ماتریس مختلط، مزدوج و انتقالی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سیزدهم فروردین ۱۴۰۲ | 11:38

در این صفحه می بینید که ماتریس های مختلط، ماتریس های مزدوج و ماتریس های انتقالی مزدوج چیست. اکنون آنها بسیار شبیه به شما هستند، اما خواهید دید که چگونه در انتهای صفحه تفاوت بین هر یک را کاملاً درک خواهید کرد. علاوه بر این نمونه هایی از هر نوع و خواص آنها را خواهیم دید.

خلاصه

1. ماتریس مختلط

1.1. ماتریس مختلط چیست؟

1.2. نمونه هایی از ماتریس های مختلط

2. ماتریس مزدوج

2.1. ماتریس مزدوج چیست؟

2.2. مثال ماتریس مزدوج

23. خواص ماتریس مزدوج

3. ماتریس انتقال مزدوج

3.1. ماتریس ترانهاده (یا ترانهاده) مزدوج چیست؟

3.2. نمونه ای از ماتریس انتقال مزدوج

3.3. خواص ماتریس ترانهاده مزدوج

ماتریس مختلط

قبل از دیدن توضیح ماتریس مزدوج و ماتریس مزدوج ترانهاده شده، بیایید مفهوم ماتریس مختلط را مرور کنیم:

ماتریس مختلط چیست؟

ماتریس مختلط ماتریسی است که تعدادی عدد مختلط در بین عناصر خود دارد.

به یاد داشته باشید که عدد مختلط یا موهومی عددی است که از یک جزء حقیقی و یک قسمت موهومی تشکیل شده است که با حرف i نشان داده می شود. مثلا:

نمونه هایی از ماتریس های مختلط

بیایید به چند نمونه از آرایه های چند بعدی مختلط نگاه کنیم:

مثالی از یک ماتریس مختلط از مرتبه 2×2

ماتریس مختلط ابعاد 2x2

مثالی از یک ماتریس مختلط به ابعاد 3×3

ماتریس مختلط ابعاد 3x3

نمونه ای از یک ماتریس مختلط به اندازه 4×4

ماتریس مختلط ابعاد 4x4

ماتریس مزدوج

وقتی دیدیم تعریف ماتریس مختلط چیست، بیایید ببینیم ماتریس مزدوج و ماتریس مزدوج ترانهاده شده چیست:

ماتریس مزدوج چیست؟

ماتریس مزدوج یک ماتریس مختلط است که تمام عناصر آن با مزدوج های خود جایگزین شده اند، یعنی علامت قسمت موهومی تمام اعداد مختلط آن تغییر کرده است.

ماتریس مزدوج با یک نوار افقی بالای آن بیان می شود: $\overline{A}$ .

مثال ماتریس مزدوج

مثال مزدوج ماتریس، چگونه یک ماتریس را مزدوج کنیم

خواص ماتریس مزدوج

ویژگی های این نوع ماتریس به شرح زیر است:

مزدوج یک ماتریس مزدوج ماتریس اصلی است.

$\displaystyle \overline{\bigl( \ \overline{A} \vphantom{A^{9^1}} \ \bigr)} = A$

اضافه کردن (یا تفریق) دو ماتریس و به هم پیوستن نتیجه، مانند این است که ابتدا دو ماتریس را به طور جداگانه به هم متصل کنید و سپس آنها را جمع کنید (یا تفریق کنید).

$\displaystyle \overline{\bigl(A \pm B \bigr)} = \overline{A} \pm \overline{B}$

حاصلضرب مزدوج دو ماتریس برابر است با مزدوج کردن دو ماتریس به طور جداگانه و سپس محاسبه ضرب ماتریس.

$\displaystyle \overline{\bigl(A \cdot B \bigr)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

ضرب یک ماتریس در یک اسکالر و به هم زدن نتیجه مانند این است که ابتدا مزدوج های اسکالر و ماتریس را انجام داده و سپس برای حاصلضرب حل می کنیم.

$\displaystyle \overline{\bigl(k \cdot A \bigr)} = \overline{k} \cdot \overline{A}$

ترانهاده یک ماتریس و سپس کونژوگه کردن آن مانند این است که ابتدا ماتریس را مزدوج کنید و سپس آن را ترانهاده کنید.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^t \bigr)} = \left( \overline{A}\right)^t$

انجام معکوس یک ماتریس و سپس مزدوج کردن آن با مزدوج کردن ماتریس و بعد معکوس کردن آن یکسان است.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^{-1} \bigr)} = \left(\overline{A} \راست)^{-1}$

رتبه یک ماتریس مزدوج برابر است با رتبه همان ماتریس مزدوج.

$\displaystyle rg\left(\overline{A}\right) =rg(A)$

بی تفاوت است که رد یک ماتریس مزدوج را محاسبه کنیم یا ردی از همان ماتریس را بدون صرف محاسبه کنیم و سپس مزدوج نتیجه را انجام دهیم.

$\displaystyle tr\left(\overline{A}\right) =\overline{tr(A)}$

در نهایت، گرفتن دترمینان یک ماتریس مزدوج مانند محاسبه مزدوج حاصل از تعیین کننده همان ماتریس بدون مزدوج است.

$\displaystyle det\left(\overline{A}\right) = \overline{det(A)}$

ماتریس انتقال مزدوج

در نهایت، پس از مشاهده نحوه مزدوج یک ماتریس، به مفهوم ماتریس transpose مزدوج می رویم:

ماتریس ترانهاده (یا ترانهاده) مزدوج چیست؟

ماتریس ترانهاده (یا ترانهاده) مزدوج آن چیزی است که پس از ترانهاده یک ماتریس و سپس ساختن مزدوج آن به دست می آید.

به این نوع ماتریس، ماتریس الحاقی یا به سادگی ماتریس الحاقی نیز گفته می شود. همچنین معمولاً با یک ستاره نشان داده می شود ، اگرچه برخی از ریاضیدانان هستند که آن را به صورت یا ترسیم می کنند .

نمونه ای از ماتریس انتقال مزدوج

در اینجا مثالی از نحوه محاسبه ترانهاده (یا انتقال مزدوج) یک ماتریس آورده شده است:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1+3i&2-i & -4i \\[1.1ex] 6 & 8+2i & 3-5i \\[1.1ex] 7i & 1+9i & -2+i\end {pmatrix}$

ابتدا ماتریس A را ترانهاده می کنیم:

$\displaystyle A^t=\begin{pmatrix}1+3i& 6 & 7i \\[1.1ex] 2-i & 8+2i & 1+9i \\[1.1ex] -4i & 3-5i & -2+ i\end{pmatrix}$

و سپس ماتریس مزدوج transpose را محاسبه می کنیم یا به عبارت دیگر علامت قسمت موهومی همه اعداد مختلط را تغییر می دهیم:

$\displaystyle A^*=\overline{A^t}=\begin{pmatrix}1-3i& 6 & -7i \\[1.1ex] 2+i & 8-2i & 1-9i \\[1.1ex] 4i & 3+5i & -2-i\end{pmatrix}$

بنابراین، خلاصه محاسبه ماتریس انتقال مزدوج به صورت زیر است:

ماتریس انتقال مزدوج با ابعاد 3x3

خواص ماتریس ترانهاده مزدوج

خواص این نوع ماتریس مربع به شرح زیر است:

ماتریس ترانهاده مزدوج یک ماتریس قبلا ترانهاده شده و مزدوج، ماتریس اصلی است.

$\displaystyle \bigl(A^*\bigr) ^* = A$

خاصیت جمع ماتریس های ترانهاده مزدوج می گوید که انجام جمع (یا تفریق) دو ماتریس و سپس اعمال این عمل بر روی نتیجه، مانند این است که ابتدا ترانهاده مزدوج هر ماتریس را انجام داده و سپس نتایج را جمع (یا تفریق) کنیم.

$\displaystyle \bigl(A\pm B \bigr)^* = A^*\pm B^*$

ضرب دو ماتریس و سپس انجام انتقال مزدوج آنها همان نتیجه حاصلضرب معکوس ماتریسهای انتقال مزدوج را می دهد.

$\displaystyle \bigl(A\cdot B \bigr)^* = B^*\cdot A^*$

محاسبه ماتریس انتقال مزدوج حاصل ضرب یک اسکالر و یک ماتریس با مزدوج کردن عدد مختلط و یافتن انتقال مزدوج ماتریس به طور جداگانه و سپس انجام ضرب یکسان است.

$\displaystyle \bigl(k\cdot A \bigr)^* = \overline{k}\cdot A^*$

اگر ماتریس معکوس باشد، ترتیب انجام عملیات ترانهاده معکوس و مزدوج ماتریس بی تفاوت است.

$\displaystyle \bigl( A^{-1} \bigr)^*= \bigl( A^* \bigr)^{-1}$

منبع

https://www.matricesydeterminantes.com/matrices/tipos-de-matrices/matriz-compleja-conjugada-y-traspuesta-conjugada/

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

ماتریس مختلط، مزدوج و انتقالی