ریاضیات

در آموزش های قبلی، اصول شارژ الکتریکی و قانون کولن را دیدیم . در این آموزش به بررسی مفاهیم الکترواستاتیک با درک Electric Field خواهیم پرداخت.

ما سعی خواهیم کرد تصویری از میدان الکتریکی، خطوط میدان الکتریکی و خواص آن، میدان الکتریکی ناشی از توزیع بارهای مختلف (بار نقطه ای، دوقطبی، خط بار و غیره) بدست آوریم.

طرح کلی

• معرفی
• میدان الکتریکی چیست؟
• اندازه گیری E با استفاده از شارژ آزمایشی
• واحدهای E
• میدان الکتریکی به دلیل توزیع های مختلف شارژ
  • شارژ نقطه ای
  • دوقطبی الکتریکی
  • خط شارژ
  • دیسک شارژ شده

معرفی

اگر مباحث قبلی در مورد بار الکتریکی و قانون کولن را به خاطر بیاورید، می‌توان گفت که قانون کولن نیروی الکتریکی بین دو بار الکتریکی را تعریف می‌کند، یعنی زمانی که جسمی با بار q1 در نزدیکی جسم دیگری با بار q2 قرار می‌گیرد، آنگاه q1 نیرویی را تجربه می‌کند که را می توان با استفاده از قانون کولن تعیین کرد.

ممکن است یک سوال جالب مطرح شود که چگونه بار الکتریکی q1 وجود بار q2 را وقتی با فاصله ای از هم جدا شده و به یکدیگر برخورد نمی کنند، "می داند"؟ چگونه q2 می تواند با اعمال نیرو، q1 را هل دهد (یا بکشد؟)

پاسخ همه این سوالات میدان الکتریکی است. مشابه گرانش، میدان الکتریکی به سادگی وجود باری است که «منطقه تأثیر آن» را نشان می‌دهد.

میدان الکتریکی چیست؟

یک بار نقطه ای q1 را در نظر بگیرید. اگر بار دیگری q2 به q1 نزدیک شود، آنگاه q2 نیرویی را تجربه می کند (این را از قانون کولن می دانیم). اگر q2 به اطراف q1 منتقل شود چه؟ همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است، حتی در آن زمان نیز q2 نیرو را تجربه می کند.

این بدان معناست که ناحیه ای در اطراف بار q1 وجود دارد که در آن نیرویی بر هر بار دیگر اعمال می کند (مانند q2 در این مورد). ناحیه ای که یک بار بر هر بار دیگری در آن ناحیه نیرو وارد می کند، میدان الکتریکی آن بار نامیده می شود.

بر اساس قانون کولمب، نیرویی که بار q2 در اثر بار q1 تجربه می کند، در زیر آورده شده است:

اگر معادله فوق را به صورت نیرو بر واحد بار بنویسیم، معادله زیر به دست می آید:

این میدان الکتریکی (یا شدت میدان الکتریکی) است و برابر با نیرویی است که در واحد بار وارد می‌شود. این یک کمیت برداری است که با نشان داده می شود. جهت این بردار خطی است که q1 و q2 را به هم وصل می کند.

میدان الکتریکی اطراف یک جسم باردار با استفاده از خطوط فرضی نیرو به نام خطوط میدان الکتریکی نمایش داده می شود. برای بار مثبت، این خطوط به صورت شعاعی به سمت بیرون از بار خارج می شوند. در مقابل، برای بار منفی، خطوط به سمت داخل و به سمت بار هدایت می شوند.

اندازه گیری E با استفاده از شارژ آزمایشی

بار نقطه‌ای را در نظر بگیرید که میدان الکتریکی آن E است. حال، اگر یک بار q (که بار آزمایشی نیز نامیده می‌شود) را در فاصله r از بار نقطه‌ای قرار دهیم، مطابق معادله زیر نیروی الکتریکی را تجربه می‌کند.

با استفاده از قانون کولن، می‌توان نیروی وارد شده توسط بار نقطه‌ای Q بر بار آزمایشی q را به صورت زیر محاسبه کرد:

با استفاده از معادله بالا در معادله قبلی به دست می آوریم:

علاوه بر این، می توانیم E را با استفاده از معادله فوق به صورت زیر محاسبه کنیم:

واحدهای E

طبق بحث بالا، میدان الکتریکی به عنوان نیروی الکتریکی در واحد بار تعریف می شود. از این رو،

E = نیرو / واحد بار = نیوتن / کولن = N / C

بنابراین، واحدهای E N / C هستند. همچنین می توان آن را در ولت بر متر (V / m) اندازه گیری کرد.

میدان الکتریکی به دلیل توزیع های مختلف شارژ

حال، بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم میدان الکتریکی را با توجه به انواع مختلف توزیع بار تعیین کنیم. برای این آموزش، ما چهار نوع توزیع شارژ را بررسی می کنیم: شارژ نقطه ای، دوقطبی الکتریکی، خط شارژ و دیسک شارژ شده.

شارژ نقطه ای

این بسیار ساده است و ما قبلا معادله شارژ نقطه ای را دیده ایم. اما اجازه دهید میدان الکتریکی ناشی از بار نقطه ای را پیدا کنیم. شارژ نقطه ای q را فرض کنید. اجازه دهید یک بار دیگر q o (یک بار آزمایشی) را در فاصله r از بار نقطه ای قرار دهیم.

از قانون کولمب، نیروی الکتریکی وارد بر بار آزمایشی با معادله زیر به دست می‌آید:

اگر بار نقطه ای q مثبت باشد، جهت F از بار دور است و اگر q منفی باشد، جهت F به سمت بار نقطه ای است. با در نظر گرفتن این موضوع، اکنون می توانیم E را به صورت زیر محاسبه کنیم:

دوقطبی الکتریکی

تصویر زیر مجموعه ای از دو بار را نشان می دهد که از نظر قدر مساوی و از نظر علامت مخالف هستند. این پیکربندی اغلب به عنوان دوقطبی الکتریکی نامیده می شود.

اکنون اجازه دهید E ناشی از دوقطبی الکتریکی را پیدا کنیم. تصویر زیر دو ذره باردار با قدر q اما با علامت مخالف را نشان می دهد. آنها با فاصله d از هم جدا می شوند. محوری که از ذرات باردار عبور می کند، محور دوقطبی نامیده می شود و E را در نقطه P که در فاصله z از نقطه وسط محور دوقطبی قرار دارد، خواهیم یافت.

با استفاده از اصل برهم نهی برای میدان های الکتریکی، قدر E در P با معادله زیر به دست می آید:

با استفاده از کمی جبر در معادله بالا و همچنین با فرض اینکه فاصله z بسیار بیشتر از d باشد (z >> d) معادله زیر را بدست می آوریم.

خط شارژ

توزیع بار که تاکنون مورد بحث قرار گرفت، گسسته در نظر گرفته می شود. اما برخی از توزیع‌های بار شامل بسیاری از بارهای نقطه‌ای محکم (به تعداد میلیون‌ها یا میلیاردها) هستند که در امتداد یک خط یا روی یک سطح یا در یک حجم پخش می‌شوند.

چنین توزیع‌هایی پیوسته در نظر گرفته می‌شوند و در این مورد، به راحتی می‌توان بار جسم را به‌جای بار کل به صورت چگالی بار بیان کرد. در مورد یک خط بار، از چگالی بار خطی استفاده می کنیم که با λ (واحد C / m) نشان داده شده است.

اکنون یک حلقه عایق به شعاع R را در نظر بگیرید. در اطراف محیط آن، چگالی بار مثبت یکنواخت λ وجود دارد. اکنون E را در نقطه P که در فاصله z از صفحه حلقه در امتداد محور مرکزی آن قرار دارد محاسبه می کنیم.

ما نمی‌توانیم E را مستقیماً محاسبه کنیم زیرا حلقه یک بار نقطه‌ای نیست. بنابراین، حلقه را به چندین عنصر بار دیفرانسیل تقسیم می کنیم که با یک بار نقطه ای یکسان هستند.

می دانیم که λ بار در واحد طول است، اجازه دهید ds را طول عنصر دیفرانسیل فرض کنیم. سپس مقدار بار این عنصر دیفرانسیل برابر است با:

dq = λ ds

از آنجایی که بار دیفرانسیل است، E در نقطه P نیز دیفرانسیل است و با معادله زیر به دست می آید.

با استفاده از کمی مثلثات می توانیم معادله فوق را به صورت زیر بنویسیم:

حال، پس از اضافه کردن مولفه موازی، ادغام برای کل محیط و جایگزینی λ، E را به صورت زیر بدست می آوریم:

دیسک شارژ شده

یک دیسک دایره ای عایق شده به شعاع R با چگالی بار سطحی مثبت σ (بار در واحد سطح) را در نظر بگیرید. اکنون E را در نقطه P که در فاصله z از دیسک در امتداد محور مرکزی آن قرار دارد محاسبه می کنیم.

مشابه خط قبلی محاسبه شارژ، دیسک را به حلقه های متحدالمرکز تقسیم می کنیم و E را با یکپارچه سازی محاسبه می کنیم. بگذارید یکی از حلقه های متحدالمرکز شعاع r و عرض شعاعی dr داشته باشد.

اگر σ بار در واحد سطح و dA مساحت دیفرانسیل حلقه باشد، بار حلقه برابر است.

dq = σ dA = σ (2πr dr)

از حلقه قبلی محاسبه بار، dE ناشی از حلقه مسطح توسط داده می شود

با ادغام این روی سطح دیسک و تنظیم مجدد، E یک دیسک شارژ شده را به صورت زیر دریافت می کنیم:

منبع

https://www.electronicshub.org/basics-of-electric-field/