3-گروه لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۱ | 2:39

گروه های پوششی [ ویرایش ]

از آنجایی که SL(2, C ) به سادگی متصل است، گروه پوششی جهانی از گروه محدود لورنتس SO (1، 3) است. با محدودیت، هممورفیسم SU(2) → SO(3) وجود دارد. در اینجا، گروه واحد ویژه SU(2)، که به گروه چهارتایی های هنجار واحد هم شکل است ، نیز به سادگی متصل است، بنابراین گروه پوششی گروه چرخشی SO(3) است. هر یک از این نقشه های پوششی پوشش های دوگانه ای هستند به این معنا که دقیقاً دو عنصر از گروه پوششی به هر عنصر از ضریب نگاشت می شوند. یکی اغلب می گوید که گروه لورنتس محدود و گروه چرخش هستندمضاعف متصل . این بدان معناست که گروه بنیادی هر گروه نسبت به گروه حلقوی دو عنصری Z 2 هم شکل است.

پوشش های دوگانه مشخصه گروه های اسپین است. در واقع، علاوه بر پوشش های دوتایی

چرخش (1، 3) = SL(2، C ) → SO (1، 3)

اسپین(3) = SU(2) → SO(3)

ما پوشش های دوتایی داریم

پین (1، 3) → O (1، 3)

چرخش (1، 3) → SO (1، 3)

اسپین (1، 2) = SU(1، 1) → SO(1، 2)

این پوشش های دوتایی اسپینوریال از جبرهای کلیفورد ساخته شده اند.

توپولوژی [ ویرایش ]

گروه چپ و راست در پوشش دوتایی

SU(2) → SO(3)

در پوشش دوتایی به ترتیب تغییر شکل های گروه چپ و راست هستند

SL(2, C ) → SO (1, 3).

اما فضای همگن SO (1, 3)/SO(3) با 3 فضای هذلولی H3 همومورف است ، بنابراین گروه لورنتس محدود شده را به عنوان یک بسته فیبر اصلی با الیاف SO(3) و پایه H3 نشان داده‌ایم . از آنجایی که دومی به R3 همومورف است ، در حالی که SO(3) به فضای تصویری حقیقی سه بعدی R P3 همومورف است ، می بینیم که گروه لورنتس محدود شده به صورت محلی به حاصلضرب R P3 با R3 همومورف است. . از آنجایی که فضای پایه قابل انقباض است، این را می توان به یک همومورفیسم جهانی تعمیم داد. [ توضیح لازم است ]

کلاس های مزدوج [ ویرایش ]

از آنجایی که گروه لورنتس محدود SO (1, 3) با گروه موبیوس PSL(2, C ) هم شکل است، کلاس‌های مزدوج آن نیز به پنج کلاس تقسیم می‌شوند:

تبدیلات بیضوی
تبدیلات هذلولی
تبدیلات لوکسودرومیک
تبدیلات سهموی
تغییر همانی بی اهمیت

در مقاله تبدیل‌های موبیوس ، توضیح داده شده است که چگونه این طبقه‌بندی با در نظر گرفتن نقاط ثابت تبدیل‌های موبیوس در عمل آن‌ها بر روی کره ریمان به وجود می‌آید، که در اینجا با فضاهای ویژه پوچ تبدیل‌های لورنتس محدود در عمل آنها در فضازمان مینکوفسکی مطابقت دارد.

نمونه‌ای از هر نوع در زیر بخش‌های زیر به همراه تأثیر زیرگروه تک پارامتری که تولید می‌کند (مثلاً بر ظاهر آسمان شب) آورده شده است.

دگرگونی های موبیوس دگرگونی های منسجم کره ریمان (یا کره آسمانی) هستند. سپس با یک عنصر دلخواه SL(2, C ) به ترتیب مثال های زیر از تبدیل دلخواه بیضوی، هذلولی، لوکسودرومیک و سهموی (محدود شده) لورنتس به دست می آید. تأثیر روی خطوط جریان زیرگروه‌های تک پارامتری مربوطه، تبدیل الگوی دیده‌شده در مثال‌ها توسط برخی تبدیل‌های منسجم است. به عنوان مثال، یک تبدیل بیضی لورنتس می تواند هر دو نقطه ثابت مجزا در کره سماوی داشته باشد، اما نقاط همچنان در امتداد کمان های دایره ای از یک نقطه ثابت به نقطه دیگر جریان دارند. موارد دیگر مشابه هستند.

بیضوی [ ویرایش ]

یک عنصر بیضوی SL(2, C ) است

$P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i} {2}}\theta \right)\end{bmatrix}}$

و دارای نقاط ثابت ξ = 0, ∞ است. با نوشتن عمل به صورت X ↦ P 1 X P 1 † و جمع آوری اصطلاحات، نقشه اسپینور آن را به تبدیل (محدود شده) لورنتس تبدیل می کند.

$Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)&0 \\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.$

سپس این تبدیل یک چرخش حول محور z ، exp( iθJ z ) را نشان می دهد. زیرگروه یک پارامتری که تولید می کند با در نظر گرفتن θ به عنوان یک متغیر حقیقی، زاویه چرخش، به جای ثابت به دست می آید.

دگرگونی های پیوسته متناظر کره آسمانی (به جز همانی) همگی در دو نقطه ثابت، قطب شمال و جنوب مشترکند. تبدیلها تمام نقاط دیگر را در اطراف دایره‌های عرض جغرافیایی حرکت می‌دهند تا این گروه با افزایش θ ، یک چرخش مداوم در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول محور z ایجاد کند . دوبرابر شدن زاويه مشهود در نقشه اسپينور از ويژگيهاي مشخصه پوششهاي دوتايي اسپينوريال است.

هایپربولیک [ ویرایش ]

یک عنصر هذلولی SL(2, C ) است

$P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta } {2}}\right)\end{bmatrix}}$

و دارای نقاط ثابت ξ = 0, ∞ است. تحت طرح ریزی استریوگرافی از کره ریمان به صفحه اقلیدسی، اثر این تبدیل موبیوس یک اتساع از مبدا است.

نقشه اسپینور این را به تبدیل لورنتس تبدیل می کند

$Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end {bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.$

این تبدیل نشان دهنده افزایش در امتداد محور z با سرعت η . زیرگروه تک پارامتری که تولید می کند با در نظر گرفتن η به عنوان یک متغیر حقیقی به جای ثابت به دست می آید. دگرگونی های پیوسته متناظر کره آسمانی (به جز همانی) همگی نقاط ثابت یکسانی دارند (قطب شمال و جنوب) و همه نقاط دیگر را در طول طول جغرافیایی از قطب جنوب دور می کنند و به سمت قطب شمال می برند.

لوکسودرومیک [ ویرایش ]

یک عنصر لوکسودرومیک از SL(2, C ) است

$P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta)\right)\end{bmatrix}}$

و دارای نقاط ثابت ξ = 0, ∞ است. نقشه اسپینور این را به تبدیل لورنتس تبدیل می کند

$Q_3 = Q_2 Q_1 = Q_1 Q_2.$

زیرگروه تک پارامتری که این تولید می کند با جایگزینی η i θ با هر مضرب حقیقی این ثابت مختلط به دست می آید. (اگر η , θ به طور مستقل متفاوت باشند، آنگاه یک زیرگروه آبلی دوبعدی به دست می آید که شامل چرخش همزمان حول محور z و بوست در امتداد مح%

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی