ریاضیات

​

 دهن ثابت [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: دهن  همورد

در دو بعد، قضیه رویال-گروین ادعا می کند که هر چند ضلعی ممکن است با بریدن آن به قطعات چند ضلعی محدود و مرتب کردن مجدد آنها به هر چندضلعی دیگر از همان ناحیه تبدیل شود . سوال مشابه برای چند وجهی موضوع سومین مشکل هیلبرت بود . ماکس دهن این مشکل را با نشان دادن این مسئله حل کرد که برخلاف حالت دو بعدی، چند وجهی با همان حجم وجود دارد که نمی‌توان آنها را به چند وجهی کوچک‌تر برش داد و دوباره در یکدیگر جمع کرد. برای اثبات این موضوع، دهن مقدار دیگری مرتبط با یک چندوجهی را کشف کرد، تغییر ناپذیر دهن ، به طوری که دو چند وجهی تنها زمانی می توانند به یکدیگر تفکیک شوند که دارای حجم یکسان و یک دهن  ثابت باشند. بعدها توسط سیدلر ثابت شد که این تنها مانع بر سر راه تشریح است: هر دو چند وجهی اقلیدسی با حجم‌های یکسان و متغیرهای دهن می‌توانند بریده شده و دوباره به یکدیگر متصل شوند. [23] متغیر دهن  یک عدد نیست، بلکه یک بردار در فضای برداری بی‌بعدی است. [24]

یکی دیگر از مشکلات هیلبرت ، مسئله هجدهم هیلبرت ، مربوط به چند وجهی (در میان چیزهای دیگر) فضای کاشی است . هر چند وجهی باید دارای صفر ثابت دهن باشد. [25] ثابت دهن همچنین با قضیه دم قوی به چندوجهی انعطاف پذیر متصل شده است، که بیان می کند که تغییرناپذیر دهن هر چند وجهی انعطاف پذیر در حین خم شدن، ثابت می ماند. [26]

چند وجهی محدب [ ویرایش ]

بلوک های چندوجهی محدب در موزه یونیورسوم در مکزیکو سیتی به نمایش گذاشته شده است

یک جامد سه بعدی یک مجموعه محدب است اگر شامل هر پاره خطی باشد که دو نقطه آن را به هم متصل می کند. محدب چند وجهی است که یک جسم چند وجهی، به عنوان یک جامد، به شکل یک مجموعه محدب. محدب چند وجهی همچنین می توانید به عنوان یک تعریف شود محدود تقاطع بسیاری از finitely نیمه فضاهای ، و یا به عنوان بدنه محدب از تعداد متناهی.

طبقات مهم چندوجهی محدب شامل جامدات افلاطونی بسیار متقارن ، جامدات ارشمیدسی و دوگانه آنها جامدات کاتالان ، و جامدات جانسون با صورت منظم است .

تقارن [ ویرایش ]

چند وجهی در حال چرخش حول یک محور متقارن (در Matemateca IME-USP )

بسیاری از چندوجهی‌هایی که بیشتر مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، بسیار متقارن هستند ، یعنی ظاهر آنها در اثر بازتاب یا چرخش فضا تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن ممکن است مکان یک راس، صورت یا یال معین را تغییر دهد، اما مجموعه همه رئوس (به همین ترتیب وجه ها، یال ها) بدون تغییر است. به مجموعه تقارن های یک چندوجهی، گروه تقارن آن می گویند .

گفته می شود تمام عناصری که می توانند توسط تقارن بر روی یکدیگر قرار گیرند یک مدار تقارن تشکیل می دهند . به عنوان مثال، تمام وجوه یک مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام یال ها در مدار دیگری قرار دارند. اگر تمام عناصر یک بعد معین، مثلاً همه چهره‌ها، در یک مدار قرار گیرند، می‌گویند شکل در آن مدار متعدی است. به عنوان مثال، یک مکعب به صورت متعدی است، در حالی که یک مکعب کوتاه دارای دو مدار متقارن از چهره است.

همین ساختار انتزاعی ممکن است از چند وجهی های هندسی کم و بیش متقارن پشتیبانی کند. اما در جایی که نام چندوجهی داده می شود، مانند  بیست وجهی ، تقریباً همیشه متقارن ترین هندسه ذکر می شود، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود. [ نیازمند منبع ]

انواع مختلفی از چند وجهی بسیار متقارن وجود دارد که بر اساس نوع عنصر - صورت، یال یا رئوس - به یک مدار تقارن منفرد طبقه بندی می شوند:

• منتظم : رأس گذرا، یال گذرا و صورت گذر. (این به این معنی است که هر صورت یک چند ضلعی منتظم است ؛ همچنین به این معنی است که هر رأس منظم است.)
• شبه منتظم : رأس گذرا و یال گذرا (و از این رو دارای وجوه منظم است) اما صورت گذرا نیست. یک دوتایی شبه منتظم به صورت گذرا و گذرا به یال است (و از این رو هر راس منظم است) اما راس گذرا نیست.
• نیمه منتظم : راس گذرا اما نه گذرا یال، و هر صورت یک چند ضلعی منتظم است. (این یکی از چندین تعریف از این واژه، بسته به نویسنده است. برخی از تعاریف با کلاس شبه به طور منظم با هم همپوشانی دارند.) این چندوجهی های شامل نیمه منظم منشور و ضد منشوری . یک دوتایی نیمه منتظم به صورت گذرا است اما نه رأس گذرا و هر رأسی منظم است.
• یکنواخت : راس گذرا و هر صورت یک چند ضلعی منتظم است، یعنی منتظم، شبه منتظم یا نیمه منتظم است. یک دوتایی یکنواخت صورت گذرا است و دارای رئوس منظم است، اما لزوماً رئوس گذرا نیست.
• ایزوگونال : راس گذرا.
• ایزوتوکسال : یال گذر.
• ایزوهدرال : صورت گذر.
• گنبد : گذرا به صورت و راس گذرا (اما نه لزوماً گذرا به یال). چندوجهی منظم نیز نجیب هستند. آنها تنها چند وجهی یکنواخت نجیب هستند. دوگانگی چندوجهی نجیب خود نجیب هستند.

برخی از کلاس های چند وجهی فقط یک محور اصلی تقارن دارند. این خدمات عبارتند از اهرام ، دو هرم ، ذوزنقه وجه ، گنبد ، و همچنین به عنوان منشور نیمه منظم و ضد منشوری.

چند وجهی منظم [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جامد افلاطونی و چند وجهی کپلر-پواینسو

چندوجهی منظم متقارن ترین هستند. در مجموع 9 چند وجهی منظم وجود دارد: پنج چند وجهی محدب و چهار ستاره.

پنج نمونه محدب از دوران باستان شناخته شده اند و جامدات افلاطونی نامیده می شوند . این هرم مثلثی و یا چهار وجهی ، مکعب ، جسم هشت سطحی ، دوازده وجهی و بیست وجهی :

همچنین چهار چند وجهی ستاره ای منظم وجود دارد که به نام چندوجهی های کپلر-پوینسو به نام کاشفان آنها شناخته می شود.

دوگانه چند وجهی منظم نیز منظم است.

​