از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نمودار y = x 3 با نقطه عطف در (0,0)، که همچنین یک نقطه ثابت است .

ریشه ها ، نقاط ثابت ، نقطه عطف و تقعر یک چند جمله ای مکعبی x ^3 − 3 × ^2 − 144 x + 432 (خط سیاه) و مشتقات اول و دوم آن (قرمز و آبی).

در حساب دیفرانسیل و هندسه دیفرانسیل ، نقطه عطف ، خم شدن ، یا عطف (انگلیسی انگلیسی: inflexion ) نقطه‌ای از منحنی صفحه صاف است که در آن انحنا علامت تغییر می‌کند. به طور خاص، در مورد نمودار یک تابع ، این نقطه ای است که در آن تابع از مقعر (مقعر به سمت پایین) به محدب (مقعر به سمت بالا) یا بالعکس تغییر می کند.

برای نمودار تابعی از کلاس C 2 تمایزپذیری ( f ، اولین مشتق آن f' ، و مشتق دوم آن f'' ، وجود دارند و پیوسته هستند)، از شرط f'' = 0 نیز می توان برای یافتن یک نقطه عطف استفاده کرد. از آنجایی که برای تغییر f'' از مقدار مثبت (مقعر رو به بالا) به یک مقدار منفی (مقعر رو به پایین) یک نقطه f' ' = 0 باید ارسال شود یا برعکس، زیرا f'' پیوسته است. نقطه عطف منحنی جایی است که f'' = 0 و علامت آن در نقطه تغییر می کند (از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت). [1]نقطه ای که مشتق دوم ناپدید می شود اما علامت آن تغییر نمی کند، گاهی اوقات نقطه موج یا نقطه موج می گویند .

در هندسه جبری یک نقطه عطف به طور کلی تر تعریف می شود، به عنوان یک نقطه منظم که در آن مماس با منحنی به ترتیب حداقل 3 برخورد می کند، و یک نقطه موج دار یا هایپرفلکس به عنوان نقطه ای که مماس با منحنی به ترتیب حداقل 4 ملاقات می کند، تعریف می شود. .

تعریف [ ویرایش ]

نقاط عطف در هندسه دیفرانسیل نقاطی از منحنی هستند که انحنا علامت خود را تغییر می دهد. [2] [3]

به عنوان مثال، نمودار تابع متمایز دارای یک نقطه عطف در ( x , f ( x )) است اگر و فقط در صورتی که اولین مشتق f' دارای یک انتها مجزا در x باشد . (این با گفتن اینکه f یک اکسترموم دارد یکسان نیست ). یعنی در برخی از همسایگی ها، x تنها نقطه ای است که در آن f' یک حداقل یا حداکثر (محلی) دارد. اگر تمام افراط های f منزوی باشند ، نقطه عطف نقطه ای از نمودار f است که در آن نقطه عطفمماس از منحنی عبور می کند.

نقطه عطف سقوط نقطه عطفی است که در آن مشتق در دو طرف نقطه منفی است. به عبارت دیگر، یک نقطه عطف است که تابع در نزدیکی آن در حال کاهش است. نقطه افزایش عطف نقطه ای است که مشتق در هر دو طرف نقطه مثبت است. به عبارت دیگر، یک نقطه عطف است که تابع در نزدیکی آن در حال افزایش است.

برای یک منحنی صاف که توسط معادلات پارامتری به دست می‌آید ، یک نقطه یک نقطه عطف است اگر انحنای علامت‌دار آن از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر کند، یعنی علامت تغییر کند .

برای یک منحنی صاف که نمودار یک تابع دو برابر قابل تمایز است، نقطه عطف نقطه ای از نمودار است که در آن مشتق دوم یک صفر مجزا دارد و علامت آن را تغییر می دهد.

در هندسه جبری ، یک نقطه غیر مفرد یک منحنی جبری نقطه عطف است اگر و فقط اگر عدد تقاطع خط مماس و منحنی (در نقطه مماس) بیشتر از 2 باشد. انگیزه اصلی این تعریف متفاوت، این است که در غیر این صورت مجموعه نقاط عطف یک منحنی یک مجموعه جبری نخواهد بود . در واقع، مجموعه نقاط عطف یک منحنی جبری مسطح دقیقاً نقاط غیرمفرد آن هستند که صفرهای تعیین کننده هسین تکمیل تصویری آن هستند .

نمودار f ( x ) = sin(2 x ) از - π /4 تا 5 π /4; مشتق دوم f″ ( x ) = –4sin(2 x ) است ، و علامت آن برعکس علامت f است . مماس آبی است که در آن منحنی محدب است (بالاتر از مماس خودش )، سبز در جایی که مقعر است (زیر مماس آن)، و قرمز در نقاط عطف است: 0، π /2 و π.

شرط لازم اما نه کافی [ ویرایش ]

برای یک تابع f ، اگر مشتق دوم آن f″ ( x ) در x 0 وجود داشته باشد و x 0 یک نقطه عطف برای f باشد ، آنگاه f″ ( x 0 ) = 0 ، اما این شرط برای داشتن یک نقطه عطف کافی نیست. ، حتی اگر مشتقاتی از هر مرتبه ای وجود داشته باشد. در این مورد، به مشتق غیرصفری پایین‌ترین مرتبه (بالاتر از دوم) نیز نیاز است تا از مرتبه فرد (سوم، پنجم و غیره) باشد. اگر مشتق غیرصفر پایین‌ترین مرتبه از مرتبه زوج باشد، نقطه یک نقطه عطف نیست، بلکه یک نقطه موجی است.. با این حال، در هندسه جبری، هم نقاط عطف و هم نقاط موج دار معمولاً نقاط عطف نامیده می شوند . مثالی از یک نقطه موج دار x = 0 برای تابع f است که با f ( x ) = x 4 داده می شود .

در اظهارات قبلی، فرض می‌شود که f مشتق غیر صفر مرتبه بالاتری در x دارد که لزوماً اینطور نیست. اگر اینطور باشد، شرطی که اولین مشتق غیرصفر دارای نظم فرد باشد، نشان می‌دهد که علامت f ' ( x ) در دو طرف x در همسایگی x یکسان است . اگر این علامت مثبت باشد ، نقطه یک نقطه عطف صعودی است . اگر منفی باشد ، نقطه یک نقطه عطف سقوط است .

نقاط عطف شرایط کافی:

1. شرط وجود کافی برای یک نقطه عطف در حالتی که f ( x ) k بار به طور پیوسته در یک همسایگی مشخص از یک نقطه x 0 با k فرد و k ≥ 3 قابل تفکیک باشد ، این است که f ( n ) ( x 0 ) = 0 برای n = 2، ...، k − 1 و f ( k ) ( x 0 ) ≠ 0 . سپس f ( x ) دارای نقطه عطف در استx 0 .
2. یکی دیگر از شرایط وجود کافی کلی تر، مستلزم آن است که f″ ( x 0 + ε ) و f″ ( x 0 - ε ) دارای علائم متضاد در همسایگی x 0 باشند ( برونشتاین و سمندیایف 2004، ص 231).

دسته بندی نقاط عطف [ ویرایش ]

y = x^ 4 – x دارای مشتق دوم صفر در نقطه (0,0) است، اما نقطه عطف نیست زیرا مشتق چهارم اولین مشتق غیر صفر درجه بالاتر است (مشتق سوم نیز صفر است).

نقاط عطف را نیز می توان بر اساس صفر یا غیرصفر بودن f ' ( x ) دسته بندی کرد .

• اگر f ' ( x ) صفر باشد، نقطه یک نقطه عطف ثابت است
• اگر f ' ( x ) صفر نباشد، نقطه یک نقطه عطف غیر ثابت است

یک نقطه عطف ثابت یک اکسترومم موضعی نیست . به طور کلی، در زمینه توابع چندین متغیر واقعی ، یک نقطه ثابت که یک انتها محلی نیست، نقطه زین نامیده می شود .

یک مثال از یک نقطه عطف ثابت، نقطه (0، 0) در نمودار y = x 3 است . مماس محور x است که نمودار را در این نقطه قطع می کند.

یک مثال از یک نقطه عطف غیر ثابت، نقطه (0، 0) در نمودار y = x 3 + ax ، برای هر غیر صفر a است . مماس در مبدا خط y = ax است که نمودار را در این نقطه قطع می کند.

توابع با ناپیوستگی [ ویرایش ]

برخی از توابع بدون داشتن نقاط عطف، تقعر را تغییر می دهند. در عوض، آنها می توانند تقعر را در اطراف مجانب یا ناپیوستگی های عمودی تغییر دهند. به عنوان مثال، تابعایکس↦1ایکسبرای x منفی مقعر و برای x مثبت محدب است ، اما نقطه عطف ندارد زیرا 0 در دامنه تابع نیست.

توابع دارای نقاط عطف که مشتق دوم آنها ناپدید نمی شود [ ویرایش ]

برخی از توابع پیوسته دارای یک نقطه عطف هستند، حتی اگر مشتق دوم هرگز 0 نباشد. برای مثال، تابع ریشه مکعب وقتی x منفی است به سمت بالا مقعر است، و وقتی x مثبت است به سمت پایین مقعر است، اما هیچ مشتقی از هر مرتبه ای در مبدا ندارد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• نقطه بحرانی (ریاضی)
• آستانه اکولوژیکی
• پیکربندی هس توسط نه نقطه عطف یک منحنی بیضی شکل گرفته است
• Ogee ، یک فرم معماری با نقطه عطف
• راس (منحنی) ، حداقل یا حداکثر محلی انحنا

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point