ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

قانون هوک: نیرو متناسب با امتداد است

لوله های بوردون بر اساس قانون هوک هستند. نیروی ایجاد شده توسط فشار گاز در داخل لوله فلزی سیم پیچ شده در بالا، آن را به اندازه ای متناسب با فشار باز می کند.

چرخ تعادل در هسته بسیاری از ساعت ها و ساعت های مکانیکی به قانون هوک بستگی دارد. از آنجایی که گشتاور تولید شده توسط فنر مارپیچ متناسب با زاویه چرخش چرخ است، نوسانات آن یک دوره تقریباً ثابت دارند.

بخشی از یک سریال در
مکانیک پیوسته
قوانین انتشار فیک
نشان دادن قوانین
پنهان شدن مکانیک جامدات تغییر شکل قابلیت ارتجاعی  خطی پلاستیک قانون هوک فشار کرنش محدود کرنش بینهایت کوچک سازگاری خم شدن با مکانیک تماس بگیرید  اصطکاکی تئوری شکست مواد مکانیک شکست
نشان دادن مکانیک سیالات
نشان دادن رئولوژی
نشان دادن دانشمندان
v تی ه

قانون هوک یک قانون فیزیک است که بیان می کند که نیروی ( F ) مورد نیاز برای گسترش یا فشرده کردن یک فنر با فاصله ( x ) به صورت خطی با توجه به آن فاصله - یعنی Fs = kx ، که در آن k یک عامل ثابت است. مشخصه فنر (یعنی سختی آن ) و x در مقایسه با کل تغییر شکل ممکن فنر کوچک است. این قانون به افتخار رابرت هوک فیزیکدان بریتانیایی قرن هفدهم نامگذاری شده است . او اولین بار این قانون را در سال 1676 به عنوان یک آناگرام لاتین بیان کرد. [1][2] او راه حل آنگرام خود را در سال 1678 منتشر کرد [3] به عنوان: ut tensio, sic vis ("به عنوان گسترش، بنابراین نیرو" یا "گسترش متناسب با نیرو است"). هوک در اثر 1678 بیان می کند که از سال 1660 از قانون آگاه بوده است.

معادله هوک (تا حدی) در بسیاری از موقعیت‌های دیگر که بدن الاستیک تغییر شکل می‌دهد، مانند وزش باد بر روی یک ساختمان بلند، و یک نوازنده در حال کندن یک سیم گیتار، صادق است. جسم یا ماده ای الاستیک که می توان برای آن این معادله را فرض کرد خطی-الاستیک یا هوکی است.

قانون هوک فقط یک تقریب خطی مرتبه اول برای پاسخ واقعی فنرها و سایر اجسام الاستیک به نیروهای وارده است. در نهایت باید زمانی که نیروها از حدی فراتر رفتند، از بین برود، زیرا هیچ ماده ای را نمی توان فراتر از یک حداقل اندازه معین فشرده کرد، یا بیش از اندازه حداکثر کشید، بدون تغییر شکل دائمی یا تغییر حالت. بسیاری از مواد قبل از رسیدن به محدودیت های الاستیک به طور محسوسی از قانون هوک منحرف می شوند .

از سوی دیگر، قانون هوک یک تقریب دقیق برای اکثر اجسام جامد است، تا زمانی که نیروها و تغییر شکل ها به اندازه کافی کوچک باشند. به همین دلیل، قانون هوک به طور گسترده در همه شاخه های علوم و مهندسی استفاده می شود و پایه و اساس بسیاری از رشته ها مانند زلزله شناسی ، مکانیک مولکولی و آکوستیک است. همچنین این اصل اساسی در پشت مقیاس فنری ، مانومتر ، گالوانومتر و چرخ تعادل ساعت مکانیکی است .

نظریه جدید الاستیسیته قانون هوک را تعمیم می دهد و می گوید که کرنش (تغییر شکل) یک جسم یا ماده الاستیک با تنش اعمال شده به آن متناسب است. با این حال، از آنجایی که تنش‌ها و کرنش‌های عمومی ممکن است چندین مؤلفه مستقل داشته باشند، «ضریب تناسب» ممکن است دیگر فقط یک عدد واقعی نباشد، بلکه یک نقشه خطی (یک تانسور ) است که می‌تواند با ماتریسی از اعداد واقعی نشان داده شود.

در این شکل کلی، قانون هوک امکان استنباط رابطه بین کرنش و تنش را برای اجسام پیچیده از نظر خواص ذاتی موادی که از آنها ساخته شده است را فراهم می کند. به عنوان مثال، می توان استنباط کرد که یک میله همگن با سطح مقطع یکنواخت مانند یک فنر ساده عمل می کند، با سختی k که مستقیماً با سطح مقطع آن و با طول آن نسبت معکوس دارد.

فهرست

• 1تعریف رسمی
  • 1.1برای فنرهای خطی
  • 1.2فنرهای عمومی "اسکالار".
  • 1.3فرمول وکتور
  • 1.4فرم تانسور عمومی
  • 1.5قانون هوک برای رسانه های پیوسته
• 2قوانین مشابه
• 3واحد های اندازه گیری
• 4کاربرد کلی برای مواد الاستیک
• 5فرمول های مشتق شده
  • 5.1تنش کششی یک میله یکنواخت
  • 5.2انرژی بهاری
  • 5.3ثابت‌های نیروی آرام (ثابت‌های انطباق عمومی)
  • 5.4نوسان ساز هارمونیک
  • 5.5چرخش در فضای بدون جاذبه
• 6نظریه کشش خطی برای محیط پیوسته
  • 6.1مواد ایزوتروپیک
    • 6.1.1استرس هواپیما
    • 6.1.2کرنش هواپیما
  • 6.2مواد ناهمسانگرد
    • 6.2.1نمایش ماتریس (تانسور سفتی)
    • 6.2.2تغییر سیستم مختصات
    • 6.2.3مواد ارتوتروپیک
    • 6.2.4مواد همسانگرد عرضی
    • 6.2.5شاخص ناهمسانگردی الاستیک جهانی
• 7پایه ترمودینامیکی
• 8همچنین ببینید
• 9یادداشت
• 10منابع
• 11لینک های خارجی

تعریف رسمی

برای فنرهای خطی

یک فنر مارپیچ ساده را در نظر بگیرید که یک سر آن به جسم ثابتی متصل است، در حالی که انتهای آزاد آن توسط نیرویی که قدر آن F s است کشیده می شود . فرض کنید فنر به حالت تعادل رسیده است که طول آن دیگر تغییر نمی کند. اجازه دهید x مقداری باشد که انتهای آزاد فنر از موقعیت "آرام" خود (زمانی که کشیده نمی شود) جابجا شده است. قانون هوک این را بیان می کند

یا به طور معادل

که در آن k یک عدد حقیقی مثبت مشخصه فنر است. علاوه بر این، هنگامی که فنر فشرده می شود، همان فرمول برقرار است، در آن حالت Fs و x هر دو منفی است. طبق این فرمول، نمودار نیروی اعمالی F s به عنوان تابعی از جابجایی x ، خط مستقیمی خواهد بود که از مبدا می گذرد که شیب آن k است .

قانون هوک برای فنر گاهی اوقات، اما به ندرت، تحت کنوانسیون بیان می شود که Fs نیروی بازگرداننده ای است که توسط فنر بر هر چیزی که انتهای آزاد آن را می کشد، اعمال می کند. در آن صورت معادله تبدیل می شود

زیرا جهت نیروی بازگردان مخالف جهت جابجایی است.

فنرهای عمومی "اسکالار".

قانون فنر هوک معمولاً برای هر جسم الاستیکی با پیچیدگی دلخواه اعمال می شود، تا زمانی که هم تغییر شکل و هم تنش را بتوان با یک عدد واحد بیان کرد که می تواند هم مثبت و هم منفی باشد.

به عنوان مثال، هنگامی که یک بلوک از لاستیک متصل به دو صفحه موازی به جای کشش یا فشار، با برش تغییر شکل می‌دهد، نیروی برشی Fs و جابجایی جانبی صفحات x از قانون هوک پیروی می‌کنند (برای تغییر شکل‌های به اندازه کافی کوچک).

قانون هوک همچنین زمانی اعمال می‌شود که یک میله فولادی مستقیم یا تیر بتنی (مانند آنچه در ساختمان‌ها استفاده می‌شود)، که در هر دو انتها پشتیبانی می‌شود، توسط یک وزنه F که در نقطه‌ای میانی قرار می‌گیرد، خم می‌شود. جابجایی x در این مورد انحراف تیر است که در جهت عرضی نسبت به شکل بدون بار آن اندازه گیری می شود.

این قانون همچنین زمانی اعمال می شود که یک سیم فولادی کشیده با کشیدن اهرمی که به یک سر آن وصل شده است، پیچ خورده باشد. در این حالت تنش F s را می توان به عنوان نیروی وارد شده به اهرم و x را به عنوان مسافت طی شده توسط آن در طول مسیر دایره ای آن در نظر گرفت. یا به طور معادل، می توان F s را گشتاور اعمال شده توسط اهرم به انتهای سیم، و x زاویه چرخش آن انتهای سیم را فرض کرد. در هر صورت F s متناسب با x است (اگرچه ثابت k در هر مورد متفاوت است.)