ریاضیات

مقدمه و ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

جبر کلیفورد یک جبر انجمنی واحد است که شامل و توسط فضای برداری V بر روی یک میدان K ، که در آن V به شکل درجه دوم Q مجهز شده است و توسط آن ایجاد می شود . جبر کلیفورد Cl( V , Q ) "آزادترین" جبر انجمنی واحدی است که توسط V با شرط [4] تولید می شود.

که در آن حاصلضرب سمت چپ جبر است و عدد 1 هویت ضربی آن است . ایده «آزادترین» یا «عمومی ترین» جبر بودن موضوع این هویت را می توان به طور رسمی از طریق مفهوم یک ویژگی جهانی بیان کرد ، همانطور که در زیر انجام می شود .

در جایی که V یک فضای برداری واقعی با ابعاد محدود است و Q غیر منحط است ، Cl( V ، Q ) ممکن است با برچسب Cl p , q ( R ) شناسایی شود ، که نشان می‌دهد V مبنای متعامد با عناصر p با ei 2 = دارد . +1 ، q با e i 2 = −1 ، و جایی که Rنشان می دهد که این جبر کلیفورد بیش از واقعیات است. یعنی ضرایب عناصر جبر اعداد واقعی هستند. این اساس را می توان با مورب متعامد یافت .

جبر آزاد تولید شده توسط V ممکن است به صورت جبر تانسور ⨁ n ≥0 V ⊗ ⋯ ⊗ V نوشته شود، یعنی مجموع حاصلضرب تانسور n کپی از V روی تمام n ، و بنابراین جبر کلیفورد ضریب خواهد بود. این جبر تانسور توسط ایده آل دو طرفه ایجاد شده توسط عناصر شکل v ⊗ v − Q ( v )1 برای همه عناصر v ∈ V. حاصل ضرب القا شده توسط حاصل ضرب تانسور در جبر ضریب با استفاده از کنار هم (مثلاً uv ) نوشته می شود. ارتباط آن از تداعی حاصلضرب تانسور ناشی می شود.

جبر کلیفورد دارای یک زیرفضای متمایز V است که تصویر نقشه جاسازی شده است. چنین فضای فرعی به طور کلی نمی تواند به طور منحصر به فرد تعیین شود تنها با توجه به جبر K- هم شکل به جبر کلیفورد .

اگر مشخصه میدان زمین K 2 نباشد ، می توان هویت بنیادی بالا را به شکل بازنویسی کرد.

جایی که

شکل دوخطی متقارن مرتبط با Q از طریق هویت قطبی است .

اشکال درجه دوم و جبرهای کلیفورد در مشخصه 2 یک مورد استثنایی را تشکیل می دهند. به طور خاص، اگر char( K ) = 2 باشد، این درست نیست که یک فرم درجه دوم به طور منحصر به فرد یک فرم دوخطی متقارن را تعیین می کند که Q ( v ) = 〈 v ، v 〉 را برآورده می کند، و نه اینکه هر شکل درجه دوم مبنای متعامد را قبول دارد . بسیاری از عبارات این مقاله شامل این شرط است که مشخصه 2 نیست و در صورت حذف این شرط نادرست است.

به عنوان کوانتیزه کردن جبر بیرونی [ ویرایش ]

جبرهای کلیفورد ارتباط نزدیکی با جبرهای بیرونی دارند. در واقع، اگر Q = 0 باشد، جبر کلیفورد Cl( V , Q ) فقط جبر بیرونی ⋀ V است. برای Q غیرصفر ، یک هم ریختی خطی متعارف بین ⋀ V و Cl( V , Q ) وجود دارد که هرگاه میدان زمین K مشخصه دو را نداشته باشد. یعنی به طور طبیعی هم شکل هستندبه عنوان فضاهای برداری، اما با ضرب های مختلف (در مورد مشخصه دو، آنها هنوز به عنوان فضاهای برداری هم شکل هستند، نه به طور طبیعی). ضرب کلیفورد همراه با زیرفضای متمایز کاملاً غنی تر از محصول بیرونی است زیرا از اطلاعات اضافی ارائه شده توسط Q استفاده می کند.

جبر کلیفورد یک جبر فیلتر شده است ، جبر درجه بندی شده مربوط به جبر بیرونی است.

به طور دقیق‌تر، جبرهای کلیفورد را می‌توان به‌عنوان کوانتیزه‌سازی‌های جبر بیرونی (ر.ک. گروه کوانتومی ) در نظر گرفت، به همان شکلی که جبر ویل کوانتیزه‌سازی جبر متقارن است .

جبرهای ویل و جبرهای کلیفورد ساختار دیگری از جبر * را می‌پذیرند و می‌توان آن‌ها را به‌عنوان جمله‌های زوج و فرد یک ابرجبر متحد کرد ، همانطور که در جبرهای CCR و CAR بحث شده است.

مالکیت جهانی و ساخت و ساز [ ویرایش ]

فرض کنید V یک فضای برداری روی یک فیلد K باشد، و اجازه دهید Q : V → K یک شکل درجه دوم روی V باشد. در بیشتر موارد مورد علاقه فیلد K یا میدان اعداد حقیقی R یا میدان اعداد مختلط C یا یک میدان متناهی است .

جبر کلیفورد Cl( V , Q ) یک جفت ( A , i ) است، [5] [6] که در آن A یک جبر انجمنی واحد بر K است و i یک نقشه خطی i است : V → Cl( V ، Q ) رضایت بخش است . i ( v ) 2 = Q ( v )1 برای همه v در V ، با موارد زیر تعریف می شودخاصیت جهانی : با توجه به هر جبر انجمنی واحد A روی K و هر نقشه خطی j : V → A به گونه ای که

(در جایی که 1 A نشان دهنده هویت ضربی A است)، یک هم شکل جبری منحصر به فرد f وجود دارد : Cl( V , Q ) → A به طوری که نمودار زیر تغییر می کند (یعنی به گونه ای که f ∘ i = j ) :

شکل درجه دوم Q را می توان با یک فرم دوخطی ( نه لزوما متقارن ) جایگزین کرد . _ _

وقتی مشخصه فیلد 2 نباشد ، ممکن است با چیزی که در آن صورت یک نیاز معادل است جایگزین شود.

که در آن شکل دو خطی ممکن است به متقارن بودن بدون از دست دادن کلیت محدود شود.

جبر کلیفورد همانطور که در بالا توضیح داده شد همیشه وجود دارد و می تواند به صورت زیر ساخته شود: با کلی ترین جبری که حاوی V است، یعنی جبر تانسور T ( V ) شروع کنید و سپس با گرفتن یک ضریب مناسب، هویت بنیادی را اعمال کنید . در مورد ما می‌خواهیم IQ ایده‌آل دو طرفه را در T ( V ) که توسط همه عناصر شکل ایجاد می‌شود در نظر بگیریم.

برای همه و Cl( V , Q ) را به عنوان جبر ضریب تعریف کنید

محصول حلقه ای که توسط این ضریب به ارث می رسد گاهی اوقات به عنوان محصول کلیفورد [7] نامیده می شود تا آن را از محصول بیرونی و محصول اسکالر متمایز کند.

سپس ساده است که نشان دهیم Cl( V , Q ) حاوی V است و خاصیت جهانی فوق را برآورده می کند، به طوری که Cl تا یک ایزومورفیسم منحصر به فرد منحصر به فرد است. بنابراین از "کلیفورد" جبر Cl( V , Q ) صحبت می شود. همچنین از این ساختار نتیجه می شود که i تزریقی است . معمولاً i را رها می کنیم و V را به عنوان زیرفضای خطی Cl( V , Q ) در نظر می گیریم .

توصیف جهانی جبر کلیفورد نشان می‌دهد که ساخت کل ( V , Q ) ماهیت کارکردی دارد . یعنی کلر را می‌توان به‌عنوان تابعی از دسته فضاهای برداری با فرم‌های درجه دوم (که مورفیسم آن‌ها نقشه‌های خطی با حفظ شکل درجه دوم هستند) تا دسته جبرهای انجمنی در نظر گرفت. ویژگی جهانی تضمین می کند که نقشه های خطی بین فضاهای برداری (با حفظ شکل درجه دوم) به طور منحصر به فردی به هم شکلی های جبر بین جبرهای کلیفورد مرتبط گسترش می یابد.