مجموعه دلتا

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۰ | 21:20

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، یک Δ تنظیم S ، اغلب به نام مجموعه ای نیمه های سادک ، یک است ترکیبی شی است که در ساخت و ساز و مفید مثلث از فضاهای توپولوژیک ، و همچنین در محاسبه مرتبط ویژگیهای جبری چنین فاصله است. یک مجموعه Δ تا حدودی کلی تر از یک مجموعه ساده است ، اما نه به اندازه یک مجموعه ساده .

به عنوان مثال، فرض کنید می خواهیم دایره 1 بعدی را مثلث کنیم $S^{1}$ . برای انجام این کار با یک کمپلکس ساده، حداقل به دو رأس (مثلاً یکی در بالا و دیگری در پایین) و دو لبه که آنها را به هم متصل می کند نیاز داریم. اما مجموعه‌های دلتا امکان مثلث‌سازی ساده‌تری را فراهم می‌کنند: فکر کردن $S^{1}$ به عنوان فاصله [0،1] با دو نقطه پایانی مشخص شده، می‌توانیم مثلثی با یک راس واحد 0 و یک لبه تک حلقه بین 0 و 0 تعریف کنیم.

فهرست

تعریف و داده های مرتبط [ ویرایش ]

به طور رسمی، یک مجموعه Δ ، دنباله ای از مجموعه ها است $\{S_{n}\}_{{n=0}}^{{\infty }}$ همراه با نقشه ها

$d_{i}\colon S_{n+1}\right arrow S_{n}$

با $i=0,1,\ldots ,n+1$ برای $n\geq 1$ که راضی می کند

$d_{i}\circ d_{j}=d_{{j-1}}\circ d_{i}$

هر زمان که $i<j$ .

این تعریف مفهوم یک مجتمع ساده را تعمیم می دهد، که در آن $S_{n}$ مجموعه‌ای از n- سادکها هستند $d_{i}$ نقشه های وجه هستند. این به اندازه یک مجموعه ساده کلی نیست، زیرا فاقد «انحطاط» است.

با توجه به مجموعه‌های Δ S و T ، نقشه مجموعه‌های Δ مجموعه‌ای از نقشه‌های مجموعه است

$\{f_{n}\colon S_{n}\rightarrow T_{n}\}_{n=0}^{\infty }$

به طوری که

$f_{n}\circ d_{i}=d_{i}\circ f_{{n+1}}$

هر زمان که هر دو طرف معادله تعریف شود. با این مفهوم، می‌توانیم دسته‌ای از مجموعه‌های Δ را تعریف کنیم ، که اشیاء آن‌ها مجموعه‌های Δ و شکل‌های آن‌ها نقشه‌های مجموعه‌های Δ هستند.

هر مجموعه Δ دارای یک تحقق هندسی مربوطه است که به صورت تعریف شده است

$|S|=\left(\coprod _{{n=0}}^{{\infty }}S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{{\sim }}$

جایی که ما آن را اعلام می کنیم

$(\sigma ,d^{i}t)\sim (d_{i}\sigma,t)\quad {\text{ for all }}\sigma \in S_{n},t\in \Delta ^{n-1}.$

اینجا، $\دلتا ^{n}$ نشان دهنده استاندارد n- سادک و

$d^{i}\colon \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}$

شمول صورت i است . تحقق هندسی یک فضای توپولوژیکی با توپولوژی ضریب است .

تحقق هندسی یک Δ-مجموعه S است طبیعی فیلتراسیون

$|S|_{0}\subset |S|_{1}\subset \cdots \subset |S|,$

جایی که

$|S|_{N}=\left(\coprod _{{n=0}}^{{N}}S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{{\sim }}$

یک تحقق هندسی "محدود" است.

کارکردهای مرتبط [ ویرایش ]

تحقق هندسی یک Δ-مجموعه فوق را تعریف هموردا توصیف عمل کننده از این دسته از Δ مجموعه به این رده از فضاهای توپولوژیک. تحقق هندسی یک مجموعه Δ را به یک فضای توپولوژیکی می برد و نقشه های مجموعه های Δ را به نقشه های پیوسته القایی بین تحقق های هندسی حمل می کند.

اگر S یک مجموعه Δ باشد، یک مجموعه زنجیره آبلی آزاد مرتبط وجود دارد که نشان داده می شود $(\mathbb {Z} S,\partial )$ ، که گروه n ام گروه آبلی آزاد است

$(\mathbb {Z} S)_{n}=\mathbb {Z} \langle S_{n}\rangle ,$

تولید شده توسط مجموعه $S_{n}$ ، و دیفرانسیل n -ام آن با تعریف می شود

$\جزئی _{n}=d_{0}-d_{1}+d_{2}-\cdots +(-1)^{n}d_{n}.$

این یک تابع کوواریانت را از دسته مجموعه های Δ تا دسته مجتمع های زنجیره ای گروه های آبلی تعریف می کند. یک مجموعه Δ به مجموعه زنجیره ای که قبلاً توضیح داده شد منتقل می شود و یک نقشه از مجموعه های Δ به نقشه مجتمع های زنجیره ای منتقل می شود که با گسترش نقشه مجموعه های Δ به روش استاندارد با استفاده از ویژگی جهانی آزاد تعریف می شود. گروه های آبلی

با توجه به هر فضای توپولوژیکی X ، می توان یک مجموعه Δ ساخت ${\mathrm {sing}}(X)$ به شرح زیر است. یک n- سادک مفرد در X یک نقشه پیوسته است

$\sigma \colon \Delta ^{n}\rightarrow X.$

تعريف كردن

${\mathrm {sing}}_{n}^{{}}(X)$

مجموعه ای از تمام n -ساده های مفرد در X باشد و تعریف کنید

$d_{i}\colon \mathrm {sing} _{i+1}(X)\rightarrow \mathrm {sing} _{i}(X)$

توسط

$d_{i}(\sigma )=\sigma \circ d^{i}،$

دوباره کجا $d^{i}$ هست $من$ -نقشه چهره. می توان بررسی کرد که این در واقع یک مجموعه Δ است. این یک تابع کوواریانت را از دسته فضاهای توپولوژیکی تا دسته مجموعه های Δ تعریف می کند. یک فضای توپولوژیکی به مجموعه Δ- مجموعه ای که قبلاً توضیح داده شد منتقل می شود و یک نقشه پیوسته از فضاها به نقشه مجموعه های Δ منتقل می شود که با ترکیب نقشه با n- ساده های مفرد داده می شود.

یک مثال [ ویرایش ]

این مثال ساختارهای توضیح داده شده در بالا را نشان می دهد. ما می‌توانیم یک مجموعه Δ- S ایجاد کنیم که تحقق هندسی آن دایره واحد است $S^{1}$ و از آن برای محاسبه همسانی این فضا استفاده کنید. فکر کردن به $S^{1}$ به عنوان یک فاصله با نقاط پایانی شناسایی شده، تعریف کنید

$S_{0}=\{v\}،\quad S_{1}=\{e\}،$

با $S_{n}=\varnothing$ برای همه $n\geq 2$ . تنها نقشه های ممکن $d_{0},d_{1}\colon S_{1}\rightarrow S_{0},$ هستند

$d_{0}(e)=d_{1}(e)=v.\quad$

ساده است که بررسی کنید که این یک مجموعه Δ است، و آن $|S|\cong S^{1}$ . در حال حاضر، مجموعه زنجیره مرتبط $(\mathbb {Z} S,\partial )$ است

$0\longrightarrow \mathbb {Z} \langle e\rangle {\stackrel {\partial _{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \langle v\rangle \longrightarrow 0,$

جایی که

$\جزئی _{1}(e)=d_{0}(e)-d_{1}(e)=vv=0.$

در حقیقت، $\جزئی _{n}=0$ برای همه n . همسانی این مجموعه زنجیره ای نیز برای محاسبه ساده است:

$H_{0}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{0}}{\mathrm {im} \partial _{1}}}=\mathbb {Z} \ langle v\rangle \cong \mathbb {Z}،$

$H_{1}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{1}}{\mathrm {im} \partial _{2}}}=\mathbb {Z} \ langle e\rangle \cong \mathbb {Z}.$

همه گروه های همسانی دیگر به وضوح بی اهمیت هستند.

مزایا و معایب [ ویرایش ]

یکی از مزیت‌های استفاده از مجموعه‌های Δ در این روش این است که مجموعه زنجیره‌ای به‌دست‌آمده عموماً بسیار ساده‌تر از مجموعه زنجیره‌ای منفرد است. برای فضاهای نسبتا ساده، همه گروه ها به طور متناهی تولید می شوند، در حالی که گروه های زنجیره ای منفرد، به طور کلی، حتی به صورت شمارش تولید نمی شوند.

یکی از اشکالات این روش این است که باید ثابت کرد که تحقق هندسی مجموعه Δ در واقع همومورفیک به فضای توپولوژیکی مورد نظر است. با افزایش پیچیدگی مجموعه Δ، این می تواند به یک چالش محاسباتی تبدیل شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی