5-توابع گرین

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 7:51

جدول توابع گرین [ ویرایش ]

جدول زیر یک نمای کلی از توابع گرین در عملگرهای دیفرانسیل که اغلب ظاهر می شوند را نشان می دهد ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ، ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ، ${\textstyle \Theta (t)}$ تابع گام Heaviside است ، ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ تابع بسل است ، ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ یک تابع بسل اصلاح شده از نوع اول است و ${\textstyle K_{\nu }(z)}$ یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است . [2] جایی که زمان ( t ) در ستون اول ظاهر می شود، تابع گرین پیشرفته (علت) فهرست شده است.

عملگر دیفرانسیل L	تابع گرین G	نمونه کاربرد
{t}^{n+1}} $\partial _{t}^{n+1}$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial_t + \گاما$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}$
$\left(\partial_t + \گاما \راست)^2$	$\Theta (t)te^{-\gamma t}$
$\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2$ جایی که $\gamma <\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$	نوسانگر هارمونیک 1 بعدی کم میرایی
$\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2$ جایی که $\gamma >\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}$ با $\omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$	نوسان ساز هارمونیک 1 بعدی بیش از حد میرایی
$\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2$ جایی که $\gamma =\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}t$	نوسانگر هارمونیک میرایی بحرانی 1 بعدی
اپراتور لاپلاس دو بعدی _ $\nabla _{\text{2D}}^{2}=\جزئی _{x}^{2}+\جزئی _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ با $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$	معادله دو بعدی پواسون
اپراتور لاپلاس سه بعدی $\nabla _{\text{3D}}^{2}=\جزئی _{x}^{2}+\جزئی _{y}^{2}+\جزئی _{z}^{2}$	$\frac{-1}{4 \pi r}$ با $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$	معادله پواسون
اپراتور هلمهولتز $\nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}$	${\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$ $h_{0}^{(2)}(kr)$	معادله سه بعدی شرودینگر ثابت برای ذرات آزاد
$\nabla ^{2}-k^{2}$ که در $n$ ابعاد	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	پتانسیل یوکاوا ، مروج فاینمن
$\partial_t^2 - c^2\partial_x^2$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	معادله موج 1 بعدی
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)$	معادله موج دوبعدی
اپراتور دالامبر _ $\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}$	$\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4 \pi r}$	معادله موج سه بعدی
$\partial_t - k\partial_x^2$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}e^{-x^{2}/4kt}$	انتشار 1 بعدی
$\partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)e^{-\rho ^{2}/4kt}$	انتشار دو بعدی
$\partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}e^{-r^{2}/4kt}$	انتشار سه بعدی
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}(\mu u)\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	معادله 1 بعدی کلاین-گوردون
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos(\mu ct)){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	معادله دو بعدی کلاین-گوردون
^{2}} $\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	معادله سه بعدی کلاین-گوردون
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	معادله تلگراف
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \ left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	هدایت حرارتی نسبیتی دوبعدی
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]$ $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	انتقال حرارت نسبیتی سه بعدی

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی