6-آنتروپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه شانزدهم دی ۱۴۰۱ | 7:57

مکانیک آماری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: آنتروپی (ترمودینامیک آماری)

تعریف آماری توسط لودویگ بولتزمن در دهه 1870 با تجزیه و تحلیل رفتار آماری اجزای میکروسکوپی سیستم ارائه شد. بولتزمن نشان داد که این تعریف از آنتروپی معادل آنتروپی ترمودینامیکی در یک ضریب ثابت است که به ثابت بولتزمن معروف است . به طور خلاصه، تعریف ترمودینامیکی آنتروپی تأیید تجربی آنتروپی را ارائه می دهد، در حالی که تعریف آماری آنتروپی مفهوم را گسترش می دهد و توضیح و درک عمیق تری از ماهیت آن ارائه می دهد.

تعبیر آنتروپی در مکانیک آماری ، معیار عدم قطعیت، بی نظمی یا آمیختگی در عبارت گیبس است که پس از در نظر گرفتن ویژگی های ماکروسکوپی قابل مشاهده آن، مانند دما، فشار و حجم، در مورد یک سیستم باقی می ماند. برای مجموعه معینی از متغیرهای ماکروسکوپی، آنتروپی درجه ای را اندازه می گیرد که احتمال سیستم در ریز حالت های مختلف ممکن است پخش شود .. بر خلاف حالت ماکرو، که مقادیر متوسط قابل مشاهده را مشخص می کند، یک ریز حالت تمام جزئیات مولکولی سیستم از جمله موقعیت و سرعت هر مولکول را مشخص می کند. هر چه این حالت ها با احتمال قابل ملاحظه ای در دسترس سیستم باشند، آنتروپی بیشتر می شود. در مکانیک آماری، آنتروپی اندازه‌گیری تعداد روش‌هایی است که می‌توان یک سیستم را مرتب کرد، که اغلب به عنوان معیاری برای «بی نظمی» در نظر گرفته می‌شود (هر چه آنتروپی بیشتر باشد، بی‌نظمی بیشتر است). [25] [26] [27] این تعریف آنتروپی را متناسب با لگاریتم طبیعی تعداد پیکربندی‌های میکروسکوپی ممکن تک تک اتم‌ها و مولکول‌های سیستم ( ریز حالت‌ها ) توصیف می‌کند که می‌تواند حالت ماکروسکوپی مشاهده‌شده را ایجاد کند.حالت کلان ) سیستم. ثابت تناسب ثابت بولتزمن است .

ثابت بولتزمن، و در نتیجه آنتروپی، دارای ابعاد انرژی تقسیم بر دما است که دارای واحد ژول بر کلوین (J⋅K -1 ) در سیستم بین المللی واحدها (یا kg⋅m 2 ⋅s −2 ⋅K − است. 1 از نظر واحدهای پایه). آنتروپی یک ماده معمولاً به عنوان یک خاصیت فشرده داده می شود - یا آنتروپی در واحد جرم (واحد SI: J⋅K -1 ⋅kg -1 ) یا آنتروپی در واحد مقدار ماده (واحد SI: J⋅K -1 ⋅mol -1 ).

به طور خاص، آنتروپی یک معیار لگاریتمی از تعداد حالت‌های سیستم با احتمال اشغال شدن قابل توجه است:

$S=-k_{\mathrm {B} }\sum _{i}p_{i}\log p_{i},$

$p_{i}$ احتمالی است که سیستم در آن قرار دارد $من$ حالت هفتم، معمولاً با توزیع بولتزمن ارائه می شود . اگر حالت ها به صورت پیوسته تعریف شوند، جمع با یک انتگرال بر روی همه حالت های ممکن جایگزین می شود) یا به طور معادل، مقدار مورد انتظار لگاریتم احتمال اشغال یک ریز حالت.

$S=-k_{\mathrm {B} }\langle \log p\rangle$

که در آن k B ثابت بولتزمن است ، برابر با1.380 65 × 10 −23 J/K . جمع بر روی تمام ریزحالت های ممکن سیستم است و p i احتمال این است که سیستم در ریز حالت i- امین قرار دارد. [28] این تعریف فرض می‌کند که مجموعه پایه حالت‌ها به گونه‌ای انتخاب شده است که هیچ اطلاعاتی در مورد مراحل نسبی آنها وجود نداشته باشد. در یک مجموعه پایه متفاوت، بیان عمومی تر است

$S=-k_{\mathrm {B} }\operatorname {Tr} ({\widehat {\rho }}\log({\widehat {\rho }}))،$

جایی که ${\widehat {\rho }}$ ماتریس چگالی است ، $\operatorname {Tr}$ ردیابی است و $\log$ لگاریتم ماتریسی است . این فرمول ماتریس چگالی در موارد تعادل حرارتی مورد نیاز نیست تا زمانی که حالت های پایه به عنوان حالت های ویژه انرژی انتخاب شوند. برای بیشتر اهداف عملی، این را می توان به عنوان تعریف بنیادی آنتروپی در نظر گرفت، زیرا تمام فرمول های دیگر برای S را می توان به صورت ریاضی از آن مشتق کرد، اما نه برعکس.

در آنچه که فرض اساسی ترمودینامیک آماری یا فرض اساسی در مکانیک آماری نامیده می‌شود ، در میان ریزحالت‌های سیستم با انرژی یکسان ( ریز حالت‌های منحط ) هر ریز حالت با احتمال مساوی پر شده است. این فرض معمولاً برای یک سیستم ایزوله در حالت تعادل توجیه می شود. [29] سپس برای یک سیستم ایزوله p i = 1/Ω، که در آن Ω تعداد ریز حالتهایی است که انرژی آنها برابر با انرژی سیستم است و معادله قبلی به کاهش می یابد.

$S=k_{\mathrm {B} }\log \Omega .$

در ترمودینامیک، چنین سیستمی سیستمی است که در آن حجم، تعداد مولکول‌ها و انرژی درونی ثابت است ( مجموعه میکروکانونیکال ).

برای یک سیستم ترمودینامیکی معین، آنتروپی اضافی به عنوان آنتروپی منهای یک گاز ایده آل در همان چگالی و دما تعریف می شود، کمیتی که همیشه منفی است زیرا یک گاز ایده آل حداکثر بی نظم است. [30] این مفهوم نقش مهمی در نظریه حالت مایع ایفا می کند. به عنوان مثال، اصل مقیاس گذاری آنتروپی اضافی روزنفلد [31] [32] بیان می کند که کاهش ضرایب انتقال در طول نمودار فاز دو بعدی، توابعی هستند که به طور منحصر به فرد توسط آنتروپی اضافی تعیین می شوند. [33] [34]

کلی ترین تفسیر آنتروپی به عنوان معیاری از میزان عدم قطعیت در مورد یک سیستم است. حالت تعادل یک سیستم آنتروپی را به حداکثر می‌رساند زیرا تمام اطلاعات مربوط به شرایط اولیه را منعکس نمی‌کند، به جز متغیرهای حفظ شده. این عدم قطعیت از نوع ذهنی روزمره نیست، بلکه عدم قطعیت ذاتی روش تجربی و مدل تفسیری است. [35]

مدل تفسیری نقش محوری در تعیین آنتروپی دارد. واجد شرایط "برای یک مجموعه معین از متغیرهای ماکروسکوپی" در بالا پیامدهای عمیقی دارد: اگر دو ناظر از مجموعه های متفاوتی از متغیرهای ماکروسکوپی استفاده کنند، آنتروپی های متفاوتی را مشاهده می کنند. به عنوان مثال، اگر ناظر A از متغیرهای U ، V و W استفاده کند، و ناظر B از U ، V ، W ، X استفاده کند، ناظر B با تغییر X می تواند اثری ایجاد کند که به نظر می رسد نقض قانون دوم ترمودینامیک است. به ناظر A. به عبارت دیگر: مجموعه متغیرهای ماکروسکوپی که فرد انتخاب می کند باید شامل هر چیزی باشد که ممکن است در آزمایش تغییر کند، در غیر این صورت ممکن است شاهد کاهش آنتروپی باشیم.[36]

آنتروپی را می توان برای هر فرآیند مارکوف با دینامیک برگشت پذیر و ویژگی تعادل دقیق تعریف کرد.

در سخنرانی‌های بولتزمن در سال 1896 درباره تئوری گاز ، او نشان داد که این عبارت معیاری از آنتروپی را برای سیستم‌های اتم‌ها و مولکول‌ها در فاز گاز می‌دهد، بنابراین معیاری برای آنتروپی ترمودینامیک کلاسیک ارائه می‌کند.

آنتروپی یک سیستم [ ویرایش ]

یک سیستم ترمودینامیکی

نمودار دما – آنتروپی برای بخار محور عمودی نشان دهنده دمای یکنواخت و محور افقی نشان دهنده آنتروپی خاص است. هر خط تیره در نمودار نشان دهنده فشار ثابت است و اینها یک شبکه با خطوط خاکستری روشن با حجم ثابت را تشکیل می دهند. (آبی تیره آب مایع، آبی روشن مخلوط بخار مایع و آبی کمرنگ بخار است. آبی خاکستری نشان دهنده آب مایع فوق بحرانی است.)

آنتروپی مستقیماً از چرخه کارنو ناشی می شود . همچنین می توان آن را به عنوان گرمای برگشت پذیر تقسیم بر دما توصیف کرد. آنتروپی تابعی اساسی از حالت است.

در یک سیستم ترمودینامیکی ، فشار و دما در طول زمان یکنواخت می‌شوند، زیرا حالت تعادلی احتمال بیشتری دارد ( ترکیب‌های احتمالی ریز حالت‌ها ) از هر حالت دیگری.

به عنوان مثال، برای یک لیوان آب یخ در هوا در دمای اتاق ، اختلاف دمای بین اتاق گرم (محیط اطراف) و لیوان سرد یخ و آب (سیستم و نه بخشی از اتاق) کاهش می یابد. انرژی حرارتی از محیط گرم به سیستم خنک‌تر یخ و آب سرایت می‌کند. با گذشت زمان دمای شیشه و محتویات آن و دمای اتاق برابر می شود. به عبارت دیگر، آنتروپی اتاق کاهش یافته است زیرا مقداری از انرژی آن به یخ و آب پراکنده شده است که آنتروپی آن افزایش یافته است.

با این حال، همانطور که در مثال محاسبه شد، آنتروپی سیستم یخ و آب بیشتر از آنتروپی اتاق اطراف کاهش یافته است. در یک سیستم ایزوله مانند اتاق و آب یخ با هم، پراکندگی انرژی از گرمتر به سردتر همیشه منجر به افزایش خالص آنتروپی می شود. بنابراین، هنگامی که "جهان" سیستم آب یخ و اتاق به تعادل دما رسیده است، تغییر آنتروپی از حالت اولیه در حداکثر است. آنتروپی سیستم ترمودینامیکی معیاری است که نشان می دهد تساوی چقدر پیشرفت کرده است.

آنتروپی ترمودینامیکی یک تابع حالت غیرقابل حفظ است که در علوم فیزیک و شیمی از اهمیت بالایی برخوردار است . [25] [37] از نظر تاریخی، مفهوم آنتروپی تکامل یافته است تا توضیح دهد که چرا برخی از فرآیندها (که توسط قوانین حفاظت مجاز است) به طور خود به خود رخ می دهند در حالی که معکوس های زمانی آنها (که توسط قوانین حفاظت نیز مجاز است) رخ نمی دهند. سیستم ها تمایل به پیشرفت در جهت افزایش آنتروپی دارند. [38] [39] برای سیستم های ایزوله ، آنتروپی هرگز کاهش نمی یابد. [37] این حقیقت چند پیامد مهم در علم دارد: اول اینکه « حرکت دائمی » را منع می کندماشین‌ها؛ و ثانیاً، نشان می‌دهد که جهت پیکان آنتروپی برابر با پیکان زمان است. افزایش آنتروپی کل سیستم و محیط با تغییرات برگشت‌ناپذیر مطابقت دارد، زیرا مقداری انرژی به عنوان گرمای هدر رفته مصرف می‌شود و مقدار کار را محدود می‌کند. یک سیستم می تواند انجام دهد. [25] [26] [40] [41]

برخلاف بسیاری از توابع دیگر حالت، آنتروپی را نمی توان مستقیما مشاهده کرد، اما باید محاسبه شود. آنتروپی مولی استاندارد مطلق یک ماده را می توان از وابستگی دمایی اندازه گیری شده ظرفیت گرمایی آن محاسبه کرد. آنتروپی مولی یون ها به عنوان تفاوت در آنتروپی از حالت مرجع که به عنوان آنتروپی صفر تعریف می شود، به دست می آید. قانون دوم ترمودینامیک بیان می کند که آنتروپی یک سیستم جدا شده باید افزایش یا ثابت بماند. بنابراین، آنتروپی یک کمیت حفظ شده نیست: به عنوان مثال، در یک سیستم ایزوله با دمای غیر یکنواخت، گرما ممکن است به طور برگشت ناپذیری جریان یابد و دما یکنواخت تر شود به طوری که آنتروپی افزایش یابد. [42]واکنش‌های شیمیایی باعث تغییر در آنتروپی می‌شوند و آنتروپی سیستم، همراه با آنتالپی ، نقش مهمی در تعیین جهتی که یک واکنش شیمیایی خود به خود انجام می‌شود بازی می‌کند.

یک تعریف فرهنگ لغت از آنتروپی این است که "اندازه گیری انرژی حرارتی در واحد دما که برای کار مفید در دسترس نیست" در یک فرآیند چرخه ای است. به عنوان مثال، یک ماده در دمای یکنواخت در حداکثر آنتروپی است و نمی تواند یک موتور حرارتی را به حرکت درآورد. ماده ای در دمای غیر یکنواخت در آنتروپی کمتری قرار دارد (از زمانی که توزیع گرما اجازه داده شود یکنواخت شود) و مقداری از انرژی حرارتی می تواند موتور حرارتی را به حرکت درآورد.

یک مورد خاص از افزایش آنتروپی، آنتروپی اختلاط ، زمانی رخ می دهد که دو یا چند ماده مختلف با هم مخلوط شوند. اگر مواد در دما و فشار یکسان باشند، تبادل خالص گرما یا کار وجود ندارد - تغییر آنتروپی کاملاً به دلیل اختلاط مواد مختلف است. در سطح مکانیکی آماری، این به دلیل تغییر حجم موجود در هر ذره با اختلاط است. [43]

معادل سازی تعاریف [ ویرایش ]

اثبات هم ارزی تعریف آنتروپی در مکانیک آماری ( فرمول آنتروپی گیبس ${\textstyle S=-k_{\mathrm {B} }\sum _{i}p_{i}\log p_{i}}$ ) و در ترمودینامیک کلاسیک ( ${\textstyle dS={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$ همراه با رابطه ترمودینامیکی بنیادی ) برای مجموعه میکروکانونیکال ، مجموعه متعارف ، مجموعه متعارف بزرگ و مجموعه همدما-ایزوباریک شناخته شده اند. این اثبات ها بر اساس چگالی احتمال ریز حالت های توزیع بولتزمن تعمیم یافته و شناسایی انرژی داخلی ترمودینامیکی به عنوان میانگین مجموعه است. $U=\left\langle E_{i}\right\rangle$ . [44] سپس از روابط ترمودینامیکی برای استخراج فرمول آنتروپی گیبس استفاده می شود. با این حال، هم ارزی بین فرمول آنتروپی گیبس و تعریف ترمودینامیکی آنتروپی یک رابطه ترمودینامیکی اساسی نیست، بلکه نتیجه شکل توزیع تعمیم یافته بولتزمن است . [45]

علاوه بر این، نشان داده شده است که تعاریف آنتروپی در مکانیک آماری تنها آنتروپی است که معادل آنتروپی ترمودینامیک کلاسیک تحت فرض‌های زیر است: [46]

تابع چگالی احتمال با برخی از تابع های پارامترهای مجموعه و متغیرهای تصادفی متناسب است.
توابع حالت ترمودینامیکی با میانگین های مجموعه ای از متغیرهای تصادفی توصیف می شوند.
در دمای بی نهایت، همه ریز حالت ها احتمال یکسانی دارند.

قانون دوم ترمودینامیک [ ویرایش ]

قانون دوم ترمودینامیک ایجاب می کند که به طور کلی، آنتروپی کل هر سیستمی به جز افزایش آنتروپی برخی سیستم های دیگر کاهش پیدا نکند. از این رو، در یک سیستم جدا شده از محیط خود، آنتروپی آن سیستم تمایلی به کاهش ندارد. نتیجه این است که گرما نمی تواند از جسم سردتر به جسم گرمتر بدون اعمال کار به بدن سردتر جریان یابد. ثانیاً، برای هر دستگاهی که در یک چرخه کار می کند غیرممکن است که از یک مخزن دمایی کار خالص تولید کند. تولید کار شبکه مستلزم جریان گرما از یک مخزن گرمتر به یک مخزن سردتر یا یک مخزن منبسط کننده منفرد است که تحت سرمایش آدیاباتیک قرار می گیرد که کار آدیاباتیک را انجام می دهد . در نتیجه امکان الف وجود ندارددستگاه حرکت دائمی نتیجه این است که کاهش در افزایش آنتروپی در یک فرآیند مشخص، مانند یک واکنش شیمیایی ، به این معنی است که از نظر انرژی کارآمدتر است.

از قانون دوم ترمودینامیک نتیجه می گیرد که آنتروپی سیستمی که ایزوله نیست ممکن است کاهش یابد. به عنوان مثال، یک دستگاه تهویه مطبوع ممکن است هوای یک اتاق را خنک کند و در نتیجه آنتروپی هوای آن سیستم را کاهش دهد. گرمای خارج شده از اتاق (سیستم) که دستگاه تهویه مطبوع آن را منتقل و به هوای بیرون تخلیه می کند، همیشه سهم بیشتری در آنتروپی محیط دارد تا کاهش آنتروپی هوای آن سیستم. بنابراین، مجموع آنتروپی اتاق به اضافه آنتروپی محیط افزایش می یابد، مطابق با قانون دوم ترمودینامیک.

در مکانیک، قانون دوم در ارتباط با رابطه ترمودینامیکی بنیادی ، محدودیت هایی را بر توانایی یک سیستم برای انجام کار مفید می گذارد . [47] تغییر آنتروپی یک سیستم در دما ${\textstyle T}$ جذب بی نهایت گرما ${\textstyle \delta q}$ به صورت برگشت پذیر، توسط داده می شود ${\textstyle \delta q/T}$ . به طور واضح تر، یک انرژی ${\textstyle T_{R}S}$ در دسترس نیست برای انجام کار مفید، که در آن ${\textstyle T_{R}}$ دمای سردترین مخزن در دسترس یا سینک حرارتی خارج از سیستم است. برای بحث بیشتر، Exergy را ببینید .

مکانیک آماری نشان می‌دهد که آنتروپی توسط احتمال کنترل می‌شود، بنابراین امکان کاهش بی‌نظمی حتی در یک سیستم مجزا را فراهم می‌کند. اگرچه این امکان وجود دارد، اما احتمال وقوع چنین رویدادی بسیار کم است و آن را غیرممکن می کند. [48]

کاربرد قانون دوم ترمودینامیک محدود به سیستم هایی است که در حالت تعادل یا به اندازه کافی نزدیک به آن هستند، به طوری که آنتروپی را تعریف کرده اند. [49] برخی از سیستم های ناهمگن خارج از تعادل ترمودینامیکی هنوز هم فرضیه تعادل ترمودینامیکی محلی را برآورده می کنند ، به طوری که چگالی آنتروپی به صورت محلی به عنوان یک کمیت فشرده تعریف می شود. برای چنین سیستم هایی، ممکن است یک اصل حداکثر نرخ زمانی تولید آنتروپی اعمال شود. [50] [51] بیان می کند که چنین سیستمی ممکن است به یک حالت ثابت تکامل یابد که نرخ زمانی تولید آنتروپی آن را به حداکثر می رساند. این بدان معنا نیست که چنین سیستمی لزوماً همیشه در شرایط حداکثر نرخ زمانی تولید آنتروپی است. این بدان معنی است که ممکن است به چنین حالت ثابتی تکامل یابد.[52] [53]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی