ریاضیات

​زیر گروه های گروه لورنتس [ ویرایش ]

جبرهای فرعی جبر لی از گروه لورنتس را می توان تا مزدوج برشمرد که از میان آنها می توان زیر گروه های بسته گروه لورنتس محدود را تا مزدوج فهرست کرد. (برای جزئیات به کتاب هال که در زیر ذکر شده است مراجعه کنید).در جدول بالا آورده شده است.

جبرهای فرعی تک بعدی البته با چهار کلاس مزدوج عناصر گروه لورنتس مطابقت دارند:

• یک جبر فرعی یک پارامتری از سهمی های SO(0,1) ایجاد می کند.
• یک جبر فرعی یک پارامتری از SO(1, 1) را ایجاد می کند.
• یک پارامتر چرخش SO(2) ایجاد می کند،
• (برای هرچی) یک زیر جبر یک پارامتری از تبدیلات لوکسودرومی را ایجاد می کند.

(به بیان دقیق، آخرین مربوط به کلاس های بی نهایت زیادی است، از آنجایی که متمایز استکلاس های مختلف بدهید.) جبرهای فرعی دو بعدی عبارتند از:

• ایجاد یک زیر جبر آبلی که تماماً از سهمی‌ها تشکیل شده است،
• ایجاد یک جبر غیرآبلی هم شکل با جبر لی از گروه آفین Aff(1)،
• ایجاد یک جبر آبلی متشکل از تقویت‌ها، چرخش‌ها و لوکسودرومیک‌ها که همگی یک جفت نقطه ثابت را به اشتراک می‌گذارند.

زیر جبرهای سه بعدی از طرح طبقه بندی بیانچی استفاده می کنند :

• ایجاد یک زیر جبر بیانچی V ، هم شکل با جبر لی Hom(2)، گروه همتاهای اقلیدسی ،
• ایجاد یک زیر جبر بیانچی VII 0 ، هم شکل با جبر لی از E(2)، گروه اقلیدسی ،
• ، جایی که، یک بیانچی VII یک زیر جبر ایجاد کنید،
• ایجاد یک زیر جبر بیانچی VIII ، هم شکل با جبر لی SL(2, R )، گروه ایزومتریک صفحه هذلولی ،
• یک زیر جبر بیانچی IX ، هم شکل با جبر لی از SO(3)، گروه چرخش ایجاد کنید.

انواع بیانچی به طبقه بندی جبرهای دروغ سه بعدی توسط ریاضیدان ایتالیایی لوئیجی بیانچی اشاره دارد.

جبرهای فرعی چهار بعدی همگی مزدوج هستند

• ایجاد یک جبر فرعی هم شکل با جبر لی Sim(2)، گروه تشبیهات اقلیدسی .

جبرهای فرعی یک شبکه تشکیل می دهند (شکل را ببینید) و هر زیر جبر با قدرت یک زیر گروه بسته از گروه لی محدود را ایجاد می کند. از اینها، تمام زیر گروه های گروه لورنتس را می توان با ضرب در یکی از عناصر چهار گروه کلاین، تا صیغه سازی، ساخت.

شبکه زیر جبرهای جبر دروغ SO(1, 3)، تا مزدوج.

مانند هر گروه لی متصل، فضاهای coset زیرگروه های بسته گروه لورنتس محدود، یا فضاهای همگن ، علاقه ریاضی قابل توجهی دارند. چند توضیح مختصر:

• گروه Sim(2) تثبیت کننده یک خط تهی است . به عنوان مثال، یک نقطه در کره ریمان - بنابراین فضای همگن Sim(2) هندسه کلینی است که نشان دهنده هندسه منسجم در کره S 2 است.
• مولفه هویتی گروه اقلیدسی SE(2) تثبیت کننده یک بردار تهی است ، بنابراین فضای همگن SE(2) فضای تکانه یک ذره بدون جرم است. از نظر هندسی، این هندسه کلینی نمایانگر هندسه منحط مخروط نور در فضازمان مینکوفسکی است.
• گروه چرخشی SO(3) تثبیت کننده یک بردار زمان مانند است ، بنابراین فضای همگن SO(3) فضای تکانه یک ذره عظیم است. از نظر هندسی، این فضا چیزی نیست جز فضای هذلولی سه بعدی H 3 .

تعمیم به ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گروه متعامد نامشخص

مفهوم گروه لورنتس تعمیم طبیعی به فضازمان با هر تعداد ابعاد دارد. از نظر ریاضی، گروه لورنتز ( n + 1) - بعدی فضای مینکوفسکی، گروه متعامد نامشخص O( n , 1) از تبدیل های خطی Rn +1 است که فرم درجه دوم را حفظ می کند .

گروه O(1, n ) شکل درجه دوم را حفظ می کند

این هم شکل به O( n , 1) است اما در فیزیک ریاضی از محبوبیت بیشتری برخوردار است، عمدتاً به این دلیل که جبر معادله دیراک و به طور کلی جبرهای اسپینور و کلیفورد با این امضا "طبیعی تر" هستند.

یک نماد رایج برای فضای برداری، مجهز به این انتخاب فرم درجه دوم است.

بسیاری از ویژگی های گروه لورنتس در چهار بعد (که در آن n = 3 ) به طور مستقیم به n دلخواه تعمیم می یابد. به عنوان مثال، گروه لورنتس O( n , 1) دارای چهار جزء متصل است، و با تبدیل‌های منسجم بر روی کره ( n -1) آسمانی در فضای مینکوفسکی ( n +1)-بعدی عمل می‌کند. مؤلفه هویت SO + ( n , 1) یک بسته نرم افزاری SO( n ) روی فضای n هیپربولیک Hn است .

موارد کم بعدی n = 1 و n = 2 اغلب به عنوان "مدل های اسباب بازی" برای حالت فیزیکی n = 3 مفید هستند، در حالی که گروه های لورنتس با ابعاد بالاتر در نظریه های فیزیکی مانند نظریه ریسمان استفاده می شوند که وجود ابعاد پنهان را مطرح می کند. . گروه لورنتس O( n , 1) نیز گروه ایزومتری n بعدی فضای سیتر dSn است که ممکن است به عنوان فضای همگن O( n , 1)/O( n - 1, 1) تحقق یابد. به ویژه O(4, 1) گروه ایزومتریک جهان دسیتر dS 4 است.، یک مدل کیهانی.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group

​

​