروهای محدودیت را می‌توان از معادلات حرکت حذف کرد، بنابراین فقط نیروهای غیرمحدود باقی می‌مانند، یا با گنجاندن معادلات محدودیت در معادلات حرکت.

اصل دالامبر [ ویرایش ]

ژان دالامبر (1717-1783)

یک درجه آزادی

دو درجه آزادی.

نیروی محدودیت C و جابجایی مجازی δ r برای ذره ای با جرم m محدود به یک منحنی. نیروی غیر محدودیتی حاصل N است .

یک نتیجه اساسی در مکانیک تحلیلی اصل دالامبر است که در سال 1708 توسط ژاک برنولی برای درک تعادل استاتیکی معرفی شد و توسط دالامبر در سال 1743 برای حل مسائل دینامیکی توسعه یافت. [13] این اصل برای N ذره بیان می کند که کار مجازی، یعنی کار در امتداد یک جابجایی مجازی، δr k ، صفر است: [5]

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k}) \cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.$

جابجایی‌های مجازی ، δrk ، طبق تعریف، تغییرات بی‌نهایت کوچکی در پیکربندی سیستم هستند که با نیروهای محدودیتی که در یک لحظه بر سیستم وارد می‌شوند ، [ 14 ] ، یعنی به‌گونه‌ای که نیروهای محدودیت حرکت محدود را حفظ می‌کنند. . آنها با جابجایی های واقعی در سیستم یکسان نیستند، که ناشی از محدودیت و نیروهای غیرمحدودی است که بر روی ذره برای شتاب دادن و حرکت دادن آن اعمال می شود. [nb 2] کار مجازی کاری است که در امتداد یک جابجایی مجازی برای هر نیرو (محدود یا غیرمحدودیت) انجام می شود.

از آنجایی که نیروهای محدودیت عمود بر حرکت هر ذره در سیستم عمل می کنند تا محدودیت ها را حفظ کنند، کل کار مجازی توسط نیروهای محدودیت وارد بر سیستم صفر است: [15] [nb 3]

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,,$

به طوری که

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _ {k}=0\,.$

بنابراین اصل دالامبر به ما این امکان را می دهد که فقط روی نیروهای غیر محدودیتی اعمال شده تمرکز کنیم و نیروهای محدودیت را در معادلات حرکت حذف کنیم. [16] [17] شکل نشان داده شده نیز مستقل از انتخاب مختصات است. با این حال، نمی توان به راحتی از آن برای تنظیم معادلات حرکت در یک سیستم مختصات دلخواه استفاده کرد، زیرا جابجایی های δrk ممکن است توسط یک معادله محدودیت به هم متصل شوند، که ما را از تنظیم مجموع N فردی بر روی 0 باز می دارد. بنابراین ما به دنبال یک سیستم مختصات متقابل مستقلی که مجموع مجموع آنها 0 خواهد بود اگر و فقط اگر مجموع مجزاها 0 باشد. تنظیم هر یک از مجموع ها روی 0 در نهایت معادلات حرکت جدا شده ما را به ما می دهد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی