5- تئوری حد مرکزی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه شانزدهم بهمن ۱۴۰۰ | 16:25

اظهارات [ ویرایش ]

اثبات CLT کلاسیک [ ویرایش ]

قضیه حد مرکزی با استفاده از توابع مشخصه اثبات دارد . [17] شبیه اثبات قانون (ضعیف) اعداد بزرگ است .

فرض ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ متغیرهای تصادفی مستقل و یکسانی هستند که هر کدام دارای میانگین هستند ${\textstyle \mu }$ و واریانس محدود ${\textstyle \sigma ^{2}}$ . مجموع ${\textstyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ معنی دارد ${\textstyle n\mu }$ و واریانس ${\textstyle n\sigma ^{2}}$ . متغیر تصادفی را در نظر بگیرید

$Z_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i= 1}^{n}{\frac {X_{i}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1 }{\sqrt {n}}}Y_{i}،$

جایی که در مرحله آخر متغیرهای تصادفی جدید را تعریف کردیم ${\textstyle Y_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$ ، هر کدام با میانگین صفر و واریانس واحد ( ${\textstyle \operatorname {var} (Y)=1}$ ). عملکرد مشخصه از ${\textstyle Z_{n}}$ از رابطه زیر بدست می آید

$\varphi _{Z_{n}}\!(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_ {i}}}\!(t)\ =\ \varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\varphi _{ Y_{2}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\cdots \varphi _{Y_{n}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\ =\ \left[\varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}} \راست)\راست]^{n}،$

جایی که در مرحله آخر از این واقعیت استفاده کردیم که همه ${\textstyle Y_{i}}$ به طور یکسان توزیع می شوند. عملکرد مشخصه از ${\textstyle Y_{1}}$ بر اساس قضیه تیلور است ،

$\varphi _{Y_{1}}\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=1+{\frac {t^{2}}{2n} }+o\!\left({\frac {t^{2}}{n}}\right),\quad \left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\to 0$

جایی که ${\textstyle o(t^{2}/n)}$ برای برخی از عملکردهای " نقل کم " است ${\textstyle t}$ که با سرعت بیشتری به صفر می رسد ${\textstyle t^{2}/n}$ . با حد تابع نمایی ( ${\textstyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ )، عملکرد مشخصه $Z_{n}$ برابر است

$\varphi _{Z_{n}}(t)=\left(1+{\frac {t^{2}}{2n}}+o\left({\frac {t^{2}} {n}}\right)\right)^{n}\rightarrow e^{{\frac {1}{2}}t^{2}},\quad n\to \infty .$

تمام شرایط مرتبه بالاتر در حد ناپدید می شوند ${\textstyle n\to \infty }$ . سمت راست با تابع مشخصه یک توزیع نرمال استاندارد برابر است ${\textstyle N(0,1)}$ ، که از طریق قضیه تداوم لوی نشان می دهد که توزیع ${\textstyle Z_{n}}$ نزدیک خواهد شد ${\textstyle N(0,1)}$ مانند ${\textstyle n\to \infty }$ . بنابراین میانگین نمونه

${\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}$

به گونه ای است که

${\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}({\bar {X}}_{n}-\mu )$

به توزیع نرمال همگرا می شود ${\textstyle N(0,1)}$ ، که از آن قضیه حد مرکزی پیروی می کند.

همگرایی تا حد [ ویرایش ]

قضیه حد مرکزی فقط یک توزیع مجانبی می دهد . به عنوان تقریبی برای تعداد محدودی از مشاهدات، تقریبی معقول را تنها زمانی ارائه می دهد که به اوج توزیع نرمال نزدیک باشد. برای کشیده شدن به دم به تعداد بسیار زیادی مشاهدات نیاز دارد. [ نیازمند منبع ]

همگرایی در قضیه حد مرکزی یکنواخت است زیرا تابع توزیع تجمعی محدود کننده پیوسته است. اگر سومین لحظه مرکزی ${\textstyle \operatorname {E} \left[(X_{1}-\mu )^{3}\right]}$ وجود دارد و متناهی است، پس سرعت همگرایی حداقل به ترتیب است ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$ (به قضیه بری-اسین مراجعه کنید ). روش استاین [18] را می توان نه تنها برای اثبات قضیه حد مرکزی، بلکه برای ارائه مرزهای نرخ همگرایی برای معیارهای انتخابی مورد استفاده قرار داد. [19]

همگرایی به توزیع نرمال یکنواخت است، به این معنا که آنتروپی از ${\textstyle Z_{n}}$ به طور یکنواخت به توزیع نرمال افزایش می یابد. [20]

قضیه حد مرکزی به ویژه برای مجموع متغیرهای تصادفی گسسته مستقل و توزیع شده یکسان اعمال می شود . مجموع متغیرهای تصادفی گسسته همچنان یک متغیر تصادفی گسسته است ، به طوری که ما با دنباله ای از متغیرهای تصادفی گسسته مواجه هستیم که تابع توزیع احتمال تجمعی آنها به سمت یک تابع توزیع احتمال تجمعی مربوط به یک متغیر پیوسته (یعنی تابع توزیع نرمال ) همگرا می شود. . این بدان معنی است که اگر ما یک هیستوگرام از تحقق مجموع n بسازیم متغیرهای گسسته یکسان مستقل، منحنی که به مراکز وجوه بالایی مستطیل ها می پیوندد و هیستوگرام را تشکیل می دهد، با نزدیک شدن n به بی نهایت به سمت منحنی گاوسی همگرا می شود، این رابطه به عنوان قضیه دو مویور-لاپلاس شناخته می شود . مقاله توزیع دوجمله ای چنین کاربرد قضیه حد مرکزی را در مورد ساده یک متغیر گسسته که تنها دو مقدار ممکن را می گیرد، شرح می دهد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی