ادامه مختصات متعامد(عملگرهای دیفرانسیل در سه بعدی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه نهم دی ۱۴۰۰ | 7:50

عملگرهای دیفرانسیل در سه بعدی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: del

از آنجایی که این عملیات در کاربرد رایج هستند، تمام اجزای برداری در این بخش با توجه به مبنای نرمال شده ارائه شده اند: $F_{i}={\mathbf {F}}\cdot {\hat {{\mathbf {e}}}}_{i}$ .

اپراتور	اصطلاح
گرادیان یک میدان اسکالر	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}} }+{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{ \frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}$
واگرایی یک میدان برداری	$\nabla \cdot {\mathbf F}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}} }\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{ 1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$
حلقه یک میدان برداری	${\begin{aligned}\nabla \times {\mathbf F}&={\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left [{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}} \left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\ چپ[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}} }\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{3}}{h_{1} h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\ جزئی q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin {vmatrix}h_{1}{\hat {{\mathbf {e}}}}_{1}&h_{2}{\hat {{\mathbf {e}}}}_{2}&h_{3}{ \hat {{\mathbf {e}}}}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2 }}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\ پایان{تراز شده}}$
لاپلاسی یک میدان اسکالر	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}} \left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac { \partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^ {2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{ \frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]$

عبارات فوق را می توان با استفاده از نماد Levi-Civita به شکل فشرده تری نوشت $\epsilon _{ijk}$ و تعیین کننده یعقوبی $J=h_{1}h_{2}h_{3}$ با فرض جمع بر روی شاخص های مکرر:

اپراتور	اصطلاح
گرادیان یک میدان اسکالر	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{ k}}}$
واگرایی یک میدان برداری	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{ h_{k}}}F_{k}\راست)$
پیچش یک میدان برداری (فقط سه بعدی)	$\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)$
لاپلاسی یک میدان اسکالر	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_ {k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

همچنین توجه داشته باشید که گرادیان یک میدان اسکالر را می توان بر حسب ماتریس ژاکوبین J حاوی مشتقات جزئی متعارف بیان کرد:

$\mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}} },{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]$

بر اساس تغییر مبنا :

$\nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} ^{T}\mathbf {J} ^{T}$

که در آن ماتریس های چرخش و مقیاس بندی عبارتند از:

$\mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]$

$\mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).$

جدول مختصات متعامد [ ویرایش ]

علاوه بر مختصات دکارتی معمول، چندین مورد دیگر در زیر جدول بندی شده است. [5] نماد فاصله برای فشردگی در ستون مختصات استفاده می شود.

مختصات منحنی ( q 1 , q 2 , q 3 )	تبدیل از دکارتی ( x , y , z )	عوامل مقیاس
مختصات قطبی کروی $(r,\theta,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
مختصات قطبی استوانه ای $(r,\phi,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
مختصات استوانه ای سهموی $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
مختصات سهموی $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\ پایان{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
مختصات پارابولوئیدی ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a ^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{تراز شده}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}} =2z+q_{i}$ جایی که $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{( a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
مختصات بیضی شکل ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b ^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2 <a^{2}،\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2}،\end{تراز شده}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\ frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ جایی که ,\nu )} $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^ {2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}}$
مختصات استوانه ای بیضوی $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty)$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{ هم راستا}}$
مختصات کروی را گسترش دهید $(\xi ,\eta ,\phi )\در [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \ و \end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a \sinh \xi \sin \eta \end{تراز شده}}$
مختصات کروی شکل $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right] \ بار [0,2\pi )$	${\begin{تراز شده}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \ و \end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a \cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
مختصات استوانه ای دوقطبی $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty,\infty)\times (-\infty,\infty)$	پ ${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}} \\z&=z\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
مختصات حلقوی $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty)\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\ cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v} {\cosh v-\cos u}}\end{تراز شده}}$
مختصات دو کره ای $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty)\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\ sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
مختصات مخروطی ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \در [0,\infty )\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\ mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac { \lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}- a^{2}}}}\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2}) }{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})} }\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی