ریاضیات

این مقاله در مورد رشته ریاضی است. برای سایر کاربردهای هندسی، نقطه مفرد یک منحنی را ببینید . برای سایر کاربردهای ریاضی، تکینگی (ریاضیات) را ببینید . برای کاربردهای غیر ریاضی، تکینگی (ابهام‌زدایی) را ببینید .

در ریاضیات ، تئوری تکینگی فضاهایی را مطالعه می کند که تقریبا چند برابر هستند ، اما نه کاملاً. یک رشته می تواند به عنوان نمونه ای از منیفولد یک بعدی باشد، اگر از ضخامت آن غفلت شود. می توان با توپ زدن، انداختن آن روی زمین و صاف کردن آن، یک تکینگی ایجاد کرد. در بعضی جاها رشته مسطح خود را به شکل تقریبی "X" متقاطع می کند. نقاط روی زمین که این کار را انجام می دهد یک نوع تکینگی است ، نقطه دوگانه: یک بیت از طبقه با بیش از یک بیت رشته مطابقت دارد. شاید ریسمان نیز بدون عبور خود را لمس کند، مانند " U". این نوع دیگری از تکینگی است. برخلاف نقطه دوگانه، پایدار نیست ، به این معنا که یک فشار کوچک پایین "U" را از "زیرخط" دور می کند.

ولادیمیر آرنولد هدف اصلی نظریه تکینگی را توصیف چگونگی وابستگی اشیا به پارامترها تعریف می کند، به ویژه در مواردی که ویژگی ها تحت تغییرات کوچکی از پارامترها دچار تغییر ناگهانی می شوند. به این موقعیت‌ها پرسترویکا ( به روسی : перестройка )، انشعاب یا فاجعه می‌گویند . طبقه بندی انواع تغییرات و مشخص کردن مجموعه پارامترهایی که باعث این تغییرات می شوند، از اهداف اصلی ریاضی هستند. تکینگی ها می توانند در طیف وسیعی از اشیاء ریاضی، از ماتریس ها بسته به پارامترها تا جبهه موج، رخ دهند. [1]

چگونه تکینگی ها ممکن است به وجود بیایند [ ویرایش ]

در نظریه تکینگی، پدیده کلی نقاط و مجموعه‌های تکینگی مورد مطالعه قرار می‌گیرد، به‌عنوان بخشی از این مفهوم که منیفولدها (فضاهای بدون تکینگی‌ها) ممکن است از طریق تعدادی مسیر نقاط خاص و منفرد را به دست آورند. زمانی که اجسام سه بعدی به دو بعد (مثلاً در یکی از چشمان ما ) تابیده می شوند، فرافکنی یک راه است که از نظر بصری بسیار واضح است. در نگاه به مجسمه های کلاسیک چین های پارچه از بارزترین ویژگی ها هستند. از ویژگی‌های این نوع می‌توان به مواد سوزاننده اشاره کرد که مانند الگوهای نور در پایین استخر بسیار آشنا هستند.

راه های دیگری که در آن تکینگی ها رخ می دهند، انحطاط ساختار منیفولد است. وجود تقارن می‌تواند دلیل خوبی برای در نظر گرفتن orbifolds باشد ، که منیفولدهایی هستند که در فرآیند تا شدن "گوشه‌هایی" به دست آورده‌اند، شبیه چین شدن یک دستمال سفره.

تکینگی ها در هندسه جبری [ ویرایش ]

تکینگی های منحنی جبری [ ویرایش ]

منحنی با نقطه دوتایی

منحنی با کاسپ

از نظر تاریخی، تکینگی ها برای اولین بار در مطالعه منحنی های جبری مورد توجه قرار گرفتند . نقطه دوگانه در (0، 0) منحنی

و قله وجود دارد

از نظر کیفی متفاوت هستند، همانطور که فقط با طراحی دیده می شود. اسحاق نیوتن مطالعه دقیقی از تمام منحنی‌های مکعبی ، خانواده کلی که این نمونه‌ها به آن تعلق دارند، انجام داد. در فرمول‌بندی قضیه بزو متوجه شد که چنین نقاط مفرد باید با تعدد شمارش شوند (2 برای یک نقطه مضاعف، 3 برای یک قله)، در حسابداری برای تقاطع منحنی‌ها.

سپس گامی کوتاه برای تعریف مفهوم کلی یک نقطه مفرد از انواع جبری بود . یعنی اجازه دادن به ابعاد بالاتر.

موقعیت کلی تکینگی ها در هندسه جبری [ ویرایش ]

مطالعه چنین تکینگی هایی در هندسه جبری اصولاً ساده ترین است، زیرا آنها با معادلات چند جمله ای و بنابراین بر اساس یک سیستم مختصات تعریف می شوند . می توان گفت که معنای ظاهری یک نقطه مفرد مورد بحث نیست. فقط از نظر ذاتی مختصات در فضای محیط به طور مستقیم هندسه تنوع جبری را در آن نقطه ترجمه نمی کنند. مطالعات فشرده در مورد چنین تکینگی ها در پایان به قضیه اساسی هایسوکه هیروناکا در مورد تفکیک تکینگی ها (در هندسه دوتایی در مشخصه ها) منجر شد.0). این بدان معناست که فرآیند ساده "برداشتن" یک تکه ریسمان از روی خود، با استفاده "بدیهی" از متقاطع در یک نقطه دوگانه، اساسا گمراه کننده نیست: همه تکینگی های هندسه جبری را می توان به نوعی بازیابی کرد. فروپاشی بسیار عمومی (از طریق فرآیندهای متعدد). این نتیجه اغلب به طور ضمنی برای بسط هندسه افین به هندسه تصویری استفاده می‌شود : این کاملاً معمولی است که یک واریته افین در بی‌نهایت ، هنگامی که بسته شدن آن در فضای تصویری گرفته می‌شود، نقاط منفرد را در ابرصفحه به دست آورد . قطعنامه می‌گوید که چنین تکینگی‌هایی را می‌توان به‌عنوان یک نوع فشرده‌سازی (پیچیده) در نظر گرفت و بهمنیفولد فشرده (برای توپولوژی قوی، به جای توپولوژی Zariski ).

تئوری صاف و فجایع [ ویرایش ]

تقریباً همزمان با کار هیروناکا، نظریه فاجعه رنه تام بسیار مورد توجه قرار گرفت. این شاخه دیگری از نظریه تکینگی است که بر اساس کار قبلی هاسلر ویتنی در مورد نقاط بحرانی است . به طور کلی، یک نقطه بحرانی یک تابع صاف جایی است که مجموعه سطح یک نقطه منفرد در معنای هندسی ایجاد می کند. این نظریه به‌جای چند جمله‌ای‌ها، به طور کلی با توابع متمایز سروکار دارد. برای جبران، فقط پدیده های پایدار در نظر گرفته می شوند. می توان استدلال کرد که در طبیعت، هر چیزی که با تغییرات کوچک نابود شود، مشاهده نمی شود. قابل مشاهده استاصطبل ویتنی نشان داده بود که در تعداد کمی از متغیرها، ساختار پایدار نقاط بحرانی، از نظر محلی، بسیار محدود است. تام بر اساس این کار و کارهای قبلی خود، نظریه فاجعه ای را ایجاد کرد که قرار بود تغییرات ناپیوسته در طبیعت را توضیح دهد.

دیدگاه آرنولد [ ویرایش ]

در حالی که تام یک ریاضیدان برجسته بود، ماهیت شیک بعدی نظریه فاجعه ابتدایی که توسط کریستوفر زیمن منتشر شد ، به ویژه از طرف ولادیمیر آرنولد باعث واکنش شد . [2] او ممکن است تا حد زیادی مسئول به کار بردن اصطلاح نظریه تکینگی در حوزه ای از جمله ورودی هندسه جبری، و همچنین آنچه که از کار ویتنی، تام و سایر نویسندگان سرچشمه می گیرد، بوده باشد. او با عباراتی نوشت که تنفر خود را از تأکید بیش از حد تبلیغاتی بر بخش کوچکی از قلمرو آشکار می کرد. کار اساسی بر روی تکینگی های صاف به عنوان ایجاد روابط هم ارزی روی نقاط منفرد و میکروب ها فرموله شده است.. از نظر فنی این شامل اقدامات گروهی گروه های دروغ در فضاهای جت است . در اصطلاحات کمتر انتزاعی سری های تیلور تا تغییر متغیر مورد بررسی قرار می گیرند و تکینگی ها را با مشتقات کافی تعیین می کنند . به گفته آرنولد، کاربردها را باید در هندسه سمپلتیک ، به عنوان شکل هندسی مکانیک کلاسیک دید .

دوگانگی [ ویرایش ]

دلیل مهمی که چرا تکینگی ها در ریاضیات مشکل ایجاد می کنند این است که با شکست ساختار چندگانه، فراخوانی دوگانگی پوانکاره نیز مجاز نیست. یک پیشرفت بزرگ، معرفی هم‌شناسی تقاطع بود که در ابتدا از تلاش‌ها برای بازگرداندن دوگانگی با استفاده از لایه‌ها ناشی شد. اتصالات و کاربردهای متعددی از ایده اصلی سرچشمه می‌گیرد، به عنوان مثال مفهوم شیف منحرف در جبر همسانی .

معانی احتمالی دیگر [ ویرایش ]

نظریه ذکر شده در بالا مستقیماً با مفهوم تکینگی ریاضی به عنوان مقداری که تابعی در آن تعریف نشده است، ارتباط ندارد. برای آن، به عنوان مثال تکینگی جدا شده ، تکینگی ضروری ، تکینگی قابل جابجایی را ببینید . با این حال، نظریه مونودرمی معادلات دیفرانسیل ، در حوزه پیچیده، پیرامون تکینگی ها، با نظریه هندسی ارتباط دارد. به طور کلی، monodromy روشی را مطالعه می کند که یک نقشه پوششی می تواند انحطاط پیدا کند، در حالی که نظریه تکینگی روشی را مطالعه می کند که یک منیفولد می تواند منحط شود. و این فیلدها به هم مرتبط هستند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• مماس
• فضای مماس زریسکی
• موقعیت عمومی
• تماس (ریاضی)
• راه حل مفرد
• طبقه بندی (ریاضیات)
• همسانی تقاطع
• ساختار هاج مختلط
• چتر ویتنی
• عملکرد گرد
• ویکتور گوریونوف

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Singularity_theory