ریاضیات

مثالها: جبرهای حقیقی و مختلط کلیفورد [ ویرایش ]

مهمترین جبرهای کلیفورد آنهایی هستند که بر روی فضاهای برداری حقیقی و مختلط مجهز به اشکال درجه دوم غیرمنحط هستند .

هر یک از جبرهای Cl p , q ( R ) و Cl n ( C ) با A یا A ⊕ A هم شکل هستند که در آن A یک حلقه ماتریس کامل با ورودی های R ، C یا H است. برای طبقه بندی کامل این جبرها طبقه بندی جبرهای کلیفورد را ببینید .

اعداد حقیقی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جبر هندسی

جبرهای کلیفورد گاهی اوقات به عنوان جبرهای هندسی نیز شناخته می شوند که اغلب بر روی اعداد حقیقی هستند.

هر شکل درجه دوم غیر منحط در یک فضای بردار حقیقی با ابعاد متناهی معادل شکل مورب استاندارد است:

که در آن n = p + q بعد فضای برداری است. جفت اعداد صحیح ( p , q ) را امضای شکل درجه دوم می نامند . فضای برداری حقیقی با این شکل درجه دوم اغلب R p , q نشان داده می شود . جبر کلیفورد در R p , q را Cl p , q ( R ) نشان می دهند. نماد Cl n ( R ) به معنای Cl n ,0 ( R ) یا Cl 0, n (ر ) بسته به اینکه نویسنده فضاهای مثبت-معین یا منفی-معین را ترجیح می دهد.

یک مبنای استاندارد { e 1 , ..., e n } برای R p , q از n = p + q بردار متعامد متقابل تشکیل شده است که p آن مربع به +1 و q از کدام مربع به 1- است. بنابراین، جبر Cl p , q ( R ) دارای بردارهای p است که مربع آن به 1+ و q بردارهای آن مربع به 1- است.

چند مورد با ابعاد پایین عبارتند از:

• Cl 0,0 ( R ) به طور طبیعی با R هم شکل است زیرا هیچ بردار غیر صفر وجود ندارد.
• Cl 0,1 ( R ) یک جبر دوبعدی است که توسط e 1 ایجاد می شود و مربع آن برابر 1 است و جبری-ایزومورف به C است، میدان اعداد مختلط .
• Cl 0,2 ( R ) یک جبر چهار بعدی است که با {1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 } پوشانده شده است. سه عنصر آخر همگی مربع به 1- و ضد جابجایی هستند، و بنابراین جبر نسبت به چهارتایی H هم شکل است.
• Cl 0,3 ( R ) یک جبر 8 بعدی ایزومورف به مجموع مستقیم H ⊕ H است .

اعداد مختلط [ ویرایش ]

همچنین می توان جبرهای کلیفورد را بر روی فضاهای برداری مختلط مطالعه کرد. هر فرم درجه دوم غیر منحط در فضای برداری مختلط با بعد n معادل فرم مورب استاندارد است.

بنابراین، برای هر بعد n ، تا ایزومورفیسم تنها یک جبر کلیفورد از یک فضای برداری مختلط با فرم درجه دوم غیر منحط وجود دارد. جبر کلیفورد را در C n با شکل درجه دوم استاندارد با Cl n ( C ) نشان خواهیم داد.

برای چند مورد اول شخص متوجه می شود که

• Cl 0 ( C ) ≅ C ، اعداد مختلط
• Cl 1 ( C ) ≅ C ⊕ C ، اعداد دو مختلط
• Cl 2 ( C ) ≅ M 2 ( C ) ، دو کواترنیون ها

که در آن M n ( C ) نشان دهنده جبر n × n ماتریس روی C است.