ادامه دنباله دقیق(Grad، curl و div در هندسه دیفرانسیل )

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ | 5:35

Grad، curl و div در هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

این بخش ممکن است نیاز به پاکسازی داشته باشد تا با استانداردهای کیفیت ویکی‌پدیا مطابقت داشته باشد. مشکل خاص این است: استفاده بیش از حد از "ما"، "توجه". همچنین، این بخش برای اکثر خوانندگان این مقاله بیش از حد فنی است: باید به تعاریفی که برای درک عبارت (دقت یک دنباله) مورد نیاز است تقلیل یابد. اثبات و جزئیات فنی متعلق به این مقاله نیست، اما باید در مقاله هندسه دیفرانسیل ظاهر شود. لطفا در صورت امکان به بهبود این بخش کمک کنید. ( دسامبر 2019 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

مثال دیگری را می توان از هندسه دیفرانسیل مشتق کرد ، به ویژه برای کار بر روی معادلات ماکسول .

فضای هیلبرت را در نظر بگیرید $L^{2}$ توابع مربع ادغام پذیر با ارزش اسکالر در سه بعد $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \right\rbrace$ . گرفتن گرادیان یک تابع $f\in \mathbb {H} _{1}$ ما را به زیر مجموعه ای از $\mathbb {H} _{3}$ ، فضای بردار با ارزش، توابع هنوز مربعی قابل ادغام در همان دامنه $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace$ - به طور خاص، مجموعه ای از چنین توابعی که نشان دهنده میدان های برداری محافظه کار است. ( قضیه تعمیم یافته استوکس قابلیت یکپارچگی را حفظ کرده است.)

ابتدا، توجه داشته باشید که پیچیدگی همه این فیلدها صفر است - از آنجا که

$\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)\equiv \nabla \times (\nabla f)=0$

برای همه از جمله f . با این حال، این فقط ثابت می کند که تصویر گرادیان زیرمجموعه ای از هسته کرل است. برای اثبات اینکه آنها در واقع یک مجموعه هستند، برعکس را ثابت کنید: که اگر حلقه یک میدان برداری ${\vec {F}}$ پس 0 است ${\vec {F}}$ گرادیان برخی از تابع های اسکالر است. این تقریباً بلافاصله از قضیه استوکس پیروی می کند (به اثبات نیروی محافظه کار مراجعه کنید .) پس تصویر گرادیان دقیقاً هسته کرل است، و بنابراین ما می توانیم کرل را به عنوان مورفیسم بعدی خود در نظر بگیریم و ما را دوباره به یک (متفاوت) زیر مجموعه از $\mathbb {H} _{3}$ .

به طور مشابه، ما توجه می کنیم که

$\operatorname {div} \left(\operatorname {curl} {\vec {v}}\right)\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0،$

بنابراین تصویر curl زیر مجموعه ای از هسته واگرایی است . برعکس تا حدودی دخیل است:

نشان دادناثبات آن $\operatorname {div} {\vec {F}}$ = 0 دلالت دارد ${\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}$ برای برخی ${\vec {A}}$

بنابراین، پس از اثبات اینکه تصویر کرل دقیقاً هسته واگرایی است، این مورفیسم به نوبه خود ما را به فضایی که از آن شروع کرده ایم بازمی گرداند. $L^{2}$ . از آنجایی که به طور قطع ما در فضایی از توابع انتگرال پذیر قرار گرفته ایم، هر تابعی از این دست را می توان (حداقل به طور رسمی) به منظور تولید یک میدان برداری که واگرایی آن تابع است ادغام کرد - بنابراین تصویر واگرایی کل آن است. $L^{2}$ ، و ما می توانیم دنباله خود را کامل کنیم:

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl}} } \mathbb {H } _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {div} } } L^{2}\to 0$

به همین ترتیب، می‌توانستیم برعکس استدلال کنیم: در یک فضای ساده متصل ، یک فیلد برداری بدون کرل (یک فیلد در هسته کرل) همیشه می‌تواند به عنوان گرادیان یک تابع اسکالر نوشته شود (و بنابراین در تصویر گرادیان). به طور مشابه، یک فیلد بدون واگرایی را می توان به صورت حلقه ای از یک فیلد دیگر نوشت. [2] (در نتیجه استدلال در این جهت از این واقعیت استفاده می کند که فضای 3 بعدی از نظر توپولوژیکی بی اهمیت است.)

این توالی دقیق کوتاه همچنین به اثبات بسیار کوتاه‌تری از اعتبار تجزیه هلمهولتز اجازه می‌دهد که بر محاسبات بردار نیروی brute-force متکی نیست. دنباله را در نظر بگیرید

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl}} } \operatorname {im } (\operatorname {curl} )\to 0.$

از آنجایی که واگرایی گرادیان لاپلاسین است ، و از آنجایی که فضای هیلبرت توابع انتگرال پذیر مربع را می توان توسط توابع ویژه لاپلاسی دربر گرفت، قبلاً می بینیم که برخی از نقشه برداری معکوس $\nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}$ باید وجود داشته باشد. برای ساختن صریح چنین معکوس، می‌توانیم از تعریف بردار لاپلاسین شروع کنیم

$\nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\ vec {A}}\راست)$

از آنجایی که ما در تلاش برای ساختن یک نگاشت هویت با ترکیب تابع با گرادیان هستیم، می دانیم که در مورد ما $\nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} \left({\vec {A}}\right)=0$ . سپس اگر واگرایی دو طرف را بگیریم

${\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right )\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\\end{تراز شده}}$

می بینیم که اگر تابعی تابع ویژه بردار لاپلاسی باشد، واگرایی آن باید تابعی از تابع لاپلاسی اسکالر با همان مقدار ویژه باشد. سپس می توانیم تابع معکوس خود را بسازیم $\nabla ^{-1}$ به سادگی با شکستن هر تابع در $\mathbb {H} _{3}$ در پایه ویژه بردار-لاپلاسی، هر کدام را بر اساس معکوس مقدار ویژه آنها مقیاس بندی می کنیم و واگرایی را می گیریم. عمل از $\nabla ^{-1}\circ \nabla$ بنابراین به وضوح هویت است. بنابراین با تقسیم لم ،

$\mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )$ ،

یا به طور معادل، هر فیلد برداری قابل ادغام مربع روی $\mathbb {R} ^{3}$ را می توان به مجموع یک گرادیان و یک حلقه تقسیم کرد - چیزی که ما قصد داریم آن را ثابت کنیم.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی