9-تابع دلتا دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 0:53

هسته پواسون

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\ pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi$

جواب اصلی معادله لاپلاس در نیم صفحه بالایی است. [60] این نشان دهنده پتانسیل الکترواستاتیک در یک صفحه نیمه نامتناهی است که پتانسیل آن در امتداد لبه در تابع دلتا ثابت است. هسته پواسون نیز ارتباط نزدیکی با توزیع کوشی و توابع هسته اپانچنیکوف و گاوسی دارد. [61] این نیمه گروه با توجه به معادله تکامل می یابد

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1 }{2}}u(t,x)$

که در آن عملگر به طور دقیق به عنوان ضریب فوریه تعریف می شود

${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f \right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi).$

انتگرال های نوسانی [ ویرایش ]

در حوزه‌های فیزیک مانند انتشار موج و مکانیک موج ، معادلات درگیر هذلولی هستند و بنابراین ممکن است راه‌حل‌های منفرد بیشتری داشته باشند. در نتیجه، توابع دلتای نوپایی که به عنوان راه حل های اساسی مسائل کوشی مرتبط به وجود می آیند ، عموماً انتگرال های نوسانی هستند . یک مثال، که از حل معادله اویلر-تریکومی دینامیک گاز فراصونی بدست می آید ، [62] تابع Airy تغییر مقیاس است.

$\varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).$

اگرچه با استفاده از تبدیل فوریه، به راحتی می توان فهمید که این یک نیمه گروه را به نوعی ایجاد می کند - کاملاً قابل ادغام نیست و بنابراین نمی تواند یک نیمه گروه را به معنای قوی بالا تعریف کند. بسیاری از توابع دلتای نوپا که به عنوان انتگرال های نوسانی ساخته می شوند، فقط در معنای توزیع همگرا می شوند (نمونه ای در زیر هسته دیریکله است )، نه در معنای اندازه گیری.

مثال دیگر مسئله کوشی برای معادله موج در R 1+1 است : [63]

${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\ frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}$

راه حل u نشان دهنده جابجایی از تعادل یک رشته الاستیک نامتناهی با یک اختلال اولیه در مبدا است.

سایر تقریب ها برای هویت از این نوع عبارتند از تابع سینک (به طور گسترده در الکترونیک و مخابرات استفاده می شود)

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac { 1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk$

و تابع بسل

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }} \درست).$

تجزیه موج صفحه [ ویرایش ]

یک رویکرد برای مطالعه یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی

$L[u]=f,$

در جایی که L یک عملگر دیفرانسیل در R n است، ابتدا به دنبال یک راه حل اساسی هستیم که حل معادله است.

$L[u]=\delta.$

هنگامی که L بسیار ساده است، این مشکل اغلب با استفاده از تبدیل فوریه به طور مستقیم قابل حل است (همانطور که در مورد هسته پواسون و هسته حرارتی که قبلاً ذکر شد). برای عملگرهای پیچیده تر، گاهی اوقات ساده تر است که ابتدا معادله ای از فرم را در نظر بگیریم

$L[u]=h$

که در آن h یک تابع موج مسطح است، به این معنی که فرم را دارد

$h=h(x\cdot \xi)$

برای برخی از بردار ξ. چنین معادله ای را می توان (اگر ضرایب L توابع تحلیلی باشند ) با قضیه کوشی-کووالفسکایا یا (اگر ضرایب L ثابت باشند) با تربیع حل کرد. بنابراین، اگر تابع دلتا را بتوان به امواج صفحه تجزیه کرد، در اصل می توان معادلات دیفرانسیل جزئی خطی را حل کرد.

چنین تجزیه تابع دلتا به امواج صفحه بخشی از یک تکنیک کلی بود که ابتدا اساساً توسط یوهان رادون معرفی شد و سپس به این شکل توسط فریتز جان ( 1955 ) توسعه یافت. [64] k را طوری انتخاب کنید که n + k یک عدد صحیح زوج باشد و برای یک عدد واقعی s قرار دهید

$g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right ]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt] -{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{حتی.}}\end{موارد}}$

سپس δ با اعمال توانی از لاپلاسین به انتگرال با توجه به اندازه کره واحد dω از g ( x · ξ ) برای ξ در کره واحد S n -1 به دست می آید :

$\delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

لاپلاسین در اینجا به عنوان یک مشتق ضعیف تفسیر می شود، به طوری که این معادله به این معنا در نظر گرفته می شود که، برای هر تابع آزمایشی φ ،

$\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\ int _{S^{n-1}}g((xy)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

نتیجه از فرمول پتانسیل نیوتنی (حل اساسی معادله پواسون) به دست می آید. این اساساً شکلی از فرمول وارونگی تبدیل رادون است زیرا مقدار φ ( x ) را از انتگرال های آن بر روی ابرصفحه ها بازیابی می کند. به عنوان مثال، اگر n فرد باشد و k = 1 باشد، آنگاه انتگرال در سمت راست است

${\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)| (yx)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]={}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\ int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \ xi )\,dp\end{تراز شده}}$

که در آن Rφ ( ξ , p ) تبدیل رادون ف است :

$R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$

یک بیان معادل جایگزین تجزیه موج صفحه، از Gelfand & Shilov (1966-1968 , I, §3.10) است.

$\delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \ xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }$

برای n زوج، و

$\delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)} (x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }$

برای n فرد.

هسته های فوریه [ ویرایش ]

همچنین ببینید: همگرایی سری فوریه

در مطالعه سری فوریه ، یک سوال اصلی شامل تعیین اینکه آیا و به چه معنا سری فوریه مرتبط با یک تابع تناوبی به تابع همگرا می شود یا خیر. n امین مجموع جزئی سری فوریه تابع f دوره 2 π با کانولوشن (در بازه [−π,π] ) با هسته دیریکله تعریف می‌شود :

$D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{ 2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

بدین ترتیب،

$s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\جمع _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$

جایی که

$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$

یک نتیجه اساسی از سری فوریه ابتدایی بیان می کند که هسته دیریکله به مضرب تابع دلتا به صورت N → ∞ تمایل دارد . این به معنای توزیع تفسیر می شود که

$s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

برای هر تابع صاف با پشتیبانی فشرده f . بنابراین، به طور رسمی یکی دارد

$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}$

در بازه [−π,π] .

با وجود این، نتیجه برای همه توابع پیوسته با پشتیبانی فشرده برقرار نمی‌شود: یعنی DN به معنای اندازه‌گیری ضعیف همگرا نمی‌شود. عدم همگرایی سری فوریه منجر به معرفی انواع روش های جمع پذیری برای تولید همگرایی شده است. روش جمع سزارو به هسته Fejér منتهی می شود [65]

$F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}} \left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$

هسته های Fejér به معنای قوی تر به تابع دلتا تمایل دارند که [66]

$\int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

برای هر تابع پیوسته فشرده پشتیبانی شده f . مفهوم این است که سری فوریه هر تابع پیوسته، سزارو قابل جمع کردن به مقدار تابع در هر نقطه است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی