ریاضیات

هندوستان

پینگالا (حدود 3/2 قرن قبل از میلاد [32] )، یک محقق عروضی سانسکریت ، [33] از اعداد دوتایی به شکل هجاهای کوتاه و بلند (که طول دومی برابر با دو هجای کوتاه است) استفاده می کرد، نمادی شبیه به مورس . کد . [34] پینگالا از کلمه سانسکریت śūnya به صراحت برای اشاره به صفر استفاده کرد. [32]

مفهوم صفر به عنوان یک رقم نوشته شده در نماد ارزش اعشاری در هند توسعه یافت . [35] نمادی برای صفر، یک نقطه بزرگ که احتمالاً پیشرو نماد توخالی هنوز جاری است، در سراسر نسخه خطی بخشعلی ، یک کتابچه راهنمای عملی در مورد حساب برای بازرگانان، استفاده شده است. [36] در سال 2017، سه نمونه از این نسخه خطی با قدمت رادیوکربن نشان داده شد که مربوط به سه قرن مختلف است: از 224-383 پس از میلاد، 680-779 پس از میلاد، و 885-993 پس از میلاد، که آن را به قدیمی ترین استفاده ثبت شده از صفر در جنوب آسیا تبدیل می کند. نماد. معلوم نیست که قطعات پوست درخت غان از قرون مختلف که این نسخه خطی را تشکیل می‌دادند چگونه با هم بسته‌بندی شدند. [37] [38] [39]

Lokavibhāga ، یک متن جین در مورد کیهان‌شناسی که در یک ترجمه سانسکریت قرون وسطایی از نسخه اصلی پراکریت باقی مانده است، که در داخل به سال ۴۵۸ پس از میلاد ( دوران ساکا ۳۸۰) برمی‌گردد، از یک سیستم ارزش مکانی اعشاری ، شامل صفر استفاده می‌کند. در این متن از śūnya ("باطل، خالی") برای اشاره به صفر نیز استفاده می شود. [40]

Aryabhatiya ( حدود 500)، می گوید sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syat "از مکانی به مکان دیگر هر یک ده برابر قبل است". [41] [42] [43]

قوانین حاکم بر استفاده از صفر در Brahmasputha Siddhanta براهماگوپتا (قرن هفتم) ظاهر شد، که مجموع صفر را با خود به عنوان صفر بیان می کند، و به اشتباه تقسیم بر صفر را به صورت زیر بیان می کند: [44] [45]

عدد مثبت یا منفی وقتی بر صفر تقسیم شود کسری است که مخرج آن صفر است. صفر تقسیم بر یک عدد منفی یا مثبت یا صفر است یا به صورت کسری با عدد صفر و مقدار متناهی به عنوان مخرج بیان می شود. صفر تقسیم بر صفر صفر است.

اپی گرافی

عدد 605 در اعداد خمری، از کتیبه سامبور ( دوران ساکا 605 مربوط به سال 683 میلادی است). اولین استفاده از مواد شناخته شده از صفر به عنوان رقم اعشاری.

در نسخه خطی بخشعلی که قسمت‌هایی از آن به سال‌های 224 تا 993 میلادی برمی‌گردد، از یک نقطه سیاه به‌عنوان مکان‌نمای اعشاری استفاده شده است. [46]

کتیبه های بشقاب مسی متعددی وجود دارد که در آنها همان O کوچک وجود دارد ، برخی از آنها احتمالاً مربوط به قرن ششم هستند، اما تاریخ یا صحت آنها ممکن است جای تردید باشد. [8]

لوح سنگی یافت شده در ویرانه‌های معبدی در نزدیکی سامبور در مکونگ ، استان کراتیه ، کامبوج ، حاوی کتیبه «605» به اعداد خمری (مجموعه‌ای از حروف اعداد برای سیستم اعداد هندو-عربی ) است. عدد، سال کتیبه در عصر سکا ، مربوط به تاریخ 683 پس از میلاد است. [47]

اولین استفاده شناخته شده از حروف ویژه برای ارقام اعشاری که شامل ظاهر غیرقابل انکار نمادی برای رقم صفر، یک دایره کوچک است، بر روی کتیبه سنگی یافت شده در معبد Chaturbhuj، Gwalior ، در هند، به تاریخ 876 ظاهر می شود . [48] [49]

قرون وسطی

انتقال به فرهنگ اسلامی

همچنین نگاه کنید به: تاریخچه سیستم اعداد هندو-عربی

میراث علم عربی زبان عمدتاً یونانی بود [50] و به دنبال آن تأثیرات هندوها قرار داشت. [51] در سال 773، به دستور المنصور ، ترجمه هایی از بسیاری از رساله های باستانی از جمله یونانی، رومی، هندی و غیره انجام شد.

در سال 813 پس از میلاد، جداول نجومی توسط یک ریاضیدان ایرانی ، محمد بن موسی الخوارزمی ، با استفاده از اعداد هندو تهیه شد. [51] و در حدود 825، او کتابی در ترکیب دانش یونانی و هندو منتشر کرد و همچنین شامل سهم خود در ریاضیات از جمله توضیحی در مورد استفاده از صفر بود. [52] این کتاب بعدها در قرن دوازدهم با عنوان Algoritmi de numero Indorum به لاتین ترجمه شد . این عنوان به معنای «الخوارزمی فی اعداد هندیان» است. کلمه "الگوریتمی" لاتینی کردن نام خوارزمی توسط مترجم بود و کلمه "الگوریتم" یا "الگوریتم" شروع به یافتن معنای هر حسابی بر اساس اعشار کرد.

محمد بن احمد خوارزمی در سال 976 اظهار داشت که اگر در یک محاسبه عددی در جای ده ها نیامد، باید از دایره کوچکی برای حفظ ردیف ها استفاده کرد. این حلقه را صفر می نامیدند . [53]

انتقال به اروپا

سیستم اعداد هندو-عربی (پایه 10) در قرن یازدهم، از طریق اندلس ، از طریق مسلمانان اسپانیایی ، مورها ، همراه با دانش نجوم کلاسیک و ابزارهایی مانند اسطرلاب ، به اروپای غربی رسید . گربرت اوریلاک با معرفی مجدد آموزه های گمشده به اروپای کاتولیک اعتبار دارد. به همین دلیل، اعداد در اروپا به «اعداد عربی» معروف شدند. فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی یا لئوناردو پیزا در آوردن این سیستم به ریاضیات اروپایی در سال 1202 نقش اساسی داشت و اظهار داشت:

پس از انتصاب پدرم توسط وطنش به عنوان مأمور ایالتی در گمرک بوگیا برای بازرگانان پیسان که به آنجا هجوم می آوردند، او مسئولیت را بر عهده گرفت. و با توجه به سودمندی و راحتی آن در آینده، مرا در کودکی نزد او می‌آمد و می‌خواست چند روزی را وقف کنم و در محاسبات آموزش ببینم. در آنجا، به دنبال معرفی من، در نتیجه آموزش شگفت انگیز در هنر، به نه رقم هندوها، دانش این هنر قبل از همه برای من بسیار جذاب بود و برای آن متوجه شدم که تمام جنبه های آن در مصر، سوریه، یونان، سیسیل، و پروونس، با روش های مختلف خود. و در این مکان ها پس از آن، در حالی که در تجارت. مطالعه ام را عمیقاً دنبال کردم و بحث دادن و گرفتن را یاد گرفتم. اما همه اینها حتی، و الگوریزم،هندوها(Modus Indorum). بنابراین، آن روش هندوها را با جدیت بیشتری پذیرفتم و در مطالعه آن سخت گیرانه تری به خرج دادم و در عین حال چیزهایی را از درک خودم اضافه کردم و چیزهایی را نیز از زیبایی های هنر هندسی اقلیدس درج کردم. من تلاش کرده‌ام این کتاب را تا جایی که می‌توانم به‌طور کامل و قابل فهم بنویسم و ​​آن را به پانزده فصل تقسیم کنم. تقریباً همه چیزهایی را که معرفی کرده‌ام با برهان دقیق نشان داده‌ام، تا به کسانی که بیشتر در جستجوی این دانش هستند، با روش برجسته‌اش، آموزش ببینند، و علاوه بر آن، برای اینکه مردم لاتین بدون آن کشف نشوند. ، همانطور که تاکنون بوده اند. اگر احیاناً چیزی کم و بیش شایسته یا ضروری را حذف کرده ام، خواهان اغماض می شوم، زیرا هیچ کس در همه چیز بی عیب و تقصیر نیست.[54] [55] [56]

در اینجا لئوناردو پیزا از عبارت "علامت 0" استفاده می کند، که نشان می دهد مانند یک علامت برای انجام عملیاتی مانند جمع یا ضرب است. از قرن سیزدهم، کتابچه راهنمای محاسبه (جمع، ضرب، استخراج ریشه و غیره) در اروپا رایج شد، جایی که به نام ریاضیدان ایرانی الخوارزمی، الگوریزم نامیده شد. محبوب ترین کتاب توسط یوهانس دو ساکروبوسکو در حدود سال 1235 نوشته شد و یکی از اولین کتاب های علمی بود که در سال 1488 چاپ شد. به نظر می رسد تا اواخر قرن پانزدهم، اعداد هندو-عربی در بین ریاضیدانان غالب بود، در حالی که بازرگانان ترجیح می دادند از رومی استفاده کنند. اعداد . در قرن شانزدهم، آنها در اروپا رایج شدند.

ریاضیات

همچنین ببینید: تهی (ریاضی)

0 عدد صحیح بلافاصله قبل از 1 است. صفر یک عدد زوج است [57] زیرا بر 2 بخش پذیر است و باقیمانده ای ندارد. 0 نه مثبت است و نه منفی، [58] یا هر دو مثبت و منفی است. [59] بسیاری از تعاریف [60] 0 را به عنوان یک عدد طبیعی شامل می شوند که در این صورت تنها عدد طبیعی است که مثبت نیست. صفر عددی است که تعداد یا مقداری از اندازه صفر را کمیت می کند. در بیشتر فرهنگ ها ، قبل از پذیرفته شدن ایده چیزهای منفی (یعنی مقادیر کمتر از صفر) 0 شناسایی شد.

به عنوان یک مقدار یا یک عدد ، صفر با رقم صفر که در سیستم های اعداد با نماد موقعیتی استفاده می شود یکسان نیست . موقعیت های متوالی ارقام وزن بیشتری دارند، بنابراین رقم صفر در داخل یک عدد برای رد شدن از یک موقعیت و دادن وزن مناسب به ارقام قبل و بعد استفاده می شود. یک رقم صفر همیشه در یک سیستم اعداد موقعیتی ضروری نیست (به عنوان مثال، عدد 02). در برخی موارد، ممکن است از صفر اول برای تشخیص یک عدد استفاده شود.

جبر ابتدایی

یک خط اعداد از -3 تا 3، با 0 در وسط

عدد 0 کوچکترین عدد صحیح غیر منفی است. عدد طبیعی بعد از 0 1 است و هیچ عدد طبیعی قبل از 0 نیست. عدد 0 ممکن است یک عدد طبیعی در نظر گرفته شود یا نباشد ، اما یک عدد صحیح است و بنابراین یک عدد گویا و یک عدد واقعی (و همچنین یک عدد جبری و یک عدد مختلط ).

عدد 0 نه مثبت است و نه منفی و معمولاً به عنوان عدد مرکزی در یک خط اعداد نمایش داده می شود . نه عدد اول است و نه عدد مرکب . نمی تواند اول باشد زیرا دارای تعداد نامتناهی عامل است و نمی تواند ترکیبی باشد زیرا نمی تواند به عنوان حاصل ضرب اعداد اول بیان شود (زیرا 0 باید همیشه یکی از عوامل باشد). [61] با این حال، صفر زوج است ( یعنی مضربی از 2، و همچنین مضرب هر عدد صحیح، گویا یا واقعی دیگر).

در زیر چند قانون اساسی (ابتدایی) برای برخورد با عدد 0 آمده است. این قوانین برای هر عدد واقعی یا مختلط x اعمال می شود ، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد.

• جمع : x + 0 = 0 + x = x . یعنی 0 یک عنصر هویتی (یا عنصر خنثی) نسبت به جمع است.
• تفریق : x − 0 = x و 0 − x = − x .
• ضرب : x · 0 = 0 · x = 0.
• بخش :0/ایکس= 0، برای x غیر صفر . ولیایکس/0تعریف نشده است ، زیرا 0 هیچ معکوس ضربی ندارد (هیچ عدد واقعی ضرب در 0 1 را تولید نمی کند)، که نتیجه قانون قبلی است.
• توان : x 0 =ایکس/ایکس= 1، با این تفاوت که حالت x = 0 ممکن است در برخی زمینه ها تعریف نشده باقی بماند . برای همه x واقعی مثبت ، 0 x = 0 .

بیان0/0، که ممکن است در تلاش برای تعیین حد بیان فرم به دست آیدf ( x )/g ( x )در نتیجه اعمال عملگر lim به طور مستقل برای هر دو عملوند کسر، به اصطلاح " شکل نامعین " است. این بدان معنا نیست که حد مورد نظر لزوماً تعریف نشده است. بلکه به این معنی است که حدf ( x )/g ( x )، اگر وجود داشته باشد، باید با روش دیگری مانند قانون l'Hôpital پیدا شود .

مجموع اعداد 0 ( مجموع خالی ) 0 است و حاصلضرب 0 اعداد ( ضرب خالی ) 1 است. فاکتوریل 0! به عنوان یک مورد خاص از محصول خالی به 1 ارزیابی می شود.

سایر شاخه های ریاضیات

مجموعه خالی دارای عناصر صفر است

• در تئوری مجموعه ها ، 0 کاردینالیته مجموعه خالی است : اگر کسی هیچ سیبی نداشته باشد، 0 سیب دارد. در واقع، در برخی تحولات بدیهی ریاضیات از نظریه مجموعه ها، 0 به عنوان مجموعه خالی تعریف می شود. وقتی این کار انجام شد، مجموعه خالی، تخصیص اصلی فون نویمان برای مجموعه‌ای بدون عنصر است، که مجموعه خالی است. تابع کاردینالیتی که به مجموعه خالی اعمال می شود، مجموعه خالی را به عنوان یک مقدار برمی گرداند و در نتیجه 0 عنصر را به آن اختصاص می دهد.
• همچنین در تئوری مجموعه ها، 0 کمترین عدد ترتیبی است که مربوط به مجموعه خالی است که به عنوان یک مجموعه به خوبی مرتب شده است.
• در منطق گزاره ای ، 0 ممکن است برای نشان دادن مقدار true، false استفاده شود.
• در جبر انتزاعی معمولاً از 0 برای نشان دادن عنصر صفر استفاده می شود که یک عنصر خنثی برای جمع (اگر در ساختار مورد بررسی تعریف شده باشد) و یک عنصر جاذب برای ضرب (در صورت تعریف) است.
• در تئوری شبکه ، 0 ممکن است نشان دهنده عنصر پایینی یک شبکه محدود باشد.
• در تئوری دسته ، گاهی اوقات از 0 برای نشان دادن شی اولیه یک دسته استفاده می شود.
• در تئوری بازگشتی , 0 می تواند برای نشان دادن درجه تورینگ توابع قابل محاسبه جزئی استفاده شود .

اصطلاحات ریاضی مرتبط

• صفر تابع f یک نقطه x در دامنه تابع است به طوری که f ( x ) = 0 . زمانی که تعداد صفرهای محدودی وجود داشته باشد، به آنها ریشه تابع گفته می شود. این مربوط به صفرهای یک تابع هولومورف است .
• تابع صفر (یا نقشه صفر ) در یک دامنه D تابع ثابتی است که 0 تنها مقدار خروجی ممکن آن است، یعنی تابع f که با f ( x ) = 0 برای همه x در D تعریف شده است. تابع صفر تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است. یک تابع صفر خاص یک مورفیسم صفر در نظریه دسته است. به عنوان مثال، یک نقشه صفر هویت در گروه افزایشی توابع است. عامل تعیین کننده در ماتریس های مربع غیرقابل معکوس یک نقشه صفر است.
• چندین شاخه از ریاضیات دارای عناصر صفر هستند که یا خاصیت 0 + x = x یا ویژگی 0 · x = 0 یا هر دو را تعمیم می دهند .