چرخش ژاکوبی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هشتم بهمن ۱۴۰۰ | 12:52

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در جبر خطی عددی ، چرخش ژاکوبی یک چرخش Q k ℓ از یک زیرفضای خطی دو بعدی از یک فضای حاصلضرب داخلی n بعدی است که برای صفر کردن یک جفت متقارن از ورودی های خارج از قطر یک n × n متقارن واقعی انتخاب می شود. ماتریس A وقتی به عنوان تبدیل تشابه اعمال می شود :

$A \mapsto Q_{k\ell}^TA Q_{k\ell} = A' . \,\!$

$\begin{bmatrix} {*} & & & \cdots & & & & * \\ & \ddots & & & & & \\ & & a_{kk} & \cdots & a_{k\ell} & & \\ \ vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ & & a_{\ell k} & \cdots & a_{\ell\ell} & & \\ & & & & & & \ddots & \\ {*} & & & \cdots & & & * \end{bmatrix} \to \شروع{bmatrix} {*} & & & \cdots & & & & * \\ & \ddots & & & & & \\ & & a'_{kk} & \cdots & 0 & & \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ & & 0 & \cdots & a'_{\ell\ell} و &\\ & & & & & \ddots & \\ {*} & & & \cdots & & & & * \end{bmatrix}.$

این عملیات اصلی در الگوریتم ارزش ویژه Jacobi است که از نظر عددی پایدار است و برای پیاده‌سازی روی پردازنده‌های موازی مناسب است [ نیاز به منبع ] .

فقط ردیف‌های k و ℓ و ستون‌های k و ℓ A تحت تأثیر قرار می‌گیرند و A متقارن باقی می‌ماند. همچنین، یک ماتریس صریح برای Q k ℓ به ندرت محاسبه می شود. در عوض، مقادیر کمکی محاسبه شده و A به روشی کارآمد و از نظر عددی پایدار به روز می شود. با این حال، برای مرجع، ممکن است ماتریس را به صورت بنویسیم

$Q_{k\ell} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & 0 & \\ & & c & \cdots & s & & \\ & & \vdots & \ ddots & \vdots & & \\ & & -s & \cdots & c & & & \\ & 0 & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1 \end{bmatrix} .$

یعنی Q k ℓ یک ماتریس هویت است به جز چهار ورودی، دو ورودی در مورب ( q kk و q ℓℓ ، هر دو برابر با c ) و دو ورودی به طور متقارن خارج از مورب قرار می گیرند ( q k ℓ و q ℓ k ، برابر با s و - s ، به ترتیب). در اینجا c = cos ϑ و s = sin ϑ برای برخی از زاویه ϑ. اما برای اعمال چرخش، خود زاویه مورد نیاز نیست. با استفاده از نماد دلتای Kronecker ، ورودی های ماتریس را می توان نوشت

$q_{ij} = \delta_{ij} + (\delta_{ik}\delta_{jk} + \delta_{i\ell}\delta_{j\ell})(c-1) + (\delta_{ik} \delta_{j\ell} - \delta_{i\ell}\delta_{jk})s . \,\!$

فرض کنید h شاخصی غیر از k یا ℓ باشد (که خود باید متمایز باشند). سپس به روز رسانی شباهت، از نظر جبری،

$a'_{hk} = a'_{kh} = c a_{hk} - s a_{h\ell} \,\!$

$a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = c a_{h\ell} + s a_{hk} \,\!$

$a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = (c^2-s^2)a_{k\ell} + sc (a_{kk} - a_{\ell\ell}) = 0 \,\!$

$a'_{kk} = c^2 a_{kk} + s^2 a_{\ell\ell} - 2 sc a_{k\ell} \,\!$

$a'_{\ell\ell} = s^2 a_{kk} + c^2 a_{\ell\ell} + 2 sc a_{k\ell}. \,\!$

محاسبات عددی پایدار [ ویرایش ]

برای تعیین مقادیر مورد نیاز برای به روز رسانی، باید معادله خارج از مورب را برای صفر حل کنیم ( Golub & Van Loan 1996 ، §8.4). این نشان می دهد که

$\frac{c^2-s^2}{sc} = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{a_{k\ell}}.$

β را به نصف این مقدار تنظیم کنید،

$\beta = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{2 a_{k\ell}}.$

اگر k ℓ صفر باشد ، می‌توانیم بدون انجام به‌روزرسانی متوقف شویم، بنابراین هرگز بر صفر تقسیم نمی‌کنیم. اجازه دهید t باشد ϑ. سپس با چند هویت مثلثاتی معادله را به کاهش می دهیم

$t^2 + 2\beta t - 1 = 0. \,\!$

برای ثبات ما راه حل را انتخاب می کنیم

$t = \frac{\sgn(\beta)}{|\beta|+\sqrt{\beta^2+1}}.$

از این رو می توانیم c و s را به عنوان به دست آوریم

$c = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \,\!$

$s = ct \,\!$

اگرچه اکنون می‌توانیم از معادلات به‌روزرسانی جبری استفاده کنیم، اما ممکن است ترجیح داده شود که آنها را بازنویسی کنیم. اجازه دهید

$\rho ={\frac {1-c}{s}}،$

به طوری که ρ = tan(φ/2). سپس معادلات به روز رسانی اصلاح شده هستند

$a'_{hk} = a'_{kh} = a_{hk} - s (a_{h\ell} + \rho a_{hk}) \,\!$

$a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = a_{h\ell} + s (a_{hk} - \rho a_{h\ell}) \,\!$

$a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = 0 \,\!$

$a'_{kk} = a_{kk} - t a_{k \ell} \,\!$

$a'_{\ell\ell} = a_{\ell\ell} + t a_{k \ell} \,\!$

همانطور که قبلاً اشاره شد، ما هرگز نیازی به محاسبه صریح زاویه چرخش ϑ نداریم. در واقع، می‌توانیم به‌روزرسانی متقارن تعیین‌شده توسط Q k ℓ را تنها با حفظ سه مقدار k ، ℓ، و t ، با t برای یک چرخش تهی روی صفر تنظیم کنیم.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_rotation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی