2-گروه لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۱ | 2:37

گروه لورنتس محدود شده [ ویرایش ]

گروه محدود لورنتس ${\text{SO}}^{+}(1,3)$ جزء هویت گروه لورنتس است، به این معنی که شامل تمام تبدیل های لورنتس است که می تواند توسط یک منحنی پیوسته در گروه به هویت متصل شود. گروه لورنتس محدود یک زیرگروه عادی متصل از گروه کامل لورنتس با همان بعد، در این مورد با بعد شش است.

گروه لورنتس محدود شده توسط چرخش‌های فضایی معمولی و بوست‌های لورنتس (که چرخش‌هایی در یک فضای هذلولی است که یک جهت زمان مانند را شامل می‌شود ) ایجاد می‌شود. از آنجایی که هر تبدیل مناسب و متعامد لورنتس را می توان به عنوان حاصلضرب یک چرخش (مشخص شده با 3 پارامتر واقعی ) و یک تقویت (همچنین با 3 پارامتر واقعی مشخص شده) نوشت، برای تعیین یک تبدیل لورنتز متعامد دلخواه خود به 6 پارامتر واقعی نیاز است. این یک راه برای درک اینکه چرا گروه لورنتس محدود شده شش بعدی است. (همچنین به جبر لی گروه لورنتس مراجعه کنید .)

مجموعه همه چرخش‌ها یک زیرگروه Lie را تشکیل می‌دهند که هم‌شکل به گروه چرخش معمولی SO(3) است. با این حال، مجموعه همه تقویت‌ها یک زیرگروه را تشکیل نمی‌دهند ، زیرا ترکیب دو بوست، به طور کلی، منجر به تقویت دیگری نمی‌شود. (در عوض، یک جفت تقویت غیر خطی معادل یک تقویت و یک چرخش است، و این به چرخش توماس مربوط می شود.) یک تقویت در یک جهت، یا یک چرخش حول یک محور، یک زیر گروه یک پارامتری ایجاد می کند.

سطوح گذر [ ویرایش ]

هایپربولوئید یک صفحه

سطح مخروطی مشترک

هایپربولوئید دو ورق

اگر یک گروه G بر روی فضای V عمل کند ، آنگاه سطح S ⊂ V سطح گذر است اگر S در زیر G ثابت باشد (یعنی ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S ) و برای هر دو نقطه s s 1 , s 2 ∈ S یک g ∈ G وجود دارد به طوری که gs 1 = s 2. طبق تعریف گروه لورنتس، فرم درجه دوم را حفظ می کند

$Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.$

سطوح گذر از گروه لورنتس متعامد O + (1، 3) ، Q ( x ) = ثابت. بر فضای زمان مسطح عمل می کند $\mathbb {R} ^{1،3}$ عبارتند از: [3]

Q ( x ) > 0، x 0 > 0 شاخه بالایی یک هایپربولوئید از دو صفحه است. نقاط این صفحه با یکبردار زمان مانند آینده از مبدا جدا می شوند.
Q ( x ) > 0، x 0 < 0 شاخه پایینی این هایپربولوئید است. نقاط این برگهبردارهای زمان مانند گذشته هستند.
Q ( x ) = 0، x 0 > 0 شاخه بالایی مخروط نور است ، مخروط نور آینده.
Q ( x ) = 0، x 0 < 0 شاخه پایینی مخروط نور، مخروط نور گذشته است.
Q ( x ) < 0 هیپربولوئیدی از یک صفحه است. نقاط این برگه به صورت فاصله از مبدا جدا شده اند.
مبدا x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0 .

این سطوح 3 بعدی هستند ، بنابراین تصاویر وفادار نیستند، اما برای حقایق مربوطه در مورد O + (1، 2) وفادار هستند . برای گروه کامل لورنتز، سطوح گذر فقط چهار است زیرا تبدیل T یک شاخه بالایی از یک هایپربولوئید (مخروط) را به یک پایین تر می برد و بالعکس.

به عنوان فضاهای متقارن [ ویرایش ]

یک راه معادل برای فرمول بندی سطوح فوق گذر، به عنوان یک فضای متقارن در مفهوم نظریه لی است. برای مثال، صفحه بالای هیپربولوئید را می توان به عنوان فضای ضریب نوشت ${\text{SO}}^{+}(1,3)/{\text{SO}}(3)$ ، با توجه به قضیه مدار تثبیت کننده . علاوه بر این، این ورق بالایی نیز مدلی برای فضای هذلولی سه بعدی ارائه می دهد .

نمایندگی های گروه لورنتس [ ویرایش ]

این مشاهدات نقطه شروع خوبی برای یافتن تمام نمایش‌های واحد بی‌بعدی گروه لورنتس، در واقع گروه پوانکاره، با استفاده از روش بازنمایی‌های القایی است. [4] یکی با یک "بردار استاندارد" شروع می شود، یکی برای هر سطح گذر، و سپس می پرسد که کدام زیرگروه این بردارها را حفظ می کند. فیزیکدانان این زیر گروه ها را گروه های کوچک می نامند. سپس مشکل اساساً به مشکل ساده‌تر یافتن بازنمایی گروه‌های کوچک کاهش می‌یابد. به عنوان مثال، یک بردار استاندارد در یکی از هذلولی های دو صفحه می تواند به طور مناسب به عنوان ( m ، 0، 0، 0) انتخاب شود. برای هر m ≠ 0، وکتور دقیقاً یک صفحه را سوراخ می کند. در این مورد، گروه کوچک SO(3) است، گروه چرخشی ، که همه نمایش‌های آن مشخص است. نمایش واحد بی‌بعدی دقیقی که ذره تحت آن تبدیل می‌شود، بخشی از طبقه‌بندی آن است. همه نمایش ها نمی توانند با ذرات فیزیکی مطابقت داشته باشند (تا آنجا که شناخته شده است). بردارهای استاندارد روی هذلولی های یک ورقی با تاکیون ها مطابقت دارند . ذرات روی مخروط نور فوتون و به طور فرضی تر، گراویتون هستند. "ذره" مربوط به مبدأ خلاء است.

هممورفیسم ها و هم ریختی ها [ ویرایش ]

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه

نشان می دهد مفاهیم اساسی
نشان می دهد گروه های محدود
نشان می دهد گروه های گسسته مشبک
نشان می دهد گروه های توپولوژیکی و لی
نشان می دهد گروه های جبری
v تی ه

همچنین ببینید: جبر فضای فیزیکی

چندین گروه دیگر به گروه لورنتس محدود SO + هممورف یا هم شکل هستند (1، 3). این هممورفیسم ها نقش اساسی در توضیح پدیده های مختلف در فیزیک دارند.

گروه خطی ویژه SL(2, C ) یک پوشش دوگانه از گروه محدود لورنتس است. این رابطه به طور گسترده برای بیان عدم تغییر لورنتز معادله دیراک و کوواریانس اسپینورها استفاده می شود . به عبارت دیگر، گروه لورنتس (محدود شده) هم شکل به SL(2, C )/ است. $\mathbb {Z_{2}}$
گروه symplectic Sp(2, C ) به SL(2, C ) هم شکل است. از آن برای ساخت اسپینورهای ویل و همچنین توضیح اینکه چگونه اسپینرها می توانند جرم داشته باشند استفاده می شود.
گروه اسپین Spin(1, 3) به SL(2, C ) هم شکل است. از آن برای توضیح اسپین و اسپینورها بر حسب جبر کلیفورد استفاده می شود ، بنابراین چگونگی تعمیم گروه لورنتس به تنظیمات کلی در هندسه ریمانی ، از جمله نظریه های ابرگرانش و نظریه ریسمان را روشن می کند.
گروه لورنتس محدود به گروه خطی ویژه تصویری PSL(2, C ) هم شکل است که به نوبه خود با گروه موبیوس ، گروه تقارن هندسه منسجم در کره ریمان هم شکل است . این رابطه برای طبقه‌بندی زیرگروه‌های گروه لورنتس بر اساس طرح طبقه‌بندی قبلی که برای گروه موبیوس توسعه یافته بود، مرکزی است.

نمایندگی ویل [ ویرایش ]

نمایش ویل یا نقشه اسپینور یک جفت هممورفیسم سطحی از SL(2, C ) تا SO + (1, 3) است. آنها یک جفت منطبق را تحت تبدیل برابری تشکیل می دهند که مربوط به اسپینورهای کایرال چپ و راست است.

می‌توان با نوشتن نقطه‌ای از فضازمان به‌عنوان یک ماتریس هرمیتی دو در دو، عمل SL(2, C) را در فضازمان مینکوفسکی تعریف کرد .

${\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x} +y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}$

از نظر ماتریس های پائولی .

این ارائه، ارائه ویل، راضی می کند

$\det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

بنابراین، فضای ماتریس های هرمیتی (که چهار بعدی است، به عنوان یک فضای برداری واقعی ) با فضازمان مینکوفسکی شناسایی شده است، به این ترتیب که تعیین کننده یک ماتریس هرمیتی، مجذور طول بردار متناظر در فضازمان مینکوفسکی است. یک عنصر $S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ بر روی فضای ماتریس های هرمیتی از طریق

${\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,$

جایی که $S^{\dagger }$ انتقال هرمیتی است $اس$ . این عمل تعیین کننده را حفظ می کند و بنابراین SL(2, C ) بر روی فضازمان مینکوفسکی توسط ایزومتریک (خطی) عمل می کند. شکل برابری معکوس در بالا است

$X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}$

که به عنوان تبدیل می شود

$X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}$

این که این تبدیل صحیح است، با توجه به این نکته می‌آید

${\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\! 1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1$

تحت جفت تبدیل بالا ثابت می ماند.

این نقشه ها سوجکتیو هستند و هسته هر یک از نقشه ها زیرگروه دو عنصری ± I است. با اولین قضیه هم شکلی، گروه ضریب PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } با SO + (1, 3) هم شکل است.

نقشه برابری این دو پوشش را مبادله می کند. این مربوط به صرف هرمیتی است که یک خودمورفیسم از $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} ).$ این دو پوشش متمایز با دو عمل کایرال متمایز گروه لورنتس بر روی اسپینورها مطابقت دارد . شکل غیر خط دار مربوط به چرخش های راست دست است که به صورت تبدیل می شوند $\psi _{R}\mapsto S\psi _{R}~,$ در حالی که شکل روی خط مربوط به اسپینورهای چپ دست است که به عنوان تبدیل می شوند $\psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}~.$ [آ]

توجه به این نکته مهم است که این جفت پوشش از کوانتیزاسیون دوام نمی آورد. هنگامی که کوانتیزه می شود، منجر به پدیده عجیب و غریب ناهنجاری کایرال می شود . تقارن های کلاسیک (یعنی غیر کوانتیزه) گروه لورنتس با کوانتیزه کردن شکسته می شوند. این محتوای قضیه شاخص آتیه-سینگر است .

قراردادهای نمادین [ ویرایش ]

در فیزیک، نشان دادن تبدیل لورنتس مرسوم است $\Lambda \in \operatorname {SO} ^{+}(1,3)$ مانند ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }~,$ بنابراین ماتریس را با شاخص های فضازمان نشان می دهد $\mu ,\nu =0,1,2,3.$ یک چهار بردار را می توان از ماتریس های پائولی به دو روش مختلف ایجاد کرد: به عنوان $\sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})$ و به عنوان ${\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)~.$ این دو شکل با تبدیل برابری به هم مرتبط هستند . توجه داشته باشید که ${\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }~.$

با توجه به تحول لورنتس $x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }~,$ پوشش دوگانه گروه لورنتز متعامد توسط $S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ داده شده در بالا می تواند به صورت نوشته شود

$x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\ nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }$

انداختن $x^\mu$ این شکل می گیرد

${\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }$

شکل مزدوج برابری است

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S ^{-1}$

اثبات [ ویرایش ]

اینکه شکل بالا برای نماد نمایه‌سازی شده درست است، بلافاصله مشخص نیست، تا حدی به این دلیل که هنگام کار در نماد نمایه‌سازی شده، اشتباه کردن تصادفی تبدیل لورنتس با معکوس یا جابجایی آن بسیار آسان است. این سردرگمی به دلیل هویت به وجود می آید $\eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}$ وقتی به شکل نمایه شده نوشته می شود، تشخیص آن دشوار است. تبدیل های لورنتس تحت تبدیل های لورنتس تانسور نیستند ! بنابراین اثبات مستقیم این هویت برای اثبات درستی آن مفید است. با شروع از هویت می توان آن را نشان داد

$\omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k }\راست)^{*}$

جایی که $k=1,2,3$ به طوری که موارد فوق فقط ماتریس های معمولی پائولی هستند و $(\cdot )^{\textsf {T}}$ انتقال ماتریس است، و $(\cdot )^{*}$ صرف پیچیده است ماتریکس $\ امگا$ است

$\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

این رابطه به صورت چهار بردار نوشته شده است

$\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{ -1}$

این به عنوان تبدیل می شود

${\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }} _{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\, S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{ \nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\ راست)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\راست)^{*}\end{تراز شده} }$

با برداشتن یک جابجایی بیشتر، می شود

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S ^{-1}$

گروه سمپلتیک [ ویرایش ]

گروه سمپلکتیک Sp(2, C ) به SL(2, C ) هم شکل است. این ایزومورفیسم به گونه ای ساخته شده است که یک فرم دوخطی نمادین را حفظ کند $\mathbb {C} ^{2}،$ یعنی فرم را تحت تبدیل های لورنتس ثابت بگذاریم. این ممکن است به صورت زیر بیان شود. گروه سمپلتیک به این صورت تعریف می شود

$\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {C}):S^{\textsf {T}}\ omega S=\omega \right\}$

جایی که

$\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

نمادهای رایج دیگر هستند $\omega =\epsilon$ برای این عنصر؛ گاهی $جی$ استفاده می شود، اما این باعث سردرگمی با ایده ساختارهای تقریباً پیچیده می شود ، که یکسان نیستند، زیرا به طور متفاوت تغییر می کنند.

با توجه به یک جفت اسپینور ویل (اسپینورهای دو جزئی)

$u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\ پایان{bmatrix}}$

فرم دوخطی ثابت به طور معمول به صورت نوشته می شود

$\langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v$

این فرم تحت گروه لورنتس ثابت است، به طوری که برای $S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ یک نفر دارد

$\langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle$

این یک نوع «ضرب اسکالر» اسپینورها را تعریف می‌کند، و معمولاً برای تعریف یک اصطلاح جرم ثابت لورنتس در لاگرانژی استفاده می‌شود . چندین ویژگی قابل توجه وجود دارد که برای فیزیک مهم هستند. یکی آن است $\omega ^{2}=-1$ و غیره $\omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega$

رابطه تعریف کننده را می توان به صورت زیر نوشت

$\omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}$

که شباهت زیادی به رابطه تعیین کننده برای گروه لورنتس دارد

$\eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}$

جایی که $\eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)$ تانسور متریک فضای مینکوفسکی است و البته، $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)$ مثل قبل.

گروه های پوششی

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی