حرکت پرتابه

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه دهم تیر ۱۴۰۱ | 15:25

حرکت پرتابه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پنهان شدناین مقاله دارای مشکلات متعددی است. لطفاً به بهبود آن کمک کنید یا در مورد این مسائل در صفحه بحث بحث کنید. ( با نحوه و زمان حذف این پیام های الگو آشنا شوید )

این مقاله نیاز به توجه یک متخصص فیزیک دارد. مشکل خاص این است: حاوی اطلاعات مختلف سطح بالا بدون هیچ مرجعی است.. ( نوامبر 2019 )

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . ( نوامبر 2019 )

مسیر حرکت آب سهموی

مولفه های سرعت اولیه پرتاب سهمی

حرکت پرتابه شکلی از حرکت است که توسط یک جسم یا ذره ( پرتابه ) تجربه می‌شود که در نزدیکی سطح زمین پرتاب می‌شود و تنها تحت تأثیر گرانش در امتداد یک مسیر منحنی حرکت می‌کند (به ویژه، اثرات مقاومت هوا غیرفعال و فرضی است. ناچیز بودن). این مسیر منحنی توسط گالیله به عنوان یک سهمی نشان داده شد ، اما ممکن است در موارد خاص زمانی که مستقیماً به سمت بالا پرتاب می شود یک خط مستقیم باشد. مطالعه چنین حرکاتی بالستیک نامیده می شود و چنین مسیری یک مسیر بالستیک است. تنها نیروی با اهمیت ریاضی که به طور فعال بر جسم اعمال می شود، گرانش است که به سمت پایین عمل می کند، بنابراین به جسم یک شتاب رو به پایین به سمت مرکز جرم زمین می دهد . به دلیل اینرسی جسم ، هیچ نیروی خارجی برای حفظ مولفه سرعت افقی حرکت جسم مورد نیاز نیست. در نظر گرفتن سایر نیروها، مانند نیروی کشش آیرودینامیکی یا نیروی محرکه داخلی (مانند موشک )، نیاز به تحلیل بیشتری دارد. یک موشک بالستیک موشکی است که فقط در طول نیروی اولیه نسبتاً کوتاه هدایت می شودمرحله پرواز، و دوره باقی مانده آن توسط قوانین مکانیک کلاسیک اداره می شود .

بالستیک (از یونان باستان βάλλειν b�llein 'پرتاب کردن') علم دینامیک است که به پرواز، رفتار و اثرات پرتابه ها، به ویژه گلوله ها ، بمب های هدایت نشده ، موشک ها یا موارد مشابه می پردازد. علم یا هنر طراحی و تسریع پرتابه ها به منظور دستیابی به عملکرد مطلوب.

مسیرهای پرتابه با کشش هوا و سرعت های اولیه متغیر

معادلات اولیه بالستیک تقریباً از هر عاملی به جز سرعت اولیه و شتاب گرانشی ثابت فرضی غفلت می کند. راه حل های عملی یک مشکل بالستیک اغلب مستلزم ملاحظات مقاومت هوا، بادهای متقاطع، حرکت هدف، شتاب متغیر به دلیل گرانش، و در مسائلی مانند پرتاب موشک از نقطه ای روی زمین به نقطه دیگر، چرخش زمین است. راه‌حل‌های ریاضی دقیق مسائل عملی معمولاً دارای راه‌حل‌های بسته نیستند و بنابراین برای پرداختن به روش‌های عددی نیاز دارند.

فهرست

کمیت های سینماتیکی حرکت پرتابه [ ویرایش ]

در حرکت پرتابه، حرکت افقی و حرکت عمودی مستقل از یکدیگر هستند. یعنی هیچ یک از حرکت ها بر دیگری تأثیر نمی گذارد. این اصل حرکت مرکب است که توسط گالیله در سال 1638 تأسیس شد، [1] و توسط او برای اثبات شکل سهموی حرکت پرتابه استفاده شد. [2]

اجزای افقی و عمودی سرعت پرتابه مستقل از یکدیگر هستند.

خط سیر بالستیک سهمی با شتاب همگن است، مانند یک سفینه فضایی با شتاب ثابت در غیاب نیروهای دیگر. در زمین، شتاب با ارتفاع و جهت با طول و عرض جغرافیایی تغییر می کند. این باعث ایجاد یک مسیر بیضوی می شود که در مقیاس کوچک به سهمی بسیار نزدیک است. با این حال، اگر جسمی پرتاب شود و زمین به طور ناگهانی با سیاهچاله ای با جرم مساوی جایگزین شود، آشکار می شود که مسیر بالستیک بخشی از یک مدار بیضوی حول آن سیاهچاله است و نه سهمی که تا بی نهایت ادامه دارد. در سرعت های بالاتر، مسیر می تواند دایره ای، سهموی یا هذلولی باشد(مگر اینکه توسط اجرام دیگری مانند ماه یا خورشید تحریف شده باشد). در این مقاله یک شتاب همگن در نظر گرفته شده است.

شتاب [ ویرایش ]

از آنجایی که فقط در جهت عمودی شتاب وجود دارد، سرعت در جهت افقی ثابت است و برابر است $\mathbf{v}_0 \cos\theta$ . حرکت عمودی پرتابه حرکت یک ذره در طول سقوط آزاد آن است. در اینجا شتاب ثابت است و برابر با g است. [نکته 1] اجزای شتاب عبارتند از:

$a_{x}=0$ ،

$a_{y}=-g$ .

سرعت [ ویرایش ]

اجازه دهید پرتابه با سرعت اولیه پرتاب شود $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ که می توان آن را به صورت مجموع اجزای افقی و عمودی به صورت زیر بیان کرد:

$\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}$ .

اجزاء $v_{0x}}$ و $v_{{0y}}$ اگر زاویه پرتاب اولیه، $تتا$ ، شناخته شده است:

$v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )$ ،

{\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )} $v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )$

مولفه افقی سرعت جسم در طول حرکت بدون تغییر باقی می ماند. مولفه عمودی سرعت به صورت خطی تغییر می کند، [یادداشت 2] زیرا شتاب ناشی از گرانش ثابت است. شتاب‌های جهات x و y را می‌توان برای حل مولفه‌های سرعت در هر زمان t به صورت زیر ادغام کرد:

$v_{x}=v_{0}\cos(\theta )$ ،

$v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt$ .

بزرگی سرعت (بر اساس قضیه فیثاغورث که به عنوان قانون مثلث نیز شناخته می شود):

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ .

جابجایی [ ویرایش ]

جابجایی و مختصات پرتاب سهمی

هروقت $تی$ جابجایی افقی و عمودی پرتابه عبارتند از:

$x=v_{0}t\cos(\theta)$ ،

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$ .

بزرگی جابجایی:

$\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ .

معادلات را در نظر بگیرید،

$x=v_{0}t\cos(\theta),y=v_{0}t\sin(\theta)-{\frac {1}{2}}gt^{2}$ .

اگر t بین این دو معادله حذف شود، معادله زیر به دست می آید:

$y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}$ .

از آنجایی که g ، θ و v 0 ثابت هستند، معادله فوق به این شکل است

$y=ax+bx^{2}$ ،

که در آن a و b ثابت هستند. این معادله سهمی است، بنابراین مسیر سهمی است. محور سهمی عمودی است.

اگر موقعیت پرتابه (x,y) و زاویه پرتاب (θ یا α) مشخص باشد، سرعت اولیه را می‌توان با حل کردن v 0 در معادله سهموی فوق‌الذکر یافت:

$v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}$ .

جابجایی در مختصات قطبی [ ویرایش ]

مسیر سهموی پرتابه را نیز می توان به جای مختصات دکارتی در مختصات قطبی بیان کرد. در این حالت، موقعیت دارای فرمول کلی است

$r(\phi )={\frac {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left(-\tan \phi \sec \phi +{\sqrt {(\tan ^{2}\phi +\tan ^{2}\theta )\sec ^{2}\phi }}\right)$ .

در این معادله مبدأ نقطه وسط برد افقی پرتابه است و اگر زمین صاف باشد، قوس سهموی در محدوده رسم می شود. $0\leq \phi \leq \pi$ . این عبارت را می توان با تبدیل معادله دکارتی همانطور که در بالا بیان شد بدست آورد $y=r\sin \phi$ و $x=r\cos \phi$ .

ویژگی های مسیر [ ویرایش ]

زمان پرواز یا کل زمان کل سفر [ ویرایش ]

کل زمان t که پرتابه در هوا باقی می ماند، زمان پرواز نامیده می شود.

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

پس از پرواز، پرتابه به محور افقی (محور x) باز می گردد، بنابراین $y=0$ .

$0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt$

$t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}$

توجه داشته باشید که از مقاومت هوا روی پرتابه غافل شده ایم.

اگر نقطه شروع در ارتفاع y 0 نسبت به نقطه برخورد باشد، زمان پرواز برابر است با:

$t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}} {g}}$

همانطور که در بالا، این عبارت را می توان به کاهش داد

$t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin { \theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g} }={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}$

اگر θ 45 درجه و y 0 0 باشد.

زمان پرواز تا موقعیت هدف [ ویرایش ]

همانطور که در قسمت Displacement در بالا نشان داده شده است ، سرعت افقی و عمودی یک پرتابه مستقل از یکدیگر هستند.

به همین دلیل، می توانیم با استفاده از فرمول جابجایی سرعت افقی، زمان رسیدن به هدف را پیدا کنیم:

$x=v_{0}t\cos(\theta )$

${\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )$

$t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}$

این معادله کل زمان t را که پرتابه باید طی کند تا به جابجایی افقی هدف برسد و مقاومت هوا را نادیده بگیرد نشان می دهد.

حداکثر ارتفاع پرتابه [ ویرایش ]

حداکثر ارتفاع پرتابه

بیشترین ارتفاعی که جسم به آن خواهد رسید به عنوان اوج حرکت جسم شناخته می شود. افزایش قد تا زمان ادامه خواهد داشت $v_{y}=0$ ، به این معنا که،

$0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}$ .

زمان رسیدن به حداکثر ارتفاع (h):

$t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}$ .

برای جابجایی عمودی حداکثر ارتفاع پرتابه:

$h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}$

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}$

حداکثر ارتفاع قابل دستیابی برای θ =90 درجه به دست می آید:

$h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$

رابطه بین محدوده افقی و حداکثر ارتفاع [ ویرایش ]

رابطه بین محدوده d در صفحه افقی و حداکثر ارتفاع h که در آن رسیده است ${\frac {t_{d}}{2}}$ است:

$h={\frac {d\tan \theta }{4}}$

نشان دادن اثبات

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی