ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نقاطی در سیستم مختصات قطبی با قطب O و محور قطبی L . در سبز، نقطه با مختصات شعاعی 3 و مختصات زاویه ای 60 درجه یا (3،  60 درجه). در رنگ آبی، نقطه (4،  210 درجه).

در ریاضیات ، سیستم مختصات قطبی یک سیستم مختصات دو بعدی است که در آن هر نقطه از یک صفحه با فاصله از یک نقطه مرجع و یک زاویه از یک جهت مرجع تعیین می شود. نقطه مرجع (مشابه منشا یک سیستم مختصات دکارتی ) قطب نامیده می شود و پرتوی از قطب در جهت مرجع، محور قطبی است . فاصله از قطب را مختصات شعاعی ، فاصله شعاعی یا به سادگی شعاع می نامندو زاویه را مختصات زاویه ای ، زاویه قطبی یا آزیموت می نامند . [1] زوایای در نماد قطبی معمولاً در درجه یا رادیان بیان می‌شوند (2 πrad برابر با 360 درجه است).

گرگوار دو سنت وینسنت و بوناونتورا کاوالیری به طور مستقل این مفاهیم را در اواسط قرن هفدهم معرفی کردند، اگرچه اصطلاح واقعی "مختصات قطبی" در قرن 18 به گرگوریو فونتانا نسبت داده شده است. انگیزه اولیه برای معرفی سیستم قطبی مطالعه حرکت دایره ای و مداری بود.

مختصات قطبی در هر زمینه ای که پدیده مورد بررسی ذاتاً به جهت و طول یک نقطه مرکزی در یک صفحه مانند مارپیچ ها مرتبط است، مناسب ترند . سیستم‌های فیزیکی مسطح با اجسام در حال حرکت در اطراف یک نقطه مرکزی، یا پدیده‌هایی که از یک نقطه مرکزی سرچشمه می‌گیرند، اغلب برای مدل‌سازی با استفاده از مختصات قطبی ساده‌تر و شهودی‌تر هستند.

سیستم مختصات قطبی به دو صورت به سه بعد گسترش می یابد: سیستم مختصات استوانه ای و کروی .

فهرست

• 1تاریخ
• 2کنوانسیون ها
  • 2.1منحصر به فرد بودن مختصات قطبی
• 3تبدیل بین مختصات قطبی و دکارتی
  • 3.1اعداد مختلط
• 4معادله قطبی یک منحنی
  • 4.1دایره
  • 4.2خط
  • 4.3گل رز قطبی
  • 4.4مارپیچ ارشمیدسی
  • 4.5مقاطع مخروطی
  • 4.6تقاطع دو منحنی قطبی
• 5حساب دیفرانسیل و انتگرال
  • 5.1حساب دیفرانسیل
  • 5.2حساب انتگرال (طول قوس)
  • 5.3حساب انتگرال (مساحت)
    • 5.3.1تعمیم
  • 5.4حساب برداری
    • 5.4.1اصطلاحات گریز از مرکز و کوریولیس
      • 5.4.1.1قاب هم چرخش
• 6هندسه دیفرانسیل
• 7برنامه های افزودنی به صورت سه بعدی
• 8برنامه های کاربردی
  • 8.1موقعیت و ناوبری
  • 8.2مدل سازی
• 9همچنین ببینید
• 10منابع
  • 10.1مراجع عمومی
• 11لینک های خارجی

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تاریخچه توابع مثلثاتی

هیپارکوس

مفاهیم زاویه و شعاع قبلاً توسط مردمان باستانی هزاره اول قبل از میلاد استفاده می شد. هیپارخوس ، ستاره شناس و اخترشناس یونانی (190–120 قبل از میلاد) جدولی از توابع وتر ایجاد کرد که طول وتر را برای هر زاویه نشان می دهد، و اشاراتی به استفاده از مختصات قطبی در تعیین موقعیت های ستاره ای وجود دارد. [2] در مارپیچ ها ، ارشمیدس مارپیچ ارشمیدسی را توصیف می کند ، تابعی که شعاع آن به زاویه بستگی دارد. با این حال، کار یونانی به یک سیستم مختصات کامل گسترش پیدا نکرد.

از قرن هشتم میلادی به بعد، اخترشناسان روش هایی را برای تقریب و محاسبه جهت مکه ( قبله ) - و فاصله آن - از هر مکان روی زمین توسعه دادند. [3] از قرن 9 به بعد، آنها از مثلثات کروی و روش های پیش بینی نقشه برای تعیین دقیق این مقادیر استفاده کردند. محاسبه اساساً تبدیل مختصات قطبی استوایی مکه (یعنی طول و عرض جغرافیایی آن) به مختصات قطبی آن (یعنی قبله و فاصله آن) نسبت به سیستمی است که نصف النهار مرجع آن دایره بزرگ است .از طریق مکان داده شده و قطب های زمین و محور قطبی آن خط عبور از مکان و نقطه پادپای آن است . [4]

روایت های مختلفی از معرفی مختصات قطبی به عنوان بخشی از یک سیستم مختصات رسمی وجود دارد. تاریخچه کامل این موضوع در کتاب منشاء مختصات قطبی استاد هاروارد جولیان لوول کولیج توضیح داده شده است. [5] گرگوار دو سنت وینسنت و بوناونتورا کاوالیری به طور مستقل این مفاهیم را در اواسط قرن هفدهم معرفی کردند. سنت وینسنت در سال 1625 در مورد آنها به طور خصوصی نوشت و کار خود را در سال 1647 منتشر کرد، در حالی که کاوالیری خود را در سال 1635 با نسخه تصحیح شده منتشر کرد که در سال 1653 ظاهر شد. کاوالیری برای اولین بار از مختصات قطبی برای حل یک مشکل مربوط به منطقه در یک مارپیچ ارشمیدسی استفاده کرد. بلز پاسکال متعاقباً از مختصات قطبی برای محاسبه طول استفاده کردکمان سهموی .

در روش شارها (نوشته 1671، منتشر شده در 1736)، سر اسحاق نیوتن دگرگونی‌های بین مختصات قطبی را که از آن به عنوان «شیوه هفتم؛ برای مارپیچ‌ها» یاد می‌کند و نه سیستم مختصات دیگر بررسی کرد. [6] در مجله Acta Eruditorum (1691)، ژاکوب برنولی از سیستمی با نقطه ای روی یک خط استفاده کرد که به ترتیب قطب و محور قطبی نامیده می شوند. مختصات با فاصله از قطب و زاویه از محور قطبی مشخص شد. کار برنولی به یافتن شعاع انحنای منحنی‌ها که در این مختصات بیان می‌شود گسترش یافت.

اصطلاح مختصات قطبی واقعی به گرگوریو فونتانا نسبت داده شده است و توسط نویسندگان ایتالیایی قرن 18 استفاده می شد. این اصطلاح در انگلیسی در ترجمه جورج طاووس از حساب دیفرانسیل و انتگرال لاکروا در سال 1816 آمده است. [7] [8] الکسیس کلراوت اولین کسی بود که مختصات قطبی را در سه بعد فکر کرد و لئونارد اویلر اولین کسی بود که واقعاً آنها را توسعه داد. [5]

کنوانسیون ها [ ویرایش ]

یک شبکه قطبی با چندین زاویه، در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت افزایش می‌یابد و بر حسب درجه برچسب‌گذاری می‌شود

مختصات شعاعی را اغلب با r یا ρ و مختصات زاویه ای را با φ , θ , یا t نشان می دهند. مختصات زاویه ای به عنوان φ توسط استاندارد ISO 31-11 مشخص شده است. با این حال، در ادبیات ریاضی، زاویه اغلب با θ نشان داده می شود.

زوایای نماد قطبی عموماً در درجه یا رادیان بیان می شوند (2 π rad برابر با 360 درجه است). درجه به طور سنتی در ناوبری ، نقشه برداری و بسیاری از رشته های کاربردی استفاده می شود، در حالی که رادیان ها در ریاضیات و فیزیک ریاضی رایج تر هستند . [9]

زاویه φ برای شروع از 0 درجه از جهت مرجع ، و افزایش برای چرخش در جهت عقربه‌های ساعت (cw) یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت (ccw) تعریف می‌شود. به عنوان مثال، در ریاضیات، جهت مرجع معمولاً به عنوان یک پرتو از قطب به صورت افقی به سمت راست ترسیم می شود، و زاویه قطبی برای چرخش های ccw به زوایای مثبت افزایش می یابد، در حالی که در ناوبری ( بلبرینگ ، عنوان ) هدف 0 درجه ترسیم می شود. به صورت عمودی به سمت بالا و زاویه برای چرخش cw افزایش می یابد. زوایای قطبی به سمت مقادیر منفی برای چرخش در جهت های مخالف کاهش می یابد.

منحصر به فرد بودن مختصات قطبی [ ویرایش ]

افزودن هر تعداد دور کامل (360 درجه) به مختصات زاویه ای، جهت مربوطه را تغییر نمی دهد. به طور مشابه، هر مختصات قطبی با مختصات با جزء شعاعی منفی و جهت مخالف (افزودن 180 درجه به زاویه قطبی) یکسان است. بنابراین، همان نقطه ( r , φ ) را می توان با تعداد نامتناهی از مختصات قطبی مختلف ( r , φ + n × 360°) و ( -r , φ + 180° + n × 360°) = ( -r ) بیان کرد. ، φ + (2 n + 1) × 180 درجه) ، که در آن nیک عدد صحیح دلخواه است. [10] علاوه بر این، خود قطب را می توان به صورت (0,  φ ) برای هر زاویه φ بیان کرد. [11]

در جایی که یک نمایش منحصر به فرد برای هر نقطه ای غیر از قطب مورد نیاز است، معمولاً r را به اعداد مثبت ( r > 0 ) و φ را به بازه [0، 360 درجه) یا بازه (180- درجه، 180 درجه) محدود می کنیم. که در رادیان‌ها [0, 2π) یا (−π, π] هستند. [12] قرارداد دیگر، با اشاره به هم‌دامنه معمول تابع آرکتان ، اجازه دادن مقادیر واقعی غیرصفر دلخواه جزء شعاعی و محدود کردن آن است. زاویه قطبی تا (90- درجه،  90 درجه) در همه موارد باید یک آزیموت منحصر به فرد برای قطب ( r = 0) انتخاب شود، به عنوان مثال، φ = 0.