اجازه دهید R و S حلقه های جابجایی با 1 و ϕ:R→Sهممورفیسم حلقه سوجکتیو باشد. سپس برای یک ایده آل حداکثر دلخواهI از R، میکند ϕ(I) باید حداکثر در S?

ایده من: از قضیه ایزومورفیسم، ایده آل های حداکثری R حاوی Kerϕ در مطابقت 1 با ایده آل های حداکثری هستند S. از این رو ممکن است برخی از ایده آل های حداکثری وجود داشته باشدI از R به طوری که Kerϕ موجود نیست در I، بدین ترتیب ϕ(I) یک ایده آل حداکثری نیست S. اما این دلیل معتبری نیست (این به این دلیل است که اگر ماکزیمم را با اول جایگزین کنیم، می‌توانیم از همان استدلال استفاده کنیم. با این حال، تصویر هممورفیسم سوجکتیو ایده‌آل اول اول است که من با استفاده از تعریف آن را ثابت کرده‌ام). باید چکار کنم؟

پاسخ خیر است! گرفتنR=k[x]، S=k[x]/x، و I=(x−1).

از جانب ϕ می توانید بسازید φ:R→S/ϕ(I). این یک هممورفیسم سوجکتیو با هسته استI. بنابراین، با قضیه ایزومورفیسمR/I≅S/ϕ(I). اگرI پس حداکثر است R/I پس یک میدان است S/ϕ(I) یک میدان است و سپس ϕ(I) حداکثر است.

ااز کجا می دانید که هسته φ دقیقا است I? مطمئناً حاویI، اما گنجاندن معکوس با شکست مواجه می شود. به پاسخ آدریدو نگاه کنید: در مثال او،ϕ(I)=S، بنابراین ker(φ)=R. 

این است، توجه داشته باشید که اگر J⊆S یک ایده آل از S، سپس ϕ−1(J)یک ایده آل از R.

اگر ϕ(I)⊂J و ϕ(I)≠J، سپس ϕ−1(J) باید برابر باشد R از آنجا که Iحداکثر است. از این روJ=ϕ(R) و از ϕ پوششی  است که داریم J=S.

از این رو ϕ(I) حداکثر است.

این درست است اگر و فقط اگر هسته زیرمجموعه ای از I باشد. می توانید از قضیه هم شکلی و این واقعیت که این یک epimorphism است استفاده کنید.ϕ

منبع

https://math.stackexchange.com/questions/631165/homomorphism-image-of-a-maximal-ideal-of-a-ring?rq=1