مسئله معکوس برای مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 11:26

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، مسئله معکوس مکانیک لاگرانژی ، مسئله تعیین این است که آیا یک سیستم معین از معادلات دیفرانسیل معمولی می تواند به عنوان معادلات اویلر-لاگرانژ برای برخی از تابع های لاگرانژ به وجود بیاید .

از اوایل قرن بیستم فعالیت زیادی در مطالعه این مشکل وجود داشته است. پیشرفت قابل توجه در این زمینه مقاله 1941 توسط ریاضیدان آمریکایی جسی داگلاس بود که در آن شرایط لازم و کافی را برای حل مسئله فراهم کرد . این شرایط اکنون به نام هرمان فون هلمهولتز فیزیکدان آلمانی به عنوان شرایط هلمهولتز شناخته می شود .

پیشینه و بیان مشکل [ ویرایش ]

تنظیم معمول مکانیک لاگرانژی در فضای اقلیدسی n بعدی R n به شرح زیر است . یک مسیر قابل تمایز u را در نظر بگیرید : [0, T ] → R n . عمل مسیر u که با S ( u ) نشان داده می‌شود

$S(u)=\int _{{0}}^{{T}}L(t,u(t),{\dot {u}}(t))\,{\mathrm {d}}t,$

که در آن L تابعی از زمان، موقعیت و سرعت است که به عنوان لاگرانژ شناخته می شود . اصل کمترین کنش بیان می‌کند که با توجه به حالت اولیه x 0 و حالت نهایی x 1 در Rn ، مسیری که سیستم تعیین‌شده توسط L در واقع دنبال می‌کند باید حداقل‌کننده عملکرد عمل S باشد که شرایط مرزی u را برآورده می‌کند . 0) = x 0 ، u (T) = x 1 . علاوه بر این، نقاط بحرانی(و بنابراین کمینه کننده) S باید معادلات اویلر-لاگرانژ را برای S برآورده کند :

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {u}}^{{i}}}}- {\frac {\partial L}{\partial u^{{i}}}}=0\quad {\text{for }}1\leq i\leq n,$

که در آن شاخص های بالایی i مؤلفه های u = ( u 1 ، ...، u n ) را نشان می دهد.

در مورد کلاسیک

$T({\dot {u}})={\frac {1}{2}}m|{\dot {u}}|^{{2}}،$

$V:[0,T]\times {\mathbb {R}}^{{n}}\to {\mathbb {R}}،$

$L(t،u،{\dot {u}})=T({\dot {u}})-V(t،u)،$

معادلات اویلر-لاگرانژ معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم هستند که بیشتر به عنوان قوانین حرکت نیوتن شناخته می شوند :

$m{\ddot {u}}^{i}=-{\frac {\partial V(t,u)}{\partial u^{i}}}\quad {\text{for }}1 \leq i\leq n,$

${\mbox{یعنی }}m{\ddot {u}}=-\nabla _{u}V(t,u).$

مسئله معکوس مکانیک لاگرانژی به شرح زیر است: با توجه به سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم

${\ddot {u}}^{{i}}=f^{{i}}(u^{{j}},{\dot {u}}^{{j}})\quad {\text{ برای }}1\leq i,j\leq n,\quad {\mbox{(E)}}$

که برای بارهای 0 ≤ t ≤ T برقرار است، آیا یک L لاگرانژی وجود دارد : [0, T ] × R n × Rn → R که این معادلات دیفرانسیل معمولی (E) معادلات اویلر-لاگرانژ هستند؟ به طور کلی، این مشکل در فضای اقلیدسی R n نیست ، بلکه در یک منیفولد M n بعدی مطرح می شود و لاگرانژ یک تابع L است : [0, T ] × T M → R ، که در آن T M نشان دهنده دسته مماس از م .

قضیه داگلاس و شرایط هلمهولتز [ ویرایش ]

برای ساده کردن نمادگذاری، اجازه دهید

$v^{{i}}={\dot {u}}^{{i}}$

و مجموعه ای از n 2 تابع Φ j i را تعریف کنید

$\Phi _{{j}}^{{i}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\ frac {\partial f^{{i}}}{\partial v^{{j}}}}-{\frac {\partial f^{{i}}}{\partial u^{{j}}} }-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial f^{{i}}}{\partial v^{{k}}}}{\frac {\partial f^{{k} }}{\جزئی v^{{j}}}}.$

قضیه. (داگلاس 1941) یک L لاگرانژی وجود دارد : [0, T ] × T M → R به طوری که معادلات (E) معادلات اویلر-لاگرانژ آن هستند اگر و فقط اگر یک ماتریس متقارن غیر مفرد g با ورودی های g ij وجود داشته باشد. بسته به اینکه هم u و هم v سه شرط هلمهولتز زیر را برآورده کنند :

$g\Phi =(g\Phi )^{{\top }},\quad {\mbox{(H1)}}$

${\frac {{\mathrm {d}}g_{{ij}}}{{\mathrm {d}}t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{{ k}}}{\partial v^{{i}}}}g_{{kj}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{{k}}}{\partial v^{{j}}}}g_{{ki}}=0{\mbox{ برای }}1\leq i,j\leq n,\quad {\mbox{(H2)}}$

${\frac {\partial g_{{ij}}}{\partial v^{{k}}}}={\frac {\partial g_{{ik}}}{\partial v^{{j}}} }{\mbox{ for }}1\leq i,j,k\leq n.\quad {\mbox{(H3)}}$

( کنوانسیون جمع انیشتین برای شاخص های مکرر استفاده می شود.)

بکارگیری قضیه داگلاس [ ویرایش ]

در نگاه اول، حل معادلات هلمهولتز (H1)–(H3) کار بسیار دشواری به نظر می رسد. شرط (H1) ساده ترین حل است: همیشه می توان یک g را پیدا کرد که (H1) را برآورده کند، و این به تنهایی دلالت بر مفرد بودن لاگرانژ نخواهد داشت. معادله (H2) سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی است: قضایای معمول در مورد وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌های معادلات دیفرانسیل معمولی نشان می‌دهد که در اصل ، حل آن (H2) ممکن است. ادغام ثابت های اضافی را ایجاد نمی کند، بلکه انتگرال های اولیه سیستم (E) را به دست می دهد، بنابراین این مرحله در عمل دشوار می شود مگر اینکه (E) دارای انتگرال های اولیه صریح کافی باشد. در برخی موارد با رفتار خوب (مانند جریان ژئودزیکیبرای اتصال متعارف در گروه Lie )، این شرط برآورده می شود.

آخرین و دشوارترین مرحله حل معادله (H3) است که به آن شرایط بسته می گویند زیرا (H3) شرطی است که دیفرانسیل 1-شکل g i یک شکل بسته برای هر i باشد . دلیل ترسناک بودن این موضوع این است که (H3) یک سیستم بزرگ از معادلات دیفرانسیل جزئی جفت شده را تشکیل می دهد: برای n درجه آزادی، (H3) سیستمی از

$2\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)$

معادلات دیفرانسیل جزئی در 2 n متغیر مستقل که مولفه های g ij از g هستند ، که در آن

$\left({\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right)$

نشان دهنده ضریب دو جمله ای است . برای ساختن کلی ترین لاگرانژی ممکن باید این سیستم عظیم را حل کرد!

خوشبختانه، شرایط کمکی وجود دارد که می تواند برای کمک به حل شرایط هلمهولتز اعمال شود. اول، (H1) یک شرط جبری صرف در ماتریس مجهول g است . شرایط جبری کمکی در g را می توان به صورت زیر ارائه کرد: تعریف توابع

Ψ jk i

توسط

$\Psi _{{jk}}^{{i}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\partial \Phi _{{j}}^{{i}}}{ \جزئی v^{{k}}}}-{\frac {\partial \Phi _{{k}}^{{i}}}{\جزئی v^{{j}}}}\راست).$

شرط کمکی در g پس از آن است

$g_{{mi}}\Psi _{{jk}}^{{m}}+g_{{mk}}\Psi _{{ij}}^{{m}}+g_{{mj}}\Psi _{{ki}}^{{m}}=0{\mbox{ برای }}1\leq i,j\leq n.\quad {\mbox{(A)}}$

در واقع، معادلات (H2) و (A) اولین معادلات در سلسله مراتب نامتناهی از شرایط جبری مشابه هستند. در مورد اتصال موازی (مانند اتصال متعارف در یک گروه Lie)، شرایط مرتبه بالاتر همیشه برآورده می شوند، بنابراین فقط (H2) و (A) مورد توجه هستند. توجه داشته باشید که (A) شامل

$\left({\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right)$

شرایط در حالی که (H1) شامل

$\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)$

شرایط بنابراین، ممکن است که (H1) و (A) با هم دلالت بر مفرد بودن تابع لاگرانژی داشته باشند. از سال 2006، هیچ قضیه کلی برای دور زدن این مشکل در بعد دلخواه وجود ندارد، اگرچه موارد خاص خاصی حل شده است.

راه دوم حمله این است که ببینیم آیا سیستم (E) غوطه ور شدن را در یک سیستم با ابعاد پایین تر می پذیرد یا خیر و تلاش برای "بالا بردن" یک لاگرانژی برای سیستم با ابعاد پایین تر به سیستم با ابعاد بالاتر. این در واقع تلاشی برای حل شرایط هلمهولتز نیست، بلکه تلاشی برای ساختن یک لاگرانژ و سپس نشان دادن این است که معادلات اویلر-لاگرانژ آن در واقع سیستم (E) هستند.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی