9- جبر کلیفورد

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و یکم مرداد ۱۴۰۱ | 16:56

گروه های چرخش و پین [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اسپین group ، پین group و اسپینor

در این بخش فرض می کنیم که V بعد متناهی و شکل دوخطی آن غیر منفرد است.

گروه پین پین V ( K ) زیرگروه گروه لیپ شیتز Γ از عناصر اسپینور هنجار 1 است ، و به طور مشابه گروه اسپین V ( K ) زیرگروه عناصر دیکسون ثابت 0 در پین V ( K ) است. وقتی مشخصه 2 نباشد ، اینها عناصر تعیین کننده 1 هستند. گروه اسپین معمولاً دارای اندیس 2 در گروه پین است.

از بخش قبل به یاد بیاورید که یک هم شکلی از گروه لیپ شیتز بر روی گروه متعامد وجود دارد. ما گروه متعامد ویژه را تصویر Γ 0 تعریف می کنیم . اگر K مشخصه 2 را نداشته باشد ، این فقط گروهی از عناصر گروه متعامد تعیین کننده 1 است. اگر K مشخصه 2 داشته باشد ، تمام عناصر گروه متعامد دارای تعیین کننده 1 هستند و گروه متعامد ویژه مجموعه عناصر دیکسون ثابت 0 است.

یک هم شکلی از گروه پین به گروه متعامد وجود دارد. تصویر از عناصر اسپینور هنجار 1 ∈ K × /( K × ) 2 تشکیل شده است. هسته از عناصر +1 و −1 تشکیل شده است و دارای مرتبه 2 است مگر اینکه K دارای مشخصه 2 باشد. به طور مشابه یک هم شکلی از گروه اسپین به گروه متعامد ویژه V وجود دارد.

در حالت متداول که V یک فضای قطعی مثبت یا منفی روی حقیقیات است، گروه اسپین روی گروه متعامد خاص نگاشت می شود و زمانی که V حداقل بعد 3 داشته باشد، به سادگی متصل می شود. بعلاوه هسته این هممورفیسم از 1 و -1 تشکیل شده است. بنابراین در این مورد گروه اسپین، اسپین( n ) یک پوشش دوتایی از SO( n ) است. لطفاً توجه داشته باشید که اتصال ساده گروه اسپین به طور کلی درست نیست: اگر V R p باشد ، q برای p و q هر دو حداقل2 سپس گروه اسپین به سادگی متصل نمی شود. در این مورد گروه جبری اسپین p , q به سادگی به عنوان یک گروه جبری متصل می شود، حتی اگر گروهی از نقاط با ارزش حقیقی آن اسپین p , q ( R ) به سادگی متصل نیست. این یک نکته نسبتاً ظریف است که نویسندگان حداقل یک کتاب استاندارد را در مورد گروه های چرخشی کاملاً گیج کرده است. [ کدام؟ ]

اسپینورها [ ویرایش ]

جبرهای کلیفورد Cl p , q ( C ) با p + q = 2 n زوج، جبرهای ماتریسی هستند که نمایش مختلط ای از بعد 2 n دارند. با متناهی کردن به گروه پین p ، q ( R ) یک نمایش مختلط از گروه پین با همان بعد به دست می‌آوریم که نمایش اسپین نامیده می‌شود . اگر این را به گروه اسپین اسپین p ، q ( R ) متناهی کنیم، آنگاه به صورت مجموع دو نمایش نیمه اسپین تقسیم می شود.(یا نمایش‌های ویل ) با ابعاد 2 n -1 .

اگر p + q = 2 n + 1 فرد باشد، جبر کلیفورد Cl p , q ( C ) مجموع دو جبر ماتریسی است که هر کدام نمایشی از بعد 2 n دارند و اینها نیز هر دو نمایش پین هستند. گروه پین p , q ( R ) . با متناهییت به گروه اسپین اسپین p , q ( R ) اینها هم شکل می شوند، بنابراین گروه اسپین یک نمایش اسپینور مختلط با بعد 2 n دارد.

به طور کلی‌تر، گروه‌های اسپینور و گروه‌های پین در هر زمینه، نمایش‌های مشابهی دارند که ساختار دقیق آن به ساختار جبرهای کلیفورد مربوطه بستگی دارد : هرگاه جبر کلیفورد دارای عاملی باشد که جبر ماتریسی بر روی برخی جبر تقسیم‌بندی است، نمایش متناظری از جبر کلیفورد را دریافت می‌کنیم. گروه پین و اسپین بر روی آن جبر تقسیم. برای مثال هایی در مورد حقیقی ها به مقاله اسپینورها مراجعه کنید.

اسپینورهای حقیقی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اسپینor

برای توصیف بازنمایی های اسپین حقیقی، باید بدانیم که گروه اسپین چگونه در جبر کلیفورد خود قرار دارد. گروه پین ، پین p ، q مجموعه ای از عناصر معکوس در Cl p ، q است که می تواند به عنوان حاصل ضرب بردارهای واحد نوشته شود:

$\mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\ 1 بعد از ظهر\راست\}.$

در مقایسه با تحقق های عینی بالا از جبرهای کلیفورد، گروه پین با ضربات بازتاب های دلخواه بسیاری مطابقت دارد: این پوششی از گروه متعامد O( p , q ) است. گروه اسپین متشکل از عناصر پین p , q است که حاصل تعداد زوج بردار واحد هستند. بنابراین توسط قضیه Cartan-Dieudonné اسپین پوششی از گروه چرخش های مناسب SO( p , q ) است.

فرض کنید α : Cl → Cl اتومورفیسمی باشد که با نگاشت v ↦ − v بر روی بردارهای خالص عمل می کند. سپس به طور خاص، اسپین p ، q زیرگروه پین p است، q عناصر آن توسط α ثابت می‌شوند . اجازه دهید

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.$

(اینها دقیقاً عناصر درجه زوج در Cl p , q هستند.) سپس گروه اسپین در Cl قرار دارد.[0]
p ، q.

نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر Cl p , q به نمایش گروه پین متناهی می‌شوند. برعکس، از آنجایی که گروه پین توسط بردارهای واحد تولید می‌شود، تمام نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر آن به این صورت القا می‌شوند. بنابراین این دو نمایش بر هم منطبق هستند. به همین دلایل، نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر اسپین با نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر Cl منطبق است.[0]
p ، q.

برای طبقه‌بندی نمایش‌های پین، فقط باید به طبقه‌بندی جبرهای کلیفورد مراجعه کرد. برای یافتن نمایش‌های اسپین (که نمایش‌هایی از زیر جبر زوج هستند)، ابتدا می‌توان از یکی از هم‌شکلی‌ها استفاده کرد (به بالا مراجعه کنید).

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0$

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0$

و یک نمایش اسپین در امضا ( p , q ) را به عنوان یک نمایش پین در امضا ( p , q -1) یا ( q , p -1) درک کنید.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

یکی از کاربردهای اصلی جبر بیرونی در هندسه دیفرانسیل است که در آن برای تعریف دسته ای از اشکال دیفرانسیل بر روی یک منیفولد صاف استفاده می شود. در مورد منیفولد ریمانی ( شبه- ) فضاهای مماس مجهز به یک فرم درجه دوم طبیعی است که توسط متریک القا می شود . بنابراین، می توان یک بسته نرم افزاری کلیفورد را در قیاس با بسته خارجی تعریف کرد. این چند کاربرد مهم در هندسه ریمانی دارد . شاید مهم تر، پیوند به یک منیفولد اسپین ، مرتبط با آن باشدمنیفولدهای اسپینور باندل و اسپین c .

فیزیک [ ویرایش ]

جبرهای کلیفورد کاربردهای مهم متعددی در فیزیک دارند. فیزیکدانان معمولاً جبر کلیفورد را جبری می‌دانند که مبنای آن توسط ماتریس‌های γ 0 , ..., γ 3 به نام ماتریس دیراک ایجاد می‌شود که این ویژگی را دارند.

$\gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,$

که در آن η ماتریس شکل درجه دوم امضا (1، 3) (یا (3، 1) مربوط به دو انتخاب معادل امضای متریک است). اینها دقیقاً روابط تعیین کننده برای جبر کلیفورد Cl هستند
1،3( R ) که کمپلکسی آن Cl است
1،3( R ) C که بر اساس طبقه بندی جبرهای کلیفورد ، با جبر 4 × 4 ماتریس های مختلط Cl 4 ( C ) ≈ M 4 ( C ) هم شکل است. با این حال، بهتر است علامت Cl را حفظ کنید
1،3( R ) C ، از آنجایی که هر تبدیلی که شکل دوخطی را به شکل متعارف می‌گیرد ، تبدیل لورنتس فضای زمان زیرین نیست.

بنابراین جبر فضازمان کلیفورد که در فیزیک استفاده می شود ساختار بیشتری نسبت به Cl 4 ( C ) دارد. علاوه بر این دارای مجموعه ای از تبدیل های ترجیحی است - تبدیلات لورنتس. اینکه آیا برای شروع مختلط‌سازی ضروری است تا حدی به قراردادهای مورد استفاده بستگی دارد و تا حدی بستگی به مقداری دارد که شخص می‌خواهد مستقیماً در آن گنجانده شود، اما مختلط‌سازی اغلب در مکانیک کوانتومی ضروری است، جایی که نمایش چرخشی جبر دروغ ( 1، 3) در داخل آن نشسته است. جبر کلیفورد معمولاً به جبر کلیفورد مختلط نیاز دارد. برای مرجع، جبر دروغ چرخشی توسط داده شده است

${\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\ سیگما ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^ {\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{تراز شده}}$

این در کنوانسیون (3، 1) است، بنابراین در Cl
3،1( R ) C . [18]

ماتریس دیراک اولین بار توسط پل دیراک نوشته شد، زمانی که او سعی داشت معادله موج مرتبه اول نسبیتی برای الکترون بنویسد ، و یک هم ریختی صریح از جبر کلیفورد به جبر ماتریس های مختلط بدهد. از نتیجه برای تعریف معادله دیراک و معرفی عملگر دیراک استفاده شد. کل جبر کلیفورد در نظریه میدان کوانتومی به شکل دو خطی میدان دیراک نشان داده می شود .

استفاده از جبرهای کلیفورد برای توصیف نظریه کوانتومی در میان دیگران توسط ماریو شونبرگ ، [19] توسط دیوید هستن از نظر حساب هندسی ، توسط دیوید بوم و باسیل هیلی و همکارانش در قالب سلسله مراتبی از جبرهای کلیفورد ، و توسط الیو کونته و همکاران [20] [21]

بینایی کامپیوتر [ ویرایش ]

جبرهای کلیفورد در مسئله تشخیص و طبقه بندی کنش در بینایی کامپیوتر به کار گرفته شده است. رودریگز و همکاران [22] یک جاسازی کلیفورد را برای تعمیم فیلترهای MACH سنتی به ویدئو (حجم فضایی-زمانی سه بعدی) و داده‌های با ارزش برداری مانند جریان نوری پیشنهاد می‌کند. داده های با ارزش برداری با استفاده از تبدیل فوریه کلیفورد تجزیه و تحلیل می شوند. بر اساس این بردارها، فیلترهای عمل در حوزه فوریه کلیفورد سنتز می شوند و با استفاده از همبستگی کلیفورد، شناسایی اقدامات انجام می شود. نویسندگان اثربخشی تعبیه کلیفورد را با تشخیص اقداماتی که معمولاً در فیلم‌های بلند کلاسیک و تلویزیون پخش ورزشی انجام می‌شوند، نشان می‌دهند.

کلیات [ ویرایش ]

در حالی که این مقاله بر جبر کلیفورد از یک فضای برداری بر روی یک میدان تمرکز دارد، این تعریف بدون تغییر به یک مدول در هر حلقه واحد، انجمنی و جابجایی گسترش می‌یابد. [3]
جبرهای کلیفورد ممکن است به شکلی بالاتر از درجه دوم در یک فضای برداری تعمیم داده شوند. [23]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال ریاضی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی