ادامه ضرب کرونکر

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه یکم آذر ۱۴۰۰ | 3:50

مثالها [ ویرایش ]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{ \begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\ \\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0 & 2 \ بار 5 \\ 1 \ بار 6 و 1 \ بار 7 و 2 \ بار 6 و 2 \ بار 7 \\ 3 \ بار 0 و 3 \ بار 5 و 4 \ بار 0 & 4 \ بار 5 \\ 3 \ بار 6 و 3 \ بار 7 و 4 \ بار 6 و 4 \ بار 7\ \\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.$

به همین ترتیب:

${\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otime {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\ \1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-2&2 -8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&-27&-18&15& 12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}$

خواص [ ویرایش ]

روابط با سایر عملیات ماتریس [ ویرایش ]

دوخطی بودن و همراهی :
حاصلضرب کرونکر یک مورد خاص از حاصل ضرب تانسور است ، بنابراین دوخطی و تداعی کننده است :
${\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \ otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\times \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \ otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A})\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B})=k(\mathbf {A} \ otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C})، \\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{تراز شده}}$
که در آن A ، B و C ماتریس هستند، 0 یک ماتریس صفر، و k یک اسکالر است.
غیر تعویضی :
به طور کلی، A ⊗ B و B ⊗ A ماتریس های متفاوتی هستند. با این حال، A ⊗ B و B ⊗ A معادل جایگشت هستند، به این معنی که ماتریس های جایگشت P و Q وجود دارند به طوری که [4]
$\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .$
اگر A و B ماتریس های مربعی باشند، A ⊗ B و B ⊗ A حتی جایگشت مشابه هستند ، به این معنی که می توانیم P = Q T را بگیریم .
ماتریس‌های P و Q ماتریس‌های ترکیبی کامل هستند. [5] ماتریس مخلوط کامل S p , q را می توان با گرفتن برش هایی از ماتریس هویت I r ، جایی که $r=pq$ .
$\mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r} (2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}$
MATLAB نماد روده بزرگ است که در اینجا برای نشان زیر ماتریس، و من تحقیق است R × R ماتریس. اگر $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}$ و $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}$ ، سپس
$\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf { S} _{n_{1}،n_{2}}^{\textsf {T}}$
ویژگی ضرب مخلوط:
اگر A ، B ، C و D ماتریس هایی با اندازه ای باشند که بتوان ضربات ماتریسی AC و BD را تشکیل داد ، آنگاه
$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{AC}) \otimes (\mathbf{BD}).$
این ویژگی ضرب مخلوط نامیده می شود ، زیرا ضرب ماتریس معمولی و ضرب کرونکر را مخلوط می کند.
در نتیجه فوری،
$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B})(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} ) =(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} )(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B}).$
به طور خاص، با استفاده از ویژگی ترانهاده از زیر، به این معنی است که اگر
$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U}$
و Q و U هستند متعامد (یا واحد )، سپس نیز است متعامد (محدوده، واحد).
ضرب مخلوط ماتریس-بردار کرونکر را می توان به صورت زیر نوشت:
$\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{ T})$
جایی که $\mathbf {V} =\operatorname {vec} ^{-1}(\mathbf {v} )$ معکوس عملگر برداری است (از شکل دادن مجدد بردار تشکیل می شود $\mathbf {v}$ ).
حاصل ضرب هادامارد (ضرب المان):
ویژگی ضرب مخلوط برای ضرب از نظر عنصر نیز کار می کند. اگر A و C ماتریس هایی با اندازه یکسان باشند، B و D ماتریس های هم اندازه هستند، پس
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).$
معکوس ضرب کرونکر:
که آن را زیر ⊗ B است وارون اگر و تنها اگر هر دو و B وارون هستند، که در این صورت معکوس داده شده است
$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1}.$
ویژگی ضرب معکوس برای شبه معکوس مور-پنروز نیز صادق است، [6] یعنی
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.$
در زبان تئوری مقوله ، ویژگی حاصلضرب کرونکر (و حاصلضرب تانسور عمومی تر) نشان می دهد که دسته Mat F ماتریس ها روی یک میدان F ، در واقع یک مقوله تک شکلی است ، با اجسام اعداد طبیعی n ، مورفیسم ها. N → m هستند N × m ماتریس با ورودی در F ، ترکیب شده است ضرب ماتریس داده می شود، فلش هویت به سادگی N × N هویت ماتریکس من Nو حاصلضرب تانسور توسط حاصلضرب کرونکر داده می شود. [7]
Mat F یک دسته اسکلت بتنی برای دسته معادل FinVect F فضاهای برداری با ابعاد محدود بر روی F است ، که اشیاء آن چنین فضاهای برداری با ابعاد محدود V هستند ، فلش ها نقشه های خطی F هستند L : V → W ، و فلش های هویت نقشه های هویت هستند. از فضاها هم ارزی مقوله ها به معنای انتخاب همزمان مبنایی در هر فضای برداری محدود بعدی V بر F است.; عناصر ماتریس نشان دهنده این نگاشتها با توجه به پایه های انتخاب شده است. و به همین ترتیب حاصلضرب کرونکر نمایشی از حاصلضرب تانسور در پایه های انتخاب شده است.
جابجایی :
جابجایی و جابجایی مزدوج بر روی ضرب کرونکر توزیع می شوند:
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$
$(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^* = \mathbf{A}^* \otimes \mathbf{B}^*.$
تعیین کننده :
اجازه دهید یک عضو × N ماتریس و اجازه دهید B یک m × m ماتریس. سپس
$\چپ| \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} \right| = \چپ| \mathbf{A} \right| ^m \ چپ| \mathbf{B} \right| ^ n .$
توان در | A | مرتبه B و توان در | است ب | مرتبه A است .
مجموع کرونکر و توان :
اگر است N × N ، B است m × m و Ik نشان دهنده K × K ماتریس همانی پس ما می توانیم تعریف است که گاهی اوقات به نام مجموع کرونکر ، ⊕، توسط
$\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B} .$
این متفاوت از مجموع مستقیم دو ماتریس. این عملیات مربوط به حاصل ضرب تانسور در جبرهای لی است .
ما فرمول زیر را برای ماتریس نمایی داریم که در برخی ارزیابی‌های عددی مفید است. [8]
$\exp({\mathbf{N} \oplus \mathbf{M}}) = \exp(\mathbf{N}) \otimes \exp(\mathbf{M})$
هنگام در نظر گرفتن مجموعه ای از سیستم های غیر متقابل، مبالغ کرونکر به طور طبیعی در فیزیک ظاهر می شود . [ نیازمند منبع ] اجازه H من باشد هامیلتونی از من هفتم چنین سیستم. سپس مجموع همیلتونین گروه است
$H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{i}H^{i}.$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی