ریاضیات

فهرست

• 1زمینه
  • 1.1n -کره
  • 1.2گروه هموتوپی
• 2نمونه های کم ابعاد
  • 2.1π 1 ( S 1 ) =
  • 2.2π 2 ( S 2 ) =
  • 2.3π 1 ( S 2 ) = 0
  • 2.4π 2 ( S 1 ) = 0
  • 2.5π 3 ( S 2 ) =
• 3تاریخ
• 4نظریه عمومی
  • 4.1جدول
  • 4.2گروه های پایدار و ناپایدار
  • 4.3فیبراسیون هاپف
  • 4.4همدلی در چارچوب
  • 4.5متناهی بودن و پیچش
  • 4.6هممورفیسم J
  • 4.7ساختار حلقه
• 5روش های محاسباتی
• 6برنامه های کاربردی
• 7جدول گروه های هموتوپی
• 8جدول گروه های هموتوپی پایدار
• 9منابع
  • 9.1منابع توپولوژی جبری عمومی
  • 9.2مقالات تاریخی
• 10لینک های خارجی

پس زمینه [ ویرایش ]

مطالعه گروه‌های هموتوپی کره‌ها بر اساس مقدار زیادی از مواد پس‌زمینه است که در اینجا به طور خلاصه مرور می‌شود. توپولوژی جبری زمینه بزرگتری را فراهم می کند، که خود بر اساس توپولوژی و جبر انتزاعی ساخته شده است ، با گروه های هموتوپی به عنوان مثال اساسی.

n- sphere [ ویرایش ]

یک کره معمولی در فضای سه بعدی - سطح، نه توپ جامد - تنها نمونه ای از معنای کره در توپولوژی است. هندسه یک کره را به صورت صلب، به عنوان یک شکل تعریف می کند. در اینجا چند جایگزین وجود دارد.

• سطح ضمنی : x2
  0+ x2
  1+ x2
  2 = 1

این مجموعه نقاطی در فضای سه بعدی اقلیدسی است که دقیقاً یک واحد دورتر از مبدأ پیدا شده است. بنا به دلایلی که در زیر آورده شده است، آن را 2-کره، S 2 می نامند . همین ایده برای هر بعد n صدق می کند . معادله x2
0+ x2
1+ ⋯ + x2
n= 1 تولید N -sphere به عنوان یک شی هندسی در ( N + 1 ) فضای بعدی. به عنوان مثال، یک کره S 1 یک دایره است .

• دیسک با لبه جمع شده: در توپولوژی به صورت D 2 / S 1 نوشته شده است

این ساختار از هندسه به توپولوژی خالص حرکت می کند. دیسک D 2 منطقه موجود توسط یک دایره، شرح داده شده توسط نابرابری است X2
0+ x2
1≤ 1 و لبه آن (یا " مرز ") دایره S 1 است که با تساوی x توصیف می شود .2
0+ x2
1= 1 . اگر یک بادکنک سوراخ شود و صاف پخش شود، دیسک تولید می کند. این ساختار سوراخ را ترمیم می کند، مانند کشیدن بند کشی. بریده بریده ، تلفظ "پیمانه"، وسیله ای برای گرفتن فضای توپولوژیک در سمت چپ (دیسک) و در آن به هم ملحق به عنوان یکی تمام نقاط در سمت راست (دایره). این ناحیه دو بعدی است، به همین دلیل است که توپولوژی فضای توپولوژیکی حاصل را دو کره می نامد. تعمیم یافته، D n / S n -1 S n تولید می کند . به عنوان مثال، D 1 یک پاره خط است و ساختار به انتهای آن می پیوندد تا یک دایره بسازد. یک توصیف معادل این است که مرز یکدیسک n بعدی به یک نقطه چسبانده می شود و یک کمپلکس CW تولید می کند .

• تعلیق استوا : در توپولوژی به صورت Σ S 1 نوشته شده است

این ساخت، اگرچه ساده است، اما از نظر نظری اهمیت زیادی دارد. دایره S 1 را به عنوان خط استوا در نظر بگیرید و هر نقطه روی آن را به یک نقطه از بالا (قطب شمال) بکشید و نیمکره شمالی و یک نقطه پایین تر (قطب جنوبی) ایجاد شود و نیمکره جنوبی ایجاد شود. برای هر عدد صحیح مثبت n ، n- کره x2
0+ x2
1+ ⋯ + x2
n= 1 به عنوان استوا ( n − 1 ) -کره x را دارد2
0+ x2
1+ ⋯ + x2
n -1= 1 ، و تعلیق Σ S n -1 S n تولید می کند .

برخی از تئوری ها مستلزم انتخاب یک نقطه ثابت بر روی کره، نامیدن جفت (کره، نقطه) یک کره نوک تیز است . برای برخی از فضاها انتخاب مهم است، اما برای یک کره همه نقاط معادل هستند، بنابراین انتخاب موضوع راحتی است. نقطه (1، 0، 0، ...، 0) که روی استوای همه کره ها قرار دارد، برای کره های هندسی به خوبی کار می کند. لبه (جمع شده) دیسک یکی دیگر از گزینه های واضح است.

منبع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres