ریاضیات

خطی بودن تبدیلات لورنتس [ ویرایش ]

تبدیل‌های لورنتز دارای خاصیت ریاضی به نام خطی بودن هستند، زیرا x " و t " به صورت ترکیب خطی x و t به‌دست می‌آیند ، بدون قدرت بالاتر. خطی بودن تبدیل منعکس کننده یک ویژگی اساسی فضازمان است که به طور ضمنی در اشتقاق فرض شده بود، یعنی اینکه ویژگی های چارچوب های مرجع اینرسی مستقل از مکان و زمان هستند. در غیاب گرانش، فضازمان در همه جا یکسان به نظر می رسد. [39] : 67  همه ناظران اینرسی در مورد اینکه چه چیزی حرکت شتاب دهنده و غیر شتابنده را تشکیل می دهد توافق خواهند داشت. [41] : 72-73 هر ناظری می تواند از اندازه گیری های خود از فضا و زمان استفاده کند، اما هیچ چیز مطلقی در مورد آنها وجود ندارد. کنوانسیون ناظران دیگری نیز به همین خوبی عمل خواهد کرد. [24] : 190 

نتیجه خطی بودن این است که اگر دو تبدیل لورنتس به صورت متوالی اعمال شوند، نتیجه یک تبدیل لورنتس نیز خواهد بود.

مثال: ترنس مشاهده می‌کند که استلا با سرعت 0.500 درجه سانتی‌گراد از او دور می‌شود ، و او می‌تواند از تبدیل‌های لورنتس با 0.500 = β برای ربط دادن اندازه‌های استلا به اندازه‌های خودش استفاده کند. استلا، در کادر خود، اورسولا را مشاهده می‌کند که در دمای 0.250 درجه سانتیگراد از او دور می‌شود ، و می‌تواند از تبدیل‌های لورنتس با 0.250 = β استفاده کند تا اندازه‌گیری‌های اورسولا را با اندازه‌های خودش مرتبط کند. به دلیل خطی بودن تبدیل‌ها و ترکیب نسبیتی سرعت‌ها، ترنس می‌تواند از تبدیل‌های لورنتس با 0.666= β استفاده کند تا اندازه‌گیری‌های اورسولا را با اندازه‌های خودش مرتبط کند.

اثر داپلر [ ویرایش ]

مقالات اصلی: اثر داپلر و اثر داپلر نسبیتی

اثر داپلر تغییر فرکانس یا طول موج موج برای گیرنده و منبع در حرکت نسبی است. برای سادگی، ما در اینجا دو سناریو اساسی را در نظر می گیریم: (1) حرکات منبع و/یا گیرنده دقیقاً در امتداد خط اتصال آنها قرار دارند (اثر طولی داپلر)، و (2) حرکات در زوایای قائمه با خط مذکور قرار دارند. اثر داپلر عرضی ). ما سناریوهایی را که در زوایای میانی حرکت می کنند نادیده می گیریم.

اثر داپلر طولی [ ویرایش ]

آنالیز کلاسیک داپلر به امواجی می پردازد که در یک محیط پخش می شوند، مانند امواج صوتی یا موج های آب، و بین منابع و گیرنده هایی که به سمت یا دور از یکدیگر حرکت می کنند، منتقل می شوند. تجزیه و تحلیل چنین امواجی بستگی به این دارد که آیا منبع، گیرنده یا هر دو نسبت به رسانه در حال حرکت هستند. با توجه به سناریویی که گیرنده نسبت به محیط ثابت است و منبع با سرعت vs برای پارامتر سرعت β s مستقیماً از گیرنده دور می شود ، طول موج افزایش می یابد و فرکانس مشاهده شده f داده می شود. توسط

از سوی دیگر، با توجه به سناریویی که منبع ساکن است و گیرنده با سرعت vr مستقیماً از منبع دور می‌شود برای پارامتر سرعت β r ، طول موج تغییر نمی‌کند ، اما سرعت انتقال امواج تغییر نمی‌کند. نسبت به گیرنده کاهش می یابد، و فرکانس مشاهده شده f توسط داده می شود

شکل 3-6. نمودار فضا-زمان اثر داپلر نسبیتی

نور، بر خلاف امواج صدا یا آب، از طریق یک رسانه منتشر نمی شود و هیچ تفاوتی بین منبعی که از گیرنده دور می شود یا گیرنده ای که از منبع دور می شود وجود ندارد. شکل 3-6 نمودار فضازمان نسبیتی را نشان می دهد که منبعی را نشان می دهد که از گیرنده با پارامتر سرعت β جدا می شود ، به طوری که جدایی بین منبع و گیرنده در زمان w βww است . به دلیل اتساع زمان،. از آنجایی که شیب پرتو سبز 1- است،. از این رو، اثر داپلر نسبیتی توسط [39] : 58-59  ارائه شده است

اثر داپلر عرضی [ ویرایش ]

شکل 3-7. سناریوهای اثر داپلر عرضی

فرض کنید یک منبع و یک گیرنده که هر دو با حرکت اینرسی یکنواخت در امتداد خطوط غیر متقاطع به یکدیگر نزدیک می شوند، در نزدیکترین فاصله خود به یکدیگر هستند. به نظر می رسد که تحلیل کلاسیک پیش بینی می کند که گیرنده هیچ تغییر داپلر را تشخیص نمی دهد. به دلیل ظرافت های موجود در تحلیل، این انتظار لزوماً درست نیست. با این وجود، هنگامی که به طور مناسب تعریف شود، تغییر داپلر عرضی یک اثر نسبیتی است که آنالوگ کلاسیک ندارد. ظرافت ها عبارتند از: [43] : 541-543 

• شکل 3-7a. اندازه گیری فرکانس زمانی که گیرنده از نظر هندسی در نزدیکترین فاصله خود به منبع باشد چقدر است؟ این سناریو به راحتی از فریم S' منبع تحلیل می شود. [یادداشت 10]

• شکل 3-7b. اندازه گیری فرکانس زمانی که گیرنده منبع را نزدیکترین منبع به خود می بیند چقدر است؟ این سناریو به راحتی از فریم S گیرنده تحلیل می شود.

دو سناریو دیگر معمولاً در بحث تغییر داپلر عرضی مورد بررسی قرار می گیرند:

• شکل 3-7c. اگر گیرنده به صورت دایره ای دور منبع در حال حرکت باشد، گیرنده چه فرکانسی را اندازه گیری می کند؟

• شکل 3-7d. اگر منبع به صورت دایره ای در اطراف گیرنده در حال حرکت باشد، گیرنده چه فرکانسی را اندازه گیری می کند؟

در سناریوی (الف)، نقطه نزدیک‌ترین نقطه، مستقل از فریم است و لحظه‌ای را نشان می‌دهد که هیچ تغییری در فاصله نسبت به زمان وجود ندارد (یعنی dr/dt = 0 که r فاصله بین گیرنده و منبع است) و بنابراین داپلر طولی وجود ندارد. تغییر مکان. منبع مشاهده می کند که گیرنده با نور فرکانس f ' روشن می شود ، اما گیرنده را به عنوان یک ساعت گشاد شده با زمان مشاهده می کند. بنابراین در فریم S گیرنده با نور فرکانس آبی تغییر یافته روشن می شود

در سناریوی (ب) تصویر نشان می‌دهد که گیرنده از زمانی که منبع نزدیک‌ترین نقطه به گیرنده بوده، با نور روشن می‌شود، حتی اگر منبع به سمت دیگر حرکت کرده باشد. از آنجا که ساعت های منبع مطابق با زمان اندازه گیری شده در فریم S گشاد می شوند و از آنجایی که dr/dt در این نقطه برابر با صفر بود، نور منبع که از این نزدیک ترین نقطه ساطع می شود، با فرکانس به قرمز منتقل می شود.

سناریوهای (ج) و (د) را می‌توان با استدلال‌های اتساع زمانی ساده تحلیل کرد. در (c)، گیرنده نور را از منبع مشاهده می کند که با ضریب آبی جابجا شده است، و در (d)، نور به قرمز منتقل می شود. تنها عارضه ظاهری این است که اجسام در حال چرخش در حال حرکت با شتاب هستند. با این حال، اگر یک ناظر اینرسی به یک ساعت در حال شتاب نگاه کند، تنها سرعت لحظه ای ساعت هنگام محاسبه اتساع زمان مهم است. (اما عکس آن درست نیست.) [43] : 541-543  اکثر گزارش‌های جابجایی داپلر عرضی به این اثر به عنوان یک انتقال به سرخ اشاره می‌کنند و اثر را بر حسب سناریوهای (b) یا (d) تحلیل می‌کنند. [یادداشت 11]