ساختار ریاضی [ ویرایش ]
در زیر فرض می شود که فضازمان دارای یک سیستم مختصات مربوط به یک قاب اینرسی است . این یک مبدأ فراهم میکند که برای اینکه بتوان به فضازمان به عنوان فضای برداری مدلسازی شده اشاره کرد، ضروری است. این واقعاً انگیزه فیزیکی ندارد زیرا منشأ متعارف (رویداد "مرکزی" در فضازمان) باید وجود داشته باشد. میتوان از ساختار کمتری، یعنی فضای نزدیک ، دور شد، اما این موضوع بحث را پیچیدهتر میکند و نشان نمیدهد که فضازمان مسطح به طور معمول در ادبیات مقدماتی مدرن چگونه از نظر ریاضی به کار میرود.
برای یک نمای کلی، فضای مینکوفسکی یک فضای برداری واقعی 4 بعدی است که مجهز به یک فرم دوخطی متقارن و متقارن در فضای مماس در هر نقطه از فضازمان است، که در اینجا به سادگی حاصل ضرب درونی مینکوفسکی نامیده میشود ، با امضای متریک یا (+----). یا (- + + +) . فضای مماس در هر رویداد یک فضای برداری با همان بعد فضازمان است، 4 .
بردارهای مماس [ ویرایش ]
یک نمایش تصویری از فضای مماس در یک نقطه، x ، در یک کره . این فضای برداری را می توان به عنوان زیرفضای ℝ 3 در نظر گرفت. سپس بردارهای موجود در آن را بردارهای مماس هندسی می نامند . با همین اصل، فضای مماس در نقطه ای از فضازمان تخت را می توان به عنوان زیرفضای فضازمان در نظر گرفت که اتفاقاً تمام فضازمان است.
در عمل، نباید به فضاهای مماس توجه داشت. ماهیت فضای برداری فضای مینکوفسکی امکان شناسایی متعارف بردارها در فضاهای مماس در نقاط (رویدادها) با بردارها (نقاط، رویدادها) در خود فضای مینکوفسکی را فراهم می کند. به عنوان مثال لی (2003 ، گزاره 3.8.) یا لی (2012 ، گزاره 3.13.) این شناسایی ها به طور معمول در ریاضیات انجام می شوند. آنها را می توان به طور رسمی در مختصات دکارتی به صورت [12] بیان کرد.
با بردارهای پایه در فضاهای مماس تعریف شده توسط
در اینجا p و q هر دو رویداد هستند و شناسایی بردار پایه دوم به عنوان حمل و نقل موازی نامیده می شود . اولین شناسایی، شناسایی متعارف بردارها در فضای مماس در هر نقطه با بردارهای خود فضا است. ظهور بردارهای پایه در فضاهای مماس به عنوان عملگرهای دیفرانسیل مرتبه اول به دلیل همین شناسایی است. انگیزه آن مشاهده است که یک بردار مماس هندسی را می توان به صورت یک به یک با یک عملگر مشتق جهت دار در مجموعه توابع صاف مرتبط کرد. این است که به ترویج تعریف از بردارهای مماس در منیفولدهای نیست لزوما در تعبیه شده R N. این تعریف از بردارهای مماس تنها تعریف ممکن نیست زیرا می توان از n- tuples معمولی نیز استفاده کرد.
نشان می دهد
تعاریف بردارهای مماس به عنوان بردارهای معمولی
برای برخی اهداف، شناسایی بردارهای مماس در یک نقطه p با بردارهای جابجایی در p مطلوب است ، که البته، اساساً با همان شناسایی متعارف قابل قبول است. [13] شناسایی بردارهایی که در بالا در تنظیمات ریاضی به آنها اشاره شد میتوانند به ترتیب در یک محیط فیزیکی و هندسی صریحتر در مینستر, تورنه و ویلr (1973) یافت شوند . آنها بسته به اینکه کدام قسمت از مطالب را برای خواندن انتخاب می کند، درجه های مختلفی از پیچیدگی (و دقت) را ارائه می دهند.
امضای متریک [ ویرایش ]
امضای متریک اشاره به که نشانه بازده مینکوفسکی داخلی زمانی که با توجه به فضای ( مکانمانند به خاص، تعریف شده پایین بیشتر) و بردارهای پایه زمان ( قسمت زمان ) به عنوان آرگومان. بحث بیشتر در مورد این انتخاب از لحاظ نظری بیاهمیت، اما عملاً ضروری برای اهداف سازگاری و راحتی داخلی به کادر پنهان زیر موکول میشود.
نشان می دهد
انتخاب امضای متریک
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.