5-سیستم مختصات قطبی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هشتم تیر ۱۴۰۱ | 20:9

حساب انتگرال (طول قوس) [ ویرایش ]

طول قوس (طول یک پاره خط) که توسط یک تابع قطبی تعریف می‌شود، با ادغام روی منحنی r ( φ ) به دست می‌آید. اجازه دهید L این طول را در امتداد منحنی نشان دهد که از نقاط A تا نقطه B شروع می شود ، جایی که این نقاط مطابق با φ = a و φ = b هستند به طوری که 0 < b − a < 2 π . طول L با انتگرال زیر بدست می آید

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d \varphi }}\right]^{2}}}d\varphi$

حساب انتگرال (مساحت) [ ویرایش ]

ناحیه یکپارچه سازی R توسط منحنی r ( φ ) و پرتوهای φ = a و φ = b محدود شده است.

فرض کنید R ناحیه محصور شده توسط یک منحنی r ( φ ) و پرتوهای φ = a و φ = b را نشان می دهد ، که در آن 0 < b − a ≤ 2 π . سپس مساحت R برابر است

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .$

منطقه R با n بخش تقریبی می شود (در اینجا n = 5).

یک پلان متر که به صورت مکانیکی انتگرال های قطبی را محاسبه می کند

این نتیجه را می توان به صورت زیر یافت. ابتدا بازه [ a , b ] به n زیر بازه تقسیم می شود که n مقداری صحیح مثبت است. بنابراین Δ φ ، اندازه گیری زاویه هر زیر بازه، برابر است با b - a (میزان اندازه گیری کل زاویه بازه)، تقسیم بر n ، تعداد زیر بازه ها. برای هر زیر بازه i = 1، 2، ...، n ، اجازه دهید φ i نقطه میانی زیر بازه باشد، و یک بخش با مرکز در قطب، شعاع r ( φi) بسازیم .)، زاویه مرکزی Δ φ و طول قوس r ( φ i )Δ φ . بنابراین مساحت هر بخش ساخته شده برابر است با

$\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2 }}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .$

از این رو، مساحت کل همه بخش ها است

$\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .$

با افزایش تعداد زیر بازه های n ، تقریب مساحت بهبود می یابد. با گرفتن n ∞ ∞ ، حاصل جمع ریمان برای انتگرال فوق می شود.

دستگاه مکانیکی که انتگرال‌های مساحت را محاسبه می‌کند پلان‌متر است که مساحت شکل‌های صفحه را با ردیابی آنها اندازه‌گیری می‌کند: این انتگرال را در مختصات قطبی با افزودن یک مفصل تکرار می‌کند به طوری که پیوند دو عنصری قضیه گرین را تحت تأثیر قرار می‌دهد و انتگرال قطبی درجه دوم را به یک انتگرال خطی

تعمیم [ ویرایش ]

با استفاده از مختصات دکارتی ، یک عنصر مساحت بینهایت کوچک را می توان به صورت dA = dx dy محاسبه کرد. قانون جایگزینی برای انتگرال های چندگانه بیان می کند که هنگام استفاده از مختصات دیگر، تعیین کننده ژاکوبین فرمول تبدیل مختصات باید در نظر گرفته شود:

$J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r} }&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.$

بنابراین، یک عنصر مساحت در مختصات قطبی را می توان به صورت نوشتاری نوشت

$dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .$

اکنون، یک تابع، که در مختصات قطبی داده شده است، می تواند به صورت زیر یکپارچه شود:

$\iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi ) \,r\,dr\,d\varphi .$

در اینجا، R همان ناحیه فوق است، یعنی ناحیه محصور شده توسط یک منحنی r ( φ ) و پرتوهای φ = a و φ = b . فرمول مساحت R با گرفتن f به طور یکسان برابر با 1 بازیابی می شود.

یک نمودار از $f(x)=e^{-x^{2}}$ و ناحیه بین تابع و $ایکس$ -axis که برابر است با ${\sqrt {\pi }}$ .

یک کاربرد شگفت‌انگیزتر از این نتیجه انتگرال گاوسی را به دست می‌دهد :

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

حساب برداری [ ویرایش ]

حساب برداری را می توان برای مختصات قطبی نیز اعمال کرد. برای حرکت مسطح، اجازه دهید $\mathbf {r}$ بردار موقعیت ( r cos( φ )، r sin( φ )) باشد ، با r و φ بسته به زمان t .

بردارهای واحد را تعریف می کنیم

${\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))$ در مسیر $\mathbf {r}$ و

${\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat { \mathbf {r} }}\ ,$

در صفحه حرکت عمود بر جهت شعاعی، جایی که ${\hat {\mathbf {k} }}$ یک بردار واحد نرمال با صفحه حرکت است.

سپس

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \ varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}}, \ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi } }(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2 }(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}} \\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}} \;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{تراز شده}}$

اصطلاحات گریز از مرکز و کوریولیس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: مکانیک حرکت ذرات مسطح و نیروی گریز از مرکز (قاب مرجع چرخشی)

بردار موقعیت r ، همیشه به صورت شعاعی از مبدا اشاره می کند.

بردار سرعت v ، همیشه مماس بر مسیر حرکت است.

بردار شتاب a ، موازی با حرکت شعاعی نیست، بلکه توسط شتاب‌های زاویه‌ای و کوریولیس جبران می‌شود، و نه مماس بر مسیر، بلکه با شتاب‌های مرکز و شعاعی جبران می‌شود.

بردارهای سینماتیکی در مختصات قطبی مسطح. توجه داشته باشید که راه اندازی به فضای دو بعدی محدود نمی شود، بلکه یک صفحه در هر بعد بالاتر است.

عبارت $r{\dot {\varphi }}^{2}$ گاهی اوقات به عنوان شتاب مرکزگرا و اصطلاح شناخته می شود $2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ به عنوان شتاب کوریولیس . برای مثال به شانکار مراجعه کنید. [18]

توجه: این عبارات، که هنگام بیان شتاب در مختصات قطبی ظاهر می شوند، یک نتیجه ریاضی تمایز هستند. هر زمان که از مختصات قطبی استفاده می شود ظاهر می شوند. در دینامیک ذرات مسطح، این شتاب ها هنگام تنظیم قانون دوم حرکت نیوتن در یک چارچوب مرجع چرخشی ظاهر می شوند. در اینجا این اصطلاحات اضافی اغلب نیروهای ساختگی نامیده می شوند . ساختگی هستند زیرا آنها صرفاً نتیجه تغییر در چارچوب مختصات هستند. این بدان معنا نیست که آنها وجود ندارند، بلکه فقط در چارچوب چرخان وجود دارند.

قاب اینرسی مرجع S و قاب غیر اینرسی همزمان چرخشی آنی مرجع S' . قاب دوار همزمان با سرعت زاویه ای Ω برابر با سرعت چرخش ذره حول مبدا S' در لحظه خاص t می چرخد . ذره در موقعیت برداری r ( t ) قرار دارد و بردارهای واحد در جهت شعاعی به ذره از مبدأ، و همچنین در جهت افزایش زاویه ϕ نرمال به جهت شعاعی نشان داده می شوند. این بردارهای واحد نیازی به ارتباط با مماس و نرمال مسیر ندارند. همچنین فاصله شعاعی r نیازی به ارتباط با شعاع انحنای مسیر ندارد.

قاب چرخشی همزمان [ ویرایش ]

برای یک ذره در حرکت مسطح، یک رویکرد برای ضمیمه کردن اهمیت فیزیکی به این عبارات مبتنی بر مفهوم چارچوب مرجع همزمان چرخشی آنی است . [19] برای تعریف یک قاب هم چرخان، ابتدا یک مبدا انتخاب می شود که از آن فاصله r ( t ) تا ذره تعریف می شود. یک محور چرخشی عمود بر صفحه حرکت ذره تنظیم می شود و از این مبدا می گذرد. سپس، در لحظه انتخاب شده t ، سرعت چرخش قاب هم‌گردان Ω مطابق با سرعت چرخش ذره حول این محور، dφ / dt ساخته می‌شود.. در مرحله بعد، اصطلاحات موجود در شتاب در قاب اینرسی با موارد موجود در قاب هم چرخش مرتبط هستند. اجازه دهید مکان ذره در قاب اینرسی ( r ( t )، φ ( t )) و در قاب چرخش همزمان ( r ′(t)، φ ′(t) باشد). از آنجایی که قاب دوار هم‌زمان با همان سرعت ذره می‌چرخد، dφ ′/ dt = 0. نیروی گریز از مرکز خیالی در قاب هم‌گردان mr Ω 2 است که به صورت شعاعی به سمت بیرون است. سرعت ذره در قاب هم چرخان نیز به صورت شعاعی به سمت بیرون است، زیرا dφ ′/ dt = 0.بنابراین نیروی ساختگی کوریولیس دارای مقدار -2 m ( d / dt )Ω است که فقط در جهت افزایش φ است. بنابراین، با استفاده از این نیروها در قانون دوم نیوتن متوجه می شویم:

${\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{cf}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{Cor}}=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}\ ,$

که در آن بیش از نقطه نشان دهنده تمایز زمانی است، و F نیروی واقعی خالص است (در مقابل نیروهای ساختگی). از نظر مولفه ها، این معادله برداری به صورت زیر می شود:

${\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega & =mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{تراز شده}}$

که می توان آن را با معادلات قاب اینرسی مقایسه کرد:

${\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{تراز شده}}$

این مقایسه، به علاوه تشخیص اینکه با تعریف قاب دوار در زمان t دارای نرخ چرخش Ω = dφ / dt است، نشان می‌دهد که می‌توانیم اصطلاحات موجود در شتاب (ضرب در جرم ذره) را تفسیر کنیم. همانطور که در قاب اینرسی به عنوان منفی نیروهای گریز از مرکز و کوریولیس یافت می شود که در قاب هم چرخش آنی و غیر اینرسی دیده می شود.

برای حرکت کلی یک ذره (برخلاف حرکت دایره ای ساده)، نیروهای گریز از مرکز و کوریولیس در چارچوب مرجع ذره معمولاً به دایره نوسانی آنی حرکت آن اشاره می کنند، نه به مرکز ثابت مختصات قطبی. برای جزئیات بیشتر، نیروی مرکزگرا را ببینید .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی