ریاضیات

​

غلاف های محدب مجموعات مینکوفسکی [ ویرایش ]

افزودن مینکوفسکی با توجه به عملیات گرفتن غلاف های محدب رفتار خوبی دارد، همانطور که در گزاره زیر نشان داده شده است:

بگذارید S 1 , S 2 زیر مجموعه های یک فضای برداری واقعی باشند، غلاف محدب مجموع مینکوفسکی آنها، مجموع مینکوفسکی غلاف محدب آنها است.

این نتیجه به طور کلی برای هر مجموعه متناهی از مجموعه های غیر خالی صادق است:

در اصطلاح ریاضی، عملیات جمع مینکوفسکی و تشکیل غلاف های محدب ، عملیات رفت و آمد هستند . [14] [15]

مینکوفسکی مجموع مجموعه های محدب [ ویرایش ]

مجموع مینکوفسکی دو مجموعه محدب فشرده جمع و جور است. مجموع یک مجموعه محدب فشرده و یک مجموعه محدب بسته بسته است. [16]

قضیه معروف زیر که توسط دیودونه در سال 1966 اثبات شد، شرط کافی برای بسته بودن اختلاف دو زیرمجموعه محدب بسته را می دهد. [17] از مفهوم مخروط رکود یک زیرمجموعه محدب غیر خالی S استفاده می کند که به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن این مجموعه یک مخروط محدب حاوی و رضایت بخش . توجه داشته باشید که اگر S بسته و محدب است پس S} بسته است و برای همه ،

قضیه (دییودونی). فرض کنید A و B زیر مجموعه‌های غیر خالی، بسته و محدب یک فضای برداری توپولوژیکی محدب موضعی باشند به طوری کهیک زیرفضای خطی است. اگر A یا B به صورت موضعی فشرده باشد، A  -  B بسته است.

تعمیم و بسط برای تحدب [ ویرایش ]

مفهوم تحدب در فضای اقلیدسی ممکن است با اصلاح تعریف در برخی یا جنبه های دیگر تعمیم یابد. از نام رایج "تحدب تعمیم یافته" استفاده می شود، زیرا اشیاء حاصل خواص خاصی از مجموعه های محدب را حفظ می کنند.

مجموعه های ستاره ای محدب (ستاره ای شکل) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دامنه ستاره

فرض کنید C مجموعه ای در فضای برداری واقعی یا مختلط باشد. C است محدب ستاره (ستاره شکل) اگر یک وجود دارد X 0 در C به طوری که پاره خط از X 0 به هر نقطه Y در C در موجود C . بنابراین یک مجموعه محدب غیر خالی همیشه محدب ستاره است اما مجموعه ستاره محدب همیشه محدب نیست.

تحدب متعامد [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: غلاف محدب متعامد

نمونه ای از تحدب تعمیم یافته، تحدب متعامد است . [18]

مجموعه ای S در فضای اقلیدسی است که به نام قائم محدب یا ارتو محدب ، اگر هر موازی بخش به هر یک از محورهای مختصات اتصال دو نقطه از S دروغ کاملا در S . به راحتی می توان ثابت کرد که اشتراک هر مجموعه ای از مجموعه های قائم محدب، ماشتراک است. برخی دیگر از ویژگی های مجموعه های محدب نیز معتبر هستند.

هندسه نااقلیدسی [ ویرایش ]

تعریف مجموعه محدب و غلاف محدب به طور طبیعی به هندسه‌هایی که اقلیدسی نیستند با تعریف مجموعه‌ای محدب ژئودزیکی که شامل ژئودزیک‌هایی است که هر دو نقطه از مجموعه را به هم می‌پیوندند، گسترش می‌یابد.

توپولوژی سفارش [ ویرایش ]

تحدب را می توان برای یک مجموعه کاملاً مرتب X که دارای توپولوژی نظم است گسترش داد . [19]

اجازه دهید Y ⊆ X . زیرفضای Y یک مجموعه محدب است اگر برای هر جفت نقطه a , b در Y به طوری که a ≤ b بازه [ a , b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b } در Y موجود است . این است که، Y محدب است اگر و تنها اگر برای همه ، ب در Y ، ≤ ب دلالت [a , b ] ⊆ Y .

یک مجموعه محدب به طور کلی متصل نیست : یک مثال متضاد توسط فضای فرعی {1،2،3} در Z ارائه شده است ، که هم محدب است و هم متصل نیست.

فضاهای تحدب [ ویرایش ]

اگر ویژگی های خاصی از تحدب به عنوان بدیهیات انتخاب شوند، ممکن است مفهوم تحدب به اشیاء دیگر تعمیم داده شود .

با توجه به مجموعه X ، یک تحدب بیش از X یک مجموعه است 𝒞 از زیرمجموعه از X رضایت بدیهیات زیر است: [8] [9] [20]

1. مجموعه خالی و X در 𝒞 هستند
2. اشتراک هر مجموعه ای از 𝒞 در 𝒞 است .
3. اتحاد یک زنجیره (با توجه به رابطه شمول ) از عناصر 𝒞 در 𝒞 است .

عناصر 𝒞 را مجموعه های محدب و جفت ( X , 𝒞 ) را فضای محدب می نامند . برای تحدب معمولی، دو بدیهیات اول برقرار است و مورد سوم بی اهمیت است.

برای تعریف جایگزینی از تحدب انتزاعی، که بیشتر برای هندسه گسسته مناسب است، به هندسه های محدب مرتبط با آنتی ماتروئیدها مراجعه کنید .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• مجموعه جاذب
• مجموعه محدود (فضای برداری توپولوژیکی)
• قضیه نقطه ثابت بروور
• تحدب پیچیده
• غلاف محدب
• سری محدب
• فضای متریک محدب
• قضیه کاراتئودوری (غلاف محدب)
• تئوری شوکت
• قضیه هلی
• غلاف محدب هولومورفیک
• مجموعه یکپارچه محدب
• جان بیضی
• شبه تحدب
• قضیه رادون
• لم شیپلی-فولکمن
• مجموعه متقارن

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set