تغییر سیستم مختصات

اگر یک ماده الاستیک خطی از یک پیکربندی مرجع به پیکربندی دیگر بچرخد، آنگاه ماده نسبت به چرخش متقارن است اگر اجزای تانسور سختی در پیکربندی چرخانده شده با اجزای پیکربندی مرجع با رابطه مرتبط باشند [12]

{\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}

که در آن l ab اجزای یک ماتریس چرخش متعامد [ L ] است. همین رابطه برای وارونگی نیز صادق است.

در نمادگذاری ماتریسی، اگر مبنای تبدیل شده (چرخش یا معکوس) با مبنای مرجع مرتبط باشد

{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}

سپس

{\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}

علاوه بر این، اگر ماده با توجه به تبدیل [ L ] متقارن باشد، پس

{\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{ j})=0\,.}

مواد ارتوتروپیک

مقاله اصلی: مواد ارتوتروپیک

مواد متعامد دارای سه صفحه متعامد از تقارن هستند . اگر بردارهای پایه ( e 1 , e 2 , e 3 ) نرمال صفحات تقارن باشند آنگاه روابط تبدیل مختصات دلالت می کند که

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\ سیگما _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\ begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0 \\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\/begin{ep {1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}

معکوس این رابطه معمولاً به صورت [13] [ صفحه مورد نیاز ] نوشته می شود.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\ \2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx} }{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}} &{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{ E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1} {G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy }\end{bmatrix}}}

جایی که

E i مدول یانگ در امتداد محور i است

G ij مدول برشی در جهت j در صفحه ای است که نرمال آن در جهت i است

ν ij نسبت پواسون است که با یک انقباض در جهت j مطابقت دارد زمانی که یک پسوند در جهت i اعمال می شود .

در شرایط تنش صفحه ، σ zz = σ zx = σ yz = 0 ، قانون هوک برای یک ماده اورتوتروپ شکل می گیرد.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{ \frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{ x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _ {xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}

رابطه معکوس است

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1 -\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_ {y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{ yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}

شکل جابجایی ماتریس سختی فوق نیز اغلب استفاده می شود.

مواد همسانگرد عرضی

یک ماده همسانگرد عرضی با توجه به چرخش حول یک محور تقارن متقارن است . برای چنین ماده ای، اگر e 3 محور تقارن باشد، قانون هوک را می توان به صورت بیان کرد.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\ سیگما _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\ begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0 \\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5} \\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}

بیشتر اوقات، محور x ≡ e 1 به عنوان محور تقارن در نظر گرفته می شود و قانون هوک معکوس به صورت [14] نوشته می شود.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\ \2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx} }{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}} &{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{ E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1} {G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy }\end{bmatrix}}}

شاخص ناهمسانگردی الاستیک جهانی

برای درک درجه ناهمسانگردی هر کلاس، یک شاخص ناهمسانگردی الاستیک جهانی (AU) [15] فرموله شد. این نسبت زنر را جایگزین می کند که برای کریستال های مکعبی مناسب است .

پایه ترمودینامیکی

تغییر شکل های خطی مواد الاستیک را می توان به صورت آدیاباتیک تقریب زد . تحت این شرایط و برای فرآیندهای شبه استاتیکی، قانون اول ترمودینامیک برای یک جسم تغییر شکل یافته را می توان به صورت بیان کرد.

{\displaystyle \delta W=\delta U}

که در آن δU افزایش انرژی داخلی و δW کار انجام شده توسط نیروهای خارجی است . کار را می توان به دو بخش تقسیم کرد

{\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }}

که در آن δW s کار انجام شده توسط نیروهای سطحی است در حالی که δW b کاری است که توسط نیروهای بدن انجام می شود . اگر δ u تغییری از میدان جابجایی u در بدن باشد، آنگاه دو عبارت کاری خارجی را می توان به صورت بیان کرد.

{\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\ mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}

که در آن t بردار کشش سطحی ، b بردار نیروی بدنه، Ω نمایانگر بدنه و ∂ Ω نمایانگر سطح آن است. با استفاده از رابطه بین تنش کوشی و کشش سطحی، t = n · σ (که در آن n واحد نرمال خارج به ∂ Ω است)، داریم.

{\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\ int _{\ Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}

تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی از طریق قضیه واگرایی می دهد

{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.}

استفاده از تقارن تنش کوشی و هویت

{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a})\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2} }\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\ درست)}

ما موارد زیر را داریم

{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +( \nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \راست)\,dV\,.}

از تعریف کرنش و از معادلات تعادل داریم

{\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u})^{ \mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}

از این رو می توانیم بنویسیم

{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV}

و بنابراین تغییر در چگالی انرژی داخلی توسط

{\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}

ماده الاستیک به ماده ای گفته می شود که در آن کل انرژی داخلی برابر با انرژی پتانسیل نیروهای داخلی باشد (که انرژی کرنش الاستیک نیز نامیده می شود ). بنابراین، چگالی انرژی داخلی تابعی از کرنش ها است، U 0 = U 0 ( ε ) و تغییر انرژی داخلی را می توان به صورت بیان کرد.

{\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}

از آنجایی که تغییر کرنش دلخواه است، رابطه تنش-کرنش یک ماده الاستیک با

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.}

برای یک ماده الاستیک خطی، مقدار∂ U 0/∂ εتابعی خطی از ε است و بنابراین می توان آن را به صورت بیان کرد

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}

که در آن c یک تانسور درجه چهارم از ثابت های مادی است که تانسور سختی نیز نامیده می شود . با توجه به اینکه برای یک ماده الاستیک خطی، می‌توانیم ببینیم که چرا c باید یک تانسور درجه چهارم باشد،

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}= {\mathsf {c}}\,.}

در نشانه گذاری شاخص

{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}

ثابت سمت راست به چهار شاخص نیاز دارد و یک کمیت رتبه چهارم است. همچنین می توانیم ببینیم که این کمیت باید یک تانسور باشد زیرا یک تبدیل خطی است که تانسور کرنش را به تانسور تنش می برد. همچنین می توانیم نشان دهیم که ثابت از قوانین تبدیل تانسور برای تانسورهای رتبه چهارم پیروی می کند.

همچنین ببینید

بخشی از یک سریال در
مکانیک پیوسته
{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

قوانین انتشار فیک

نشان دادن

قوانین

نشان دادن

مکانیک جامدات

نشان دادن

مکانیک سیالات

نشان دادن

رئولوژی

نشان دادن

دانشمندان

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law