نظریه ایده آل

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هفدهم دی ۱۴۰۰ | 2:34

این مقاله در مورد نظریه ریاضی است. برای کاربرد در فلسفه سیاسی، به نظریه ایده آل (سیاست) مراجعه کنید .

در ریاضیات ، نظریه ایده آل نظریه است آرمان در حلقه جابجایی ؛ و نام پیشرو برای موضوع معاصر جبر جابجایی است . این نام ناشی از ملاحظات اصلی، مانند قضیه لاسکر-نوتر در هندسه جبری ، و گروه کلاس ایده آل در نظریه اعداد جبری ، جبر جابجایی ربع اول قرن بیستم است. از حدود سال 1930 در متن تأثیرگذار van der Waerden در مورد جبر انتزاعی استفاده شد.

نظریه ایده آل مورد بحث بر اساس تئوری حذف بود ، اما مطابق با سلیقه دیوید هیلبرت از روش های الگوریتمی دور شد . نظریه پایه گروبنر اکنون این روند را برای جبر کامپیوتری معکوس کرده است .

اهمیت ایده یک ماژول ، عمومی تر از یک ایده آل ، احتمالاً منجر به این برداشت شد که نظریه ایده آل توصیفی بسیار محدود است. نظریه ارزش گذاری نیز یک توسعه فنی مهم بود و هلموت هاسه و اسکار زاریسکی از آن استفاده کردند . بوربکی از جبر جابجایی استفاده کرد . گاهی اوقات جبر محلی برای تئوری حلقه های محلی اعمال می شود . نظریه ایده آل تراکت کمبریج در سال 1953 داگلاس نورثکات (که در سال 2004 با همین عنوان دوباره منتشر شد) یکی از آخرین نمایش های این نام بود.

فهرست

توپولوژی تعیین شده توسط ایده آل [ ویرایش ]

فرض کنید R یک حلقه و M یک ماژول R باشد. سپس هر ایده آل

${\mathfrak {a}}$ از R یک توپولوژی روی M به نام the را تعیین می کند

${\mathfrak {a}}$ توپولوژی adic ارزیابی به طوری که یک زیر مجموعه U از M است باز اگر و تنها اگر برای هر x را در U وجود دارد یک عدد صحیح مثبت وجود دارد N به طوری که

$x+{\mathfrak {a}}^{n}M\subset U.$

با توجه به این

${\mathfrak {a}}$ -توپولوژی آدیک،

$\{x+{\mathfrak {a}}^{n}M\}_{n}$ اساس محله های است $ایکس$ و عملیات ماژول را پیوسته می کند. به خصوص،

$م$ یک گروه توپولوژیکی احتمالا غیر هاسدورف است . همچنین، M یک فضای توپولوژیکی Hausdorff است اگر و فقط اگر

${\textstyle \bigcap _{n>0}{\mathfrak {a}}^{n}M=0.}$ علاوه بر این، زمانی که

$م$ Hausdorff است، توپولوژی همان توپولوژی فضای متریک است که با تعریف تابع فاصله ارائه می شود:

$d(x,y)=2^{-n}$ برای

$x\neq y$ ، جایی که

$n$ یک عدد صحیح است به طوری که

$xy\in {\mathfrak {a}}^{n}M-{\mathfrak {a}}^{n+1}M$ .

با توجه به زیرماژول N از

${\mathfrak {a}}$ -بسته شدن N در M برابر است با

${\textstyle \bigcap _{n>0}(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}$ ، همانطور که به راحتی نشان داده شده است.

در حال حاضر، پیشینی ، در یک زیرماژول N از M ، دو طبیعی وجود دارد

${\mathfrak {a}}$ توپولوژی ها: توپولوژی زیرفضای القا شده توسط

${\mathfrak {a}}$ توپولوژی adic در M و

${\mathfrak {a}}$ توپولوژی adic ارزیابی در N . با این حال، زمانی که

$آر$ نوتری است و

$م$ بر روی آن متناهی است، آن دو توپولوژی به عنوان پیامد لم آرتین-ریس منطبق می شوند .

چه زمانی

$م$ هاسدورف است،

$م$ می تواند به عنوان یک فضای متریک تکمیل شود. فضای حاصل با نشان داده می شود

$\widehat {M}$ و دارای ساختار ماژول است که با گسترش عملیات ماژول توسط پیوستگی به دست می آید. همچنین مانند (یا به طور متعارف هم شکل با):

${\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M$

جایی که سمت راست تکمیل ماژول است

$م$ با توجه به

${\mathfrak {a}}$ .

مثال : اجازه دهید

$R=k[x_{1}،\dots،x_{n}]$ یک حلقه چند جمله ای بر روی یک میدان باشد و

${\mathfrak {a}}=(x_{1},\dots,x_{n})$ حداکثر ایده آل سپس

${\widehat {R}}=k[\![x_{1},\dots,x_{n}]\!]$ یک حلقه رسمی سری قدرت است .

R با توجه به یک حلقه Zariski نامیده می شود

${\mathfrak {a}}$ اگر هر ایده آل در R باشد

${\mathfrak {a}}$ -بسته یک شخصیت پردازی وجود دارد:

R با توجه به یک حلقه زریسکی است

${\mathfrak {a}}$ اگر و تنها اگر

${\mathfrak {a}}$ در موجود جاکوبسن رادیکال از R .

به طور خاص یک حلقه محلی نوتری یک حلقه زریسکی با توجه به حداکثر ایده آل است.

سیستم پارامترها [ ویرایش ]

سیستم از پارامترهای یک محلی حلقه نوتری از کرول بعد د با ایده آل حداکثر متر مجموعه ای از عناصر است X 1 ، ...، X د که ارضا هر یک از شرایط معادل زیر است:

متر است نخست حداقل بیش از ( X 1 ، ...، Xr).
رادیکال از ( X 1 ، ...، Xr ) است m .
مقداری از توان m در
( x 1 ، ...، x d ) موجود است.
( x 1 , ... , x d ) m- اولیه است .

هر حلقه محلی Noetherian سیستمی از پارامترها را می پذیرد.

برای عناصر کمتر از d امکان تولید ایده آلی وجود ندارد که رادیکال آن m باشد زیرا در این صورت بعد R کمتر از d خواهد بود.

اگر M است ک ماژول بعدی بیش از یک حلقه محلی، پس از X 1 ، ...، X K است سیستم از پارامترهای برای M اگر طول از

M / ( X 1 ، ...، X K ) M

محدود است .

نظریه کاهش [ ویرایش ]

تئوری کاهش به مقاله تأثیرگذار 1954 نورثکات و ریس برمی گردد، مقاله ای که مفاهیم اساسی را معرفی کرد. در هندسه جبری، نظریه یکی از ابزارهای ضروری برای استخراج اطلاعات دقیق در مورد رفتارهای انفجار است .

آرمان با توجه J ⊂ I در یک حلقه R ، ایده آل J گفت است که یک کاهش از من اگر برخی از عدد صحیح وجود دارد متر > 0 به طوری که

$JI^{m}=I^{m+1}$ . [1] برای چنین آرمان هایی، بلافاصله پس از تعریف، موارد زیر صادق است:

$J^{k}I^{m}=J^{k-1}I^{m+1}=\cdots =I^{m+k}$ .
IوJ همان رادیکال و مجموعه ای از ایده آل های اولیه حداقلی را بر آنها داریم [2] (برعکس نادرست است).

اگر R یک حلقه نوتری است، و سپس J کاهش است من اگر و تنها اگر ریس جبر R [ این ] است محدود بیش R [ Jt به ]. [3] (این دلیل ارتباط با انفجار است.)

یک مفهوم نزدیک به هم مربوط به گسترش تحلیلی است . طبق تعریف، حلقه مخروط الیافی یک حلقه محلی نوتری

( R } ${\mathfrak {m}}$ ) همراه ایده آل I است

${\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {m}})\simeq \bigoplus _{n=0}^ {\infty }I^{n}/{\mathfrak {m}}I^{n}$ .

بعد کرول از

${\mathcal {F}}_{I}(R)$ است به نام گسترش تحلیلی از I . با توجه به کاهش

$J\subset I$ حداقل تعداد مولدهای J حداقل گسترش تحلیلی I است . [4] همچنین، یک معکوس جزئی برای فیلدهای بی نهایت برقرار است:

$R/{\mathfrak {m}}$ نامتناهی است و اگر عدد صحیح باشد

$\ خوب$ گسترش تحلیلی I است ، سپس هر کاهش I حاوی کاهشی است که توسط

$\ خوب$ عناصر. [5]

هم‌شناسی محلی در نظریه ایده‌آل [ ویرایش ]

این بخش نیاز به گسترش دارد . شما می توانید با اضافه کردن به آن کمک کنید . ( دسامبر 2019 )

گاهی اوقات می توان از همولوژی محلی برای به دست آوردن اطلاعات در مورد یک ایده آل استفاده کرد. این بخش آشنایی با تئوری شیف و نظریه طرح را فرض می کند.

اجازه دهید

$م$ یک ماژول روی یک حلقه باشد

$آر$ و

$من$ یک ایده آل سپس

$م$ بافته را تعیین می کند

${\widetilde {M}}$ بر

$Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)$ (محدودیت به Y از شیف مربوط به M ). با باز کردن تعریف، می بینیم:

$\Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)$ .

اینجا،

$\Gamma _{I}(M)$ نامیده می شود ایده آل تبدیل از

$م$ با توجه به

$من$ . [6]

https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

نظریه ایده آل

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین