ریاضیات

قانون گاوس بیان می کند که مقدار کل شار الکتریکی که از هر سطح بسته می گذرد با بار الکتریکی محصور نسبت مستقیم دارد . کاربردهای قانون گاوس  عمدتاً در یافتن میدان الکتریکی ناشی از یک سیم مستقیم بی نهایت، ورق صفحه بی نهایت، پوسته کروی نازک باردار و سایر تقارن های مشابه است. قانون گاوس، همچنین به عنوان قضیه شار گاوس یا قضیه گاوس شناخته می شود، می تواند به عنوان قانونی که رابطه بین توزیع بار الکتریکی با میدان الکتریکی حاصل را توضیح می دهد، نامیده می شود . میدان الکتریکی سطح با استفاده از  قانون کولن محاسبه می شود ، اما برای محاسبه توزیع میدان الکتریکی در یک سطح بسته، قانون گاوس مورد نیاز است. بار الکتریکی محصور در بسته یا بار الکتریکی موجود در سطح بسته  را توضیح می دهد. 

نکات کلیدی: قانون گاوس، قضیه گاوس، بار الکتریکی، میدان الکتریکی، شار

قانون گاوس چیست؟

قانون گاوس به کل شار موجود در یک سطح بسته اشاره دارد که معکوس ε 0 برابر بار الکتریکی کل محصور شده توسط سطح بسته است.

به عنوان مثال، یک بار نقطه ای q در داخل یک مکعب از لبه "a" قرار می گیرد. اکنون طبق قانون گاوس، شار در هر وجه مکعب  q\بیشاز6πϵ0q\بیشاز6πϵ0 است.

قانون گاوس

فرمول قانون گاوس

طبق قضیه گاوس، بار کل محصور در یک سطح بسته با کل شار محصور شده توسط سطح متناسب است. بنابراین، اگر Φ شار کل و ε0 ثابت  الکتریکی باشد، بار الکتریکی کل Q محصور شده توسط سطح برابر است.

Q =  Φ ε 0

فرمول قانون گاوس به صورت زیر بیان می شود .

Φ = Q/ε 0

جایی که،

Q = بار کل در سطح داده شده،

ε 0 = ثابت الکتریکی.

قضیه گاوس

قضیه گاوس بیان می کند که شار خالص از یک سطح بسته به طور مستقیم با بار خالص در حجم محصور شده توسط سطح بسته متناسب است.

به عبارت ساده‌تر، قضیه گاوس «جریان» خطوط میدان الکتریکی (شار) را به بارهای درون سطح محصور مرتبط می‌کند. اگر هیچ باری به سطح محصور نباشد، شار الکتریکی خالص صفر باقی می ماند.

این بدان معنی است که تعداد خطوط میدان الکتریکی وارد شده به سطح برابر است با خطوط میدانی که از سطح خارج می شوند.

نتیجه مهم ارائه شده توسط بیانیه قضیه گاوس

شار الکتریکی از هر سطح محصور به دلیل منابع (بارهای مثبت) و فرورفتگی (بارهای منفی) میدان های الکتریکی محصور شده توسط سطح است. هر بار خارج از سطح به جریان الکتریسیته کمک نمی کند. همچنین فقط بارهای الکتریکی می توانند به عنوان منبع یا مخزن میدان های الکتریکی عمل کنند. برای مثال، تغییر میدان های مغناطیسی نمی تواند به عنوان منبع یا مخزن میدان های الکتریکی عمل کند.

قانون گاوس در مغناطیس

شار خالص برای سطح سمت چپ غیر صفر است زیرا یک بار خالص را در بر می گیرد. شار خالص برای سطح سمت راست صفر است زیرا هیچ باری را در بر نمی گیرد.

نکته: قانون گاوس تنها بیان مجدد قانون کولن است. اگر قضیه گاوس را روی بار نقطه ای محصور در یک کره اعمال کنید، قانون کولن را به راحتی دریافت خواهید کرد.

کاربردهای قانون گاوس

قانون گاوس را می توان برای حل مسائل پیچیده الکترواستاتیکی که شامل تقارن های منحصر به فرد مانند تقارن استوانه ای، کروی یا مسطح است، استفاده کرد. همچنین در محاسبه میدان الکتریکی که بسیار پیچیده است و شامل یکپارچگی سخت است کمک می کند . از قانون گاوس می توان برای ساده کردن ارزیابی میدان الکتریکی به روشی ساده استفاده کرد.

کاربردهای اصلی قانون گاوس به شرح زیر است:

• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک سیم مستقیم بی نهایت با بار یکنواخت.
• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک صفحه صفحه بی نهایت با بار یکنواخت.
• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک پوسته کروی نازک با بار یکنواخت.

میدان الکتریکی به دلیل سیم بی نهایت

سیم بی نهایت طولانی با چگالی بار خطی λ و طول L را در نظر بگیرید. برای محاسبه میدان الکتریکی، فرض می کنیم که سطح استوانه ای گاوسی ناشی از تقارن سیم است. از آنجایی که میدان الکتریکی E در جهت شعاعی است، جریان از انتهای سطح استوانه ای صفر خواهد بود، زیرا میدان الکتریکی و بردار ناحیه بر یکدیگر عمود هستند . تنها جریان الکتریکی جریان از طریق سطح گاوسی منحنی خواهد بود. از آنجایی که میدان الکتریکی بر هر نقطه از سطح منحنی عمود است، اندازه آن ثابت خواهد بود.

یک سطح گاوسی استوانه ای به شعاع r و طول l

سطح سطح استوانه ای منحنی شکل 2πrl خواهد بود. شار الکتریکی از طریق منحنی خواهد بود

E × 2πrl

و

طبق قانون گاوس

از نظر برداری، رابطه فوق است

بردار واحد شعاعی که جهت میدان الکتریکی را نشان می دهد که هست

جهت میدان الکتریکی در صورت چگالی بار خطی مثبت به صورت شعاعی به سمت بیرون است

نکته 1:  جهت میدان الکتریکی در صورت مثبت بودن چگالی بار خطی به سمت خارج و در صورت منفی بودن چگالی بار خطی، جهت میدان الکتریکی به سمت داخل خواهد بود.

نکته 2: ما فقط بار محصور شده در داخل سطح گاوسی را در نظر گرفتیم

نکته 3: فرض بی نهایت طولانی بودن سیم مهم است زیرا بدون این فرض میدان الکتریکی بر سطح گاوسی منحنی شکل استوانه ای عمود نخواهد بود و با سطح در زاویه ای قرار می گیرد.

میدان الکتریکی به دلیل ورق صفحه بی نهایت

یک صفحه صفحه بی نهایت، با چگالی بار سطحی σ و سطح مقطع A را تصور کنید . موقعیت صفحه صفحه بی نهایت در شکل زیر آمده است:

میدان الکتریکی به دلیل ورق صفحه بی نهایت

برگه شارژ بی نهایت

جهت میدان الکتریکی ناشی از ورق بار بی نهایت عمود بر صفحه ورق خواهد بود. بیایید یک سطح گاوسی استوانه ای را در نظر بگیریم که محور آن نسبت به صفحه ورق نرمال است. میدان الکتریکی را می توان از قانون گاوس به عنوان ارزیابی کرد

طبق قانون گاوس:

از بار توزیع بار پیوسته q خواهد بود σ A. در مورد شار الکتریکی خالص، ما شار الکتریکی را فقط از دو سر سطح گاوسی فرضی در نظر خواهیم گرفت. این به این دلیل است که سطح منحنی و میدان الکتریکی با یکدیگر عمودهستند و در نتیجه شار الکتریکی صفر تولید می‌کنند. بنابراین شار الکتریکی خالص خواهد بود

Φ = EA – (– EA)

Φ = 2EA

سپس می توانیم بنویسیم

عبارت A  حذف می شود و این  معنای میدان الکتریکی ناشی از صفحه صفحه بی نهایت مستقل از سطح مقطع A و برابر است با

به صورت برداری معادله فوق را می توان به صورت

جایی که بردار واحدی است که جهت میدان الکتریکی را عمود بر و دور از صفحه نامتناهی نشان می‌دهد.

نکته 1: جهت میدان الکتریکی در صورت مثبت بودن چگالی بار سطحی از ورق بینهایت و در صورت منفی بودن چگالی بار سطحی به سمت ورق بینهایت است.

نکته 2: میدان الکتریکی ناشی از بی نهایت ورق مستقل از موقعیت آن است.

میدان الکتریکی به دلیل پوسته کروی نازک

پوسته کروی نازک چگالی بار سطحی و شعاع "R" را در نظر بگیرید. با مشاهده، آشکار است که پوسته دارای تقارن کروی است. میدان الکتریکی ناشی از پوسته کروی را می توان در دو موقعیت مختلف ارزیابی کرد:

• میدان الکتریکی خارج از پوسته کروی

• میدان الکتریکی در داخل پوسته کروی

میدان الکتریکی خارج از پوسته کروی

نمودار یک پوسته کروی با نقطه P بیرون

برای یافتن میدان الکتریکی خارج از پوسته کروی، نقطه P را در خارج از پوسته در فاصله r از مرکز پوسته کروی می گیریم. با تقارن، یک سطح کروی گاوسی با شعاع r و مرکز O را می گیریم. سطح گاوسی از P عبور می کند و میدان الکتریکی ثابتی را در اطراف تجربه می کند زیرا همه نقاط به طور مساوی "r" از مرکز کره فاصله دارند. سپس،

طبق قانون گاوس،

بار محصور شده در داخل سطح گاوسی q σ × 4 πR^ 2 خواهد بود. کل شار الکتریکی از طریق سطح گاوسی خواهد بود

Φ = E × 4 πr ^2

سپس با قانون گاوس، می توانیم بنویسیم

با قرار دادن مقدار چگالی بار سطحی σ به عنوان q/4 πR 2 ، می توانیم میدان الکتریکی را به صورت بازنویسی کنیم.

در شکل برداری، میدان الکتریکی است

جایی که یک بردار شعاع است که جهت میدان الکتریکی را نشان می دهد.

نکته: اگر چگالی بار سطحی σ منفی باشد، جهت میدان الکتریکی به صورت شعاعی به سمت داخل خواهد بود.

میدان الکتریکی در داخل پوسته کروی

نمودار پوسته کروی با نقطه P در داخل

بیایید یک نقطه P در داخل پوسته کروی برای ارزیابی میدان الکتریکی داخل پوسته کروی در نظر بگیریم. با تقارن، دوباره سطح گوسی کروی را که از P می گذرد، با مرکز O و شعاع r می گیریم. حالا طبق قانون گاوس

شار الکتریکی خالص E × 4 π r 2 خواهد بود. اما بار محصور شده q صفر خواهد بود، زیرا می دانیم که چگالی بار سطحی در خارج از سطح پراکنده است، بنابراین هیچ باری در داخل پوسته کروی وجود ندارد. سپس با قانون گاوس 

توجه: به دلیل عدم وجود بار محصور، در داخل پوسته کروی میدان الکتریکی وجود ندارد

نکاتی که باید به خاطر بسپارید 

کاربرد اصلی قانون گاوس این است که:

• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک سیم مستقیم یکنواخت بی نهایت بار.
• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک صفحه صفحه بی نهایت با بار یکنواخت.
• برای شناخت میدان الکتریکی ناشی از یک پوسته کروی نازک با بار یکنواخت.
• قانون گاوس بار الکتریکی محصور در بسته یا بار الکتریکی موجود در سطح بسته محصور را توضیح می دهد.
• کل شار متصل به یک سطح بسته معکوسε 0 برابر بار محصور شده توسط سطح بسته است که به عنوان قانون گاوس شناخته می شود.

• فرمول قانون گاوس به صورت زیر بیان می شود . Φ = Q/ε 0.  جایی که، Q = بار کل در سطح داده شده، ε 0 = ثابت الکتریکی.

• قانون گاوس را می توان برای حل مسائل پیچیده الکترواستاتیکی که شامل تقارن های منحصر به فرد مانند تقارن استوانه ای، کروی یا مسطح است، استفاده کرد.

منبع

https://collegedunia.com/exams/applications-of-gausss-law-overview-formula-and-derivations-physics-articleid-10